2.1.5: Більше розширень

Урок

Давайте розглянемо розширення в координатній площині.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Many Dilations of a Triangle

Дослідіть аплет і спостерігайте за розширенням трикутника\(ABC\). Розширення завжди використовує центр\(P\), але ви можете змінити масштабний коефіцієнт. Які зв'язки можна зробити між масштабним коефіцієнтом і розширеним трикутником?

Вправа\(\PageIndex{2}\): Info Gap: Dilations

Ваш викладач видасть вам або проблемну карту, або картку даних. Не показуйте і не читайте свою картку партнеру.

Якщо ваш викладач дає вам проблемну картку:

1. Мовчки читайте свою карту і подумайте, яка інформація вам потрібна, щоб мати можливість відповісти на питання.
2. Попросіть свого партнера конкретну інформацію, яка вам потрібна.
3. Поясніть, як ви використовуєте інформацію для вирішення проблеми.
4. Продовжуйте задавати питання, поки у вас не буде достатньо інформації для вирішення проблеми.
5. Поділіться проблемною картою і вирішуйте проблему самостійно.
6. Прочитайте картку даних і обговоріть свої міркування.

Якщо ваш викладач дає вам картку даних:

1. Мовчки читайте свою картку.
2. Запитайте свого партнера «Яка конкретна інформація вам потрібна?» і чекайте, поки вони попросять інформацію.

   Якщо ваш партнер запитує інформацію, якої немає на карті, не робіть розрахунків за них. Скажіть їм, що у вас немає такої інформації.

3. Перш ніж ділитися інформацією, запитайте «Навіщо вам ця інформація? » Прислухайтеся до міркувань свого партнера і задайте уточнюючі питання.
4. Прочитайте проблемну карту і вирішуйте проблему самостійно.
5. Поділіться карткою даних і обговоріть свої міркування.

Пауза тут, щоб ваш викладач міг переглянути вашу роботу. Попросіть свого вчителя новий набір карток і повторіть діяльність, торгуючи ролями зі своїм партнером.

Ви готові до більшого?

Трикутник\(EFG\) був створений шляхом розширення трикутника з\(ABC\) використанням масштабного коефіцієнта 2 і центру\(D\). Трикутник\(HIJ\) був створений шляхом розширення трикутника\(ABC\) за допомогою масштабного\(\frac{1}{2}\) коефіцієнта та центру\(D\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Трикутник A B C, два зображення після розширення, точка D і три пунктирні лінії проекції. Пунктирні лінії зустрічаються біля середини в точці D, потім праворуч - зростаючі за розміром трикутники, H I J, A B C і E F G. Верхня лінія проходить через точки H, A і E. Майже горизонтальна середня лінія проходить через точки I, B і F Нижня лінія проходить через точки J, C і G.

1. Як\(ABC\) виглядатиме зображення трикутника при розширенні з масштабним коефіцієнтом 0?
2. Як виглядатиме зображення трикутника при розширенні з масштабним коефіцієнтом -1? Якщо можливо, намалюйте його і позначте вершини\(A'\)\(B'\), і\(C'\). Якщо це неможливо, поясніть, чому б і ні.
3. Якщо можливо, опишіть, що відбувається з фігурою, якщо вона розширена з негативним коефіцієнтом масштабу. Якщо розширення з негативним масштабним коефіцієнтом неможливе, поясніть, чому б ні.

Резюме

Одним з важливих варіантів використання координат є точність передачі геометричної інформації. Розглянемо чотирикутник\(ABCD\) в координатній площині. Виконання розширення\(ABCD\) вимагає трьох життєво важливих частин інформації:

1. Координати\(A\),\(B\),\(C\), і\(D\)
2. Координати центру розширення,\(P\)
3. Масштабний коефіцієнт розширення

За допомогою цієї інформації ми можемо розширити вершини\(A\)\(B\)\(C\),\(D\) а потім намалювати відповідні сегменти, щоб знайти розширення\(ABCD\). Без координат опис розташування нових точок, швидше за все, вимагатиме спільного використання зображення багатокутника та центру розширення.

Записи глосарію

Визначення: Центр розширення

Центр розширення є фіксованою точкою на площині. Це вихідна точка, з якої ми вимірюємо відстані в розширенні.

На цій діаграмі точка\(P\) є центром розширення.

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Визначення: Дилатація

Розширення - це перетворення, при якому кожна точка на фігурі рухається вздовж лінії і змінює свою відстань від фіксованої точки. Фіксована точка - центр розширення. Всі початкові відстані множаться на один і той же масштабний коефіцієнт.

Наприклад, трикутник\(DEF\) - це розширення трикутника\(ABC\). Центр розширення є,\(O\) а масштабний коефіцієнт дорівнює 3.

Це означає, що кожна точка трикутника\(DEF\) знаходиться в 3 рази більше\(O\), ніж кожна відповідна точка трикутника\(ABC\).

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Визначення: Масштабний коефіцієнт

Щоб створити масштабовану копію, множимо всі довжини в вихідній фігурі на однакове число. Це число називається масштабним коефіцієнтом.

У цьому прикладі коефіцієнт масштабу дорівнює 1,5, тому що\(4\cdot (1.5)=6\),\(5\cdot (1.5)=7.5\), і\(6\cdot (1.5)=9\).

Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Практика

Вправа\(\PageIndex{3}\)

\(ABCD\)Чотирикутник розширений з центром\((0,0)\) прийняття\(B\) до\(B'\). Малювати\(A'B'C'D'\).

Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Трикутники\(B\) і\(C\) були побудовані шляхом розширення трикутника\(A\).

Малюнок\(\PageIndex{6}\)

1. Знайдіть центр розширення.
2. Трикутник\(B\) - це розширення\(A\) з приблизно який масштабний коефіцієнт?
3. Трикутник\(A\) - це розширення\(B\) з приблизно який масштабний коефіцієнт?
4. Трикутник\(B\) - це розширення\(C\) з приблизно який масштабний коефіцієнт?

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Ось трикутник.

Малюнок\(\PageIndex{7}\)

1. Намалюйте розширення\(ABC\) трикутника з центром\((0,0)\) та масштабним коефіцієнтом 2. Позначте цей трикутник\(A'B'C'\).
2. Намалюйте розширення\(ABC\) трикутника з центром\((0,0)\) та масштабним коефіцієнтом\(\frac{1}{2}\). Позначте цей трикутник\(A''B''C''\).
3. Це\(A''B''C''\) розширення трикутника\(A'B'C'\)? Якщо так, то які центр розширення і масштабний коефіцієнт?

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Трикутник\(DEF\) - це прямокутний трикутник, а міра кута\(D\) -\(28^{\circ}\). Які міри двох інших кутів?

(Від блоку 1.4.2)