2.1.4: Розбудови на квадратній сітці

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57484

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Розширимо цифри на квадратній сітці.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Estimating a Scale Factor

Точка\(C\) - це розширення точки\(B\) з центром розширення і масштабним коефіцієнтом. кошторис. Будьте готові пояснити свої міркування.

Вправа\(\PageIndex{2}\): Dilations on a Grid

1. Знайдіть розширення чотирикутника\(ABCD\) з центром\(P\) та масштабним коефіцієнтом 2.

2. Знайти розширення трикутника\(QRS\) з центром\(T\) і масштабним коефіцієнтом\(2\).

3. Знайти розширення трикутника\(QRS\) з центром\(T\) і масштабним коефіцієнтом\(\frac{1}{2}\).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Точка T, трикутник Q R S і три проекційні промені на квадратній сітці. Нехай нижній лівий кут буде (0 кома 0). Тоді трикутник Q R S - Q (5 кома 7), R (6 кома 5), S (4 кома 4) і точка T - T (2 кома 6). Пунктирними проекційними променями є T Q, T R і T S.

Вправа\(\PageIndex{3}\): Card Sort: Matching Dilations on a Coordinate Grid

Ваш вчитель дасть вам кілька карток. Кожна з карт з 1 по 6 показує фігуру в координатній площині і описує розширення.

Кожна з карт від А до Е описує зображення розширення для однієї з пронумерованих карт.

Матч номер карти з літерними картками. Одна з карт номера не матиме збігу. Для цієї карти вам потрібно буде намалювати зображення.

Ви готові до більшого?

Зображення кола під розширенням - це коло, коли центром розширення є центром кола. Що станеться, якщо центром розширення є точка на колі? Використовуючи центр розширення\((0,0)\) і масштабний коефіцієнт 1.5, розширити коло, показаний на схемі. Ця діаграма показує деякі моменти, щоб спробувати розширити.

Рисунок\(\PageIndex{4}\): П'ять точок на колі координатної площини, початок O. горизонтальна вісь від'ємна від 1 до 13 на 1. Вертикальна вісь від'ємна від 6 до 6 на 1. Коло має радіус 4 і знаходиться по центру (4 кома 0). П'ять точок на колі: B (0 кома 0), C (точка 5 кома 2), H (3 кома 4), D (7 точка 5 кома 2) і G (3 кома 4).

Резюме

Квадратні сітки можуть бути корисними для показу розширень. Сітка корисна, особливо коли центр розширення та точки (и), що розширюються, лежать у точках сітки. Замість того, щоб використовувати лінійку для вимірювання відстані між точками, ми можемо підрахувати одиниці сітки.

Наприклад, припустимо, що ми хочемо розширити точку\(Q\) з центром розширення\(P\) і масштабним коефіцієнтом\(\frac{3}{2}\). Так як\(Q\) це 4 сітки квадратів ліворуч і 2 сітки квадратів вниз від\(P\), розширення буде 6 квадратів сітки ліворуч і 3 сітки квадратів вниз від\(P'\) (ви можете зрозуміти, чому?). Розширене зображення позначається як\(Q'\) на малюнку.

Іноді квадратна сітка поставляється з координатами. Координатна сітка дає нам зручний спосіб називати точки, а іноді координати зображення можна знайти лише за допомогою арифметики.

Наприклад, щоб зробити розширення з центром\((0,0)\) і масштабним коефіцієнтом 2 трикутника з координатами\((-1,-2)\), і\((3,1)\)\((2,-1)\), ми можемо просто подвоїти координати, щоб отримати\((-2,-4)\)\((6,2)\), і\((4,-2)\).

Рисунок\(\PageIndex{6}\): Два трикутника на координатній площині, початок O. Горизонтальна вісь від'ємна від 7 до 7 на 1. Вертикальна вісь від'ємна від 5 до 5 на 1. Координати трикутника є (від'ємна 1 кома 2), (3 кома 1), (2 кома 1), (2 кома негативна 1). Координати зображення: (негативні 2 кома негативні 4), (6 кома 2), (4 кома негативні 2).

Глосарій

Визначення: Центр розширення

Центр розширення є фіксованою точкою на площині. Це вихідна точка, з якої ми вимірюємо відстані в розширенні.

На цій діаграмі точка\(P\) є центром розширення.

Визначення: Дилатація

Розширення - це перетворення, при якому кожна точка на фігурі рухається вздовж лінії і змінює свою відстань від фіксованої точки. Фіксована точка - центр розширення. Всі початкові відстані множаться на один і той же масштабний коефіцієнт.

Наприклад, трикутник\(DEF\) - це розширення трикутника\(ABC\). Центр розширення є,\(O\) а масштабний коефіцієнт дорівнює 3.

Це означає, що кожна точка\(DEF\) трикутника в 3 рази віддалена від\(O\) кожної відповідної точки трикутника\(ABC\).

Визначення: Масштабний коефіцієнт

Щоб створити масштабовану копію, множимо всі довжини в вихідній фігурі на однакове число. Це число називається масштабним коефіцієнтом.

У цьому прикладі коефіцієнт масштабу дорівнює 1,5, тому що\(4\cdot (1.5)=6\),\(5\cdot (1.5)=7.5\), і\(6\cdot (1.5)=9\).

Практика

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Трикутник\(ABC\) розширюється\(D\), використовуючи як центр розширення з масштабним коефіцієнтом\(2\).

Зображення трикутник\(A'B'C'\). Клер каже, що два трикутники є конгруентними, тому що їх кутові заходи однакові. Ви згодні? Поясніть, як ви знаєте.

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Трикутник A B C, це зображення після трикутника розширення A простий B простий C простий і точка D точка D знаходиться праворуч, менший трикутник A B C знаходиться в середині і більший трикутник зображення A простий, B простий і C правий.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

На графічному папері намалюйте зображення чотирикутника PQRS під наступними розширеннями:

Розширення по центру\(R\) з коефіцієнтом масштабування\(2\).
Розширення по центру\(O\) з коефіцієнтом масштабування\(\frac{1}{2}\).
Розширення по центру\(S\) з коефіцієнтом масштабування\(\frac{1}{2}\).

Малюнок\(\PageIndex{8}\): Чотирикутник P Q R S і точка O на квадратній сітці. Нехай нижній лівий кут буде (0 кома 0). Тоді координатами P Q R S є P (7 кома 6), Q (5 кома 4), R (9 кома 3), S (11 кома 5). Координати точки О - O (5 кома 1).

Вправа\(\PageIndex{6}\)

На діаграмі показано три лінії з деякими позначеними кутовими мірами.

Лінія, коса вгору і вправо. Дві лінії перетинають цю лінію, обидві косі вгору і вправо, але не перетинаються. На першому перетині правий верхній кут позначається 35 градусів. Решта маркуються?. На другому перетині правий верхній кут позначається 27 градусів. Решта маркуються?.

Знайдіть відсутні кутові заходи, позначені знаками питання.

(Від блоку 1.4.4)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Опишіть послідовність перекладів, обертань і відображень, яка приймає багатокутник P до багатокутника Q.

(Від блоку 1.1.4)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Точка\(B\) має координати\((-2,-5)\). Після перекладу 4 одиниць вниз, відображення поперек -осі та перекладу 6 одиниць вгору, які координати зображення?

(Від блоку 1.1.6)