2.1.1: Проектування та масштабування

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57486

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте вивчимо масштабування.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Number Talk: Remembering Fraction Division

Знайти кожен частка. Напишіть свою відповідь у вигляді дробу або змішаного числа.

\(6\frac{1}{4}\div 2\)

\(10\frac{1}{7}\div 5\)

\(8\frac{1}{2}\div 11\)

Вправа\(\PageIndex{2}\): Sorting Rectangles

Прямокутники були зроблені шляхом розрізання аркуша паперу розміром\(8\frac{1}{2}\) -дюйм на 11 дюймів навпіл, знову навпіл і так далі, як показано на схемі. Знайдіть довжини кожного прямокутника і введіть їх у відповідну таблицю.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Зображення прямокутника 8 точок 5 на 11 дюймів. Пунктирна лінія ділить весь прямокутник навпіл, а один прямокутник позначено B. Пунктирна лінія ділить іншу половину B, а один прямокутник позначений C. Пунктирна лінія ділить іншу половину C, а один прямокутник позначений D. Пунктирна лінія ділить іншу половину D, і обидва прямокутники позначені E.

1. Деякі з прямокутників є масштабованими копіями повного аркуша паперу (Rectangle A). Запишіть вимірювання цих прямокутників в цю таблицю.

Таблиця\(\PageIndex{1}\)
прямокутник	довжина короткої сторони (дюйми)	довжина довгої сторони (дюйми)
\(A\)	\(8\frac{1}{2}\)	\(11\)

2. Деякі з прямокутників не є масштабованими копіями повного аркуша паперу. Запишіть вимірювання цих прямокутників в цю таблицю.

Таблиця\(\PageIndex{2}\)
прямокутник	довжина короткої сторони (дюйми)	довжина довгої сторони (дюйми)

3. Подивіться на виміри прямокутників, які є масштабованими копіями повного аркуша паперу. Що ви помічаєте з приводу вимірювань цих прямокутників? Подивіться на виміри прямокутників, які не є масштабованими копіями повного аркуша. Що ви помічаєте з приводу цих вимірювань?

4. Складіть прямокутники, які є масштабованими копіями повного аркуша так, щоб всі вони вишикувалися в кут, як показано на схемі. Те ж саме виконайте з іншим набором прямокутників. На кожній стопці проведіть лінію від лівого нижнього кута до правого верхнього кута найбільшого прямокутника. Що ви помічаєте?

5. Укладайте всі прямокутники від найбільших до найменших так, щоб всі вони вишикувалися в кут. Порівняйте лінії, які ви намалювали. Чи можете ви сказати, з намальованих ліній, з якого набору прийшов кожен прямокутник?

Ви готові до більшого?

У багатьох країнах стандартний розмір паперу становить не 8,5 дюймів на 11 дюймів (так званий розмір «буква»), а натомість 210 міліметрів на 297 міліметрів (так званий розмір «А4»). Чи є ці два розміри прямокутника масштабовані копії один одного?

Вправа\(\PageIndex{3}\): Scaled Rectangles

Ось малюнок прямокутника R, який був рівномірно розділений на менші прямокутники. Два менших прямокутника мають маркування B і C.

Це\(B\) масштабована копія\(R\)? Якщо так, то який коефіцієнт масштабування?
Це\(C\) масштабована копія\(B\)? Якщо так, то який коефіцієнт масштабування?
Це\(C\) масштабована копія\(R\)? Якщо так, то який коефіцієнт масштабування?

Резюме

Масштабовані копії прямокутників мають цікаву властивість. Ви бачите, що це таке?

Тут більший прямокутник - це масштабована копія меншого (з коефіцієнтом масштабу\(\frac{3}{2}\)). Зверніть увагу, як діагональ великого прямокутника містить діагональ меншого прямокутника. Це стосується будь-яких двох масштабованих копій прямокутника, якщо ми вирівняємо їх, як показано на малюнку. Якщо