Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.1.2: Кругова сітка

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57491

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Урок

    Розширимо цифри на кругових сітках.

    Вправа\(\PageIndex{1}\): Notice and Wonder: Concentric Circles

    clipboard_e1f994af6350e3fb3177e57a37421767f.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Що ви помічаєте? Що вам цікаво?

    Вправа\(\PageIndex{2}\): A Droplet on the Surface

    Більший Коло d - це розширення меншого кола c.\(P\) - центр розширення.

    1. Намалюйте чотири точки на меншому колі за допомогою інструмента «Точка на об'єкті».
      clipboard_e7eed210813d6c4888f0f3899ef947223.png
    2. Намалюйте промені\(P\) через кожну з цих чотирьох точок. Виберіть інструмент «Промінь», потім точку\(P\), а потім другу точку.
      clipboard_ef7b116ea9fb641f6a2824f13434b9208.png
    3. Позначте точки перетину променів і Коло d, вибравши інструмент «Перетин» і натиснувши на точку перетину.
      clipboard_e275af0c9be9b07c4f66cece47eca7e2b.png
    4. Доповніть таблицю. У рядку з позначкою S запишіть відстань між\(P\) і точкою на меншому колі в одиницях сітки. У рядку з позначкою L запишіть відстань між\(P\) і відповідною точкою на великому колі в одиницях сітки. Виміряйте відстані між парами точок, вибравши інструмент «Відстань», а потім клацніть на двох точках.
      clipboard_e4760109a4ecbf80413593c7e65231c46.png
    \(A\) \(B\) \(C\) \(D\)
    \(S\) \ (A\) "> \ (B\) "> \ (C\) "> \ (D\) ">
    \(L\) \ (A\) "> \ (B\) "> \ (C\) "> \ (D\) ">
    Таблиця\(\PageIndex{1}\)

    5. Центр розширення - точка\(P\). Що таке масштабний коефіцієнт, який приймає менше коло до більшого кола? Поясніть свої міркування.

    Вправа\(\PageIndex{3}\): Quadrilateral on a Circular Grid

    Ось багатокутник\(ABCD\)

    1. Розширяйте кожен хребець багатокутника,\(ABCD\) використовуючи\(P\) як центр розширення і масштабний коефіцієнт\(2\).
    2. Намалюйте відрізки між розширеними точками, щоб створити новий багатокутник.
    3. Які речі ви помітили про новий багатокутник?
    4. Виберіть ще кілька точок з боків вихідного багатокутника і перетворіть їх за допомогою того ж розширення. Що ви помічаєте?
    5. Розширяйте кожну вершину багатокутника,\(ABCD\) використовуючи\(P\) як центр розширення та масштабний коефіцієнт\(\frac{1}{2}\).
    6. Що ви помічаєте про цей новий багатокутник?

    Ви готові до більшого?

    \(P\)Припустимо, точка не на відрізку лінії\(\overline{WX}\). \(\overline{YZ}\)Дозволяти розширення відрізка лінії,\(\overline{WX}\) використовуючи\(P\) як центр з масштабним коефіцієнтом 2. Експериментуйте, використовуючи кругову сітку, щоб зробити прогнози щодо того, чи має кожне з наступних тверджень бути істинним, може бути істинним або має бути помилковим.

    1. \(\overline{YZ}\)вдвічі довше\(\overline{WX}\)
    2. \(\overline{YZ}\)на п'ять одиниць довше\(\overline{WX}\)
    3. Справа в\(P\) тому,\(\overline{YZ}\)
    4. \(\overline{YZ}\)і\(\overline{WX}\) перетинаються.

    Вправа\(\PageIndex{4}\): A Quadrilateral and Concentric Circles

    1. Розширяйте багатокутник,\(EFGH\) використовуючи\(Q\) як центр розширення і масштабний коефіцієнт\(\frac{1}{3}\). Зображення вже\(F\) показано на схемі. (Можливо, вам доведеться намалювати більше променів, щоб знайти зображення інших точок.)\(Q\)

    Резюме

    Кругова сітка, подібна до цієї, може бути корисною для виконання розширень.

