2.2.2: Подібні багатокутники

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57498

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте розглянемо сторони і кути подібних багатокутників

Вправа\(\PageIndex{1}\): All, Some, None: Congruence and Similarity

Виберіть, чи відповідає дійсності кожне з тверджень у всіх випадках, в деяких випадках або ні в якому разі.

Якщо дві фігури конгруентні, то вони схожі.
Якщо дві фігури схожі, то вони конгруентні.
Якщо кут розширюється центром розширення у його вершині, вимір кута може змінитися.

Вправа\(\PageIndex{2}\): Are They Similar?

Давайте розглянемо квадрат і ромб.

Прия каже: «Ці багатокутники схожі, тому що довжина їх сторін однакова». Клер каже: «Ці багатокутники не схожі, тому що кути різні». Чи згодні ви або з Прією, або з Клер? Поясніть свої міркування.

2. Тепер давайте розглянемо прямокутники\(ABCD\) і\(EFGH\).

Джада каже: «Ці прямокутники схожі, тому що всі довжини сторін відрізняються на 2». Лін каже: «Ці прямокутники схожі. Я можу розширити\(AD\) і\(BC\) використовуючи масштабний коефіцієнт 2\(AB\) і\(CD\) використовуючи масштабний коефіцієнт 1.5, щоб зробити прямокутники конгруентними. Тоді я можу використати переклад, щоб вирівняти прямокутники». Чи згодні ви або з Джадою, або з Ліном? Поясніть свої міркування.

Ви готові до більшого?

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Прямокутник утворений сторонами G F H і H C B і B E A і A D G Чотирикутник F C E D також є прямокутником. Форма перекладається прямо на точки A, просте через H просте. K лежить між F простим і H простим. J позиціонується так, щоб сформувати прямокутник K H простий C простий J і прямокутник J E простий A, простий L, де L лежить між D простим і A простим.

Точки\(A\) наскрізь\(H\) переводяться вправо, щоб створити точки\(A'\) наскрізь\(H'\). Всі перераховані нижче прямокутники:\(GHBA\),\(FCED\),\(KH'C'J\), і\(LJE'A'\). Що більше, площа синього прямокутника\(DFCE\) або загальна площа жовтих прямокутників\(KH'C'J\) і\(LJE'A'\)?

Вправа\(\PageIndex{3}\): Find Someone Similar

Ваш викладач дасть вам картку. Знайдіть когось іншого в кімнаті, у якого є карта з багатокутником, який схожий, але не збігається з вашою. Коли ви знайшли свого партнера, працюйте з ними, щоб пояснити, як ви знаєте, що два полігони схожі.

Ви готові до більшого?

Ліворуч знаходиться рівносторонній трикутник, де були додані пунктирні лінії, показуючи, як можна розділити рівносторонній трикутник на менші подібні трикутники.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Дві фігури на сітці. Спочатку рівносторонній трикутник пунктирною лінією наполовину між підставою і верхньою вершиною паралельно підставі. Пунктирними лініями з'єднуємо кожен кінець першої пунктирної лінії з центром основи. По-друге, форма L, утворена шляхом взяття квадрата з 8 одиниць з кожного боку і видалення квадрата 4 на 4 з верхнього правого кута.

Знайдіть спосіб зробити це для фігури праворуч, розділивши її на менші фігури, які схожі на цю оригінальну форму. Яку найменшу кількість штук ви можете використовувати? Найбільше?

Резюме

Коли два полігони схожі:

Кожен кут і сторона в одному багатокутнику має відповідну частину в іншому багатокутнику.
Всі пари відповідних кутів мають однакову міру.
Відповідні сторони пов'язані єдиним масштабним коефіцієнтом. Довжина кожної сторони в одній фігурі множиться на масштабний коефіцієнт, щоб отримати відповідну довжину сторони на іншій фігурі.

Розглянемо два прямокутника, показані тут. Вони схожі?

Він виглядає як прямокутники\(ABCD\) і\(EFGH\) може бути схожим, якщо ви зіставляєте довгі краї і збігаєтеся з короткими краями. Всі відповідні кути є конгруентними, оскільки всі вони є прямими кутами. Обчислення коефіцієнта масштабу між сторонами - це те, де ми бачимо, що «схоже» недостатньо, щоб зробити їх схожими. Щоб масштабувати довгу сторону\(AB\) до довгої сторони\(EF\), коефіцієнт масштабування повинен бути\(\frac{3}{4}\), тому що\(4\cdot\frac{3}{4}=3\). Але коефіцієнт масштабу,\(AD\) щоб відповідати\(EH\) повинен бути\(\frac{2}{3}\), тому що\(3\cdot\frac{2}{3}=2\). Отже, прямокутники не схожі, оскільки масштабні коефіцієнти для всіх деталей повинні бути однаковими.

Ось приклад, який показує, як сторони можуть відповідати (з коефіцієнтом масштабу 1), але чотирикутники не схожі, оскільки кути не мають однакової міри:

Записи глосарію

Визначення: Схожі

Дві фігури схожі, якщо одна може точно поміститися над іншою після жорстких перетворень і розширень.

На цьому малюнку трикутник\(ABC\) схожий на трикутник\(DEF\).

Якщо\(ABC\) повертати навколо точки,\(B\) а потім розширювати з центральною точкою\(O\), то він буде точно вписуватися\(DEF\). Це означає, що вони схожі.

Практика

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Трикутник\(DEF\) - це розширення трикутника\(ABC\) з масштабним коефіцієнтом 2. У\(ABC\) трикутнику вимірюється найбільший кут\(82^{\circ}\). Яка найбільша кутова міра в трикутнику\(DEF\)?

\(41^{\circ}\)
\(82^{\circ}\)
\(123^{\circ}\)
\(164^{\circ}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Намалюйте два багатокутники, які схожі, але їх можна прийняти за те, що вони не схожі. Поясніть, чому вони схожі.

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Намалюйте два багатокутники, які не схожі, але їх можна прийняти за те, що вони схожі. Поясніть, чому вони не схожі.

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Ці два трикутника схожі. Знайти довжини сторін\(a\) і\(b\). Примітка: дві фігури не намальовані в масштабі.

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Джада стверджує, що\(B'C'D'\) це розширення\(BCD\) використання\(A\) як центру розширення.

Якими способами можна переконати Джаду, що її твердження не відповідає дійсності?

Малюнок\(\PageIndex{9}\): Точка A, кут B C D і кут зображення B простий, C простий, D простий. Точка А знаходиться вище, потім B C D і під усіма B просте C просте D. B C D менше і здається тупим. B простий C простий D в три рази більше і здається правильним.

(З блоку 2.1.3)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Намалюйте відрізок горизонтальної лінії\(AB\).
Поверніть відрізок\(AB 90^{\circ}\) проти годинникової стрілки навколо точки\(A\). Позначте будь-які нові точки.
Поверніть відрізок\(AB 90^{\circ}\) за годинниковою\(B\) стрілкою Позначте будь-які нові точки.
Опишіть трансформацію на сегменті, який\(AB\) можна використати для завершення будівництва квадрата.

(Від одиниці 1.2.2)