    Радіус найменшої окружності дорівнює одній одиниці, а радіус кожної наступної окружності на одиницю більше попередньої.

    clipboard_e5d49cb2c967ab76568525fb594ddc556.png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Щоб виконати розширення, нам потрібен центр розширення, масштабний коефіцієнт та точка для розширення. На малюнку,\(P\) це центр розширення. При масштабному коефіцієнті 2 кожна точка залишається на одному промені від\(P\), але його відстань від\(P\) подвоюється:

    clipboard_e2f2319de4c59af0cc10589076c066930.png
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Оскільки кола на сітці знаходяться на однаковій відстані один від одного, відрізок\(PA'\) має вдвічі більшу довжину відрізка\(PA\), і те ж саме стосується інших точок.

    Записи глосарію

    Визначення: Центр розширення

    Центр розширення є фіксованою точкою на площині. Це вихідна точка, з якої ми вимірюємо відстані в розширенні.

    На цій діаграмі точка\(P\) є центром розширення.

    clipboard_e2f3b2b4783c0d5233cdcfab1e1a44ca6.png
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    Визначення: Дилатація

    Розширення - це перетворення, при якому кожна точка на фігурі рухається вздовж лінії і змінює свою відстань від фіксованої точки. Фіксована точка - центр розширення. Всі початкові відстані множаться на один і той же масштабний коефіцієнт.

    Наприклад, трикутник\(DEF\) - це розширення трикутника\(ABC\). Центр розширення є,\(O\) а масштабний коефіцієнт дорівнює 3.

    Це означає, що кожна точка трикутника\(DEF\) знаходиться в 3 рази більше\(O\), ніж кожна відповідна точка трикутника\(ABC\).

    clipboard_edaebac256db4e50e29e5ccd173f94779.png
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)

    Визначення: Масштабний коефіцієнт

    Щоб створити масштабовану копію, множимо всі довжини в вихідній фігурі на однакове число. Це число називається масштабним коефіцієнтом.

    У цьому прикладі коефіцієнт масштабу дорівнює 1,5, тому що\(4\cdot (1.5)=6\),\(5\cdot (1.5)=7.5\), і\(6\cdot (1.5)=9\).

    clipboard_efd0588f0a74adfcd3856c842a8bb0c2b.png
    Малюнок\(\PageIndex{6}\)

    Практика

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Ось Кола\(c\) і\(d\). Точка\(O\) є центром розширення, а розширення приймає коло\(c\) до кола\(d\).

    clipboard_e6c0279b6bd7a35a4e0a01348040b1882.png
    Малюнок\(\PageIndex{7}\)
    1. Побудуйте точку на Колі\(c\). Позначте точку\(P\). Ділянка, куди\(P\) йде, коли застосовується дилатація.
    2. Побудуйте точку на Колі\(d\). Позначте точку\(Q\). Побудуйте точку, до якої займає розширення\(Q\).

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Ось трикутник\(ABC\).

    clipboard_e01e18e244b1d93a50eaebeccbec331cc.png
    Малюнок\(\PageIndex{8}\)
    1. Розширте кожну вершину трикутника,\(ABC\) використовуючи\(P\) як центр розширення та масштабний коефіцієнт 2. Намалюйте трикутник, що з'єднує три нові точки.
    2. Розширяйте кожну вершину трикутника,\(ABC\) використовуючи\(P\) як центр розширення та масштабний коефіцієнт\(\frac{1}{2}\). Намалюйте трикутник, що з'єднує три нові точки.
    3. Виміряйте найдовшу сторону кожного з трьох трикутників. Що ви помічаєте?
    4. Виміряйте кути кожного трикутника. Що ви помічаєте?

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Опишіть жорстке перетворення, яке ви могли б використати, щоб показати, що полігони є конгруентними.

    clipboard_ee7e98eaf361d067a5ef51bec1474b9a9.png
    Малюнок\(\PageIndex{9}\)

    (Від блоку 1.3.2)

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Лінія була розділена на три кути.

    clipboard_e1b8a20c83455d034c503b7725bff8155.png
    Малюнок\(\PageIndex{10}\): Пряма лінія з двома променями, що виходять з однієї точки. Один косий вгору і вліво. Один косий вгору і вправо. Утворюються три кута. 39 градусів. 99 градусів. 42 градуси.

    Чи є трикутник з цими трьома кутовими мірами? Поясніть.

    (Від блоку 1.4.2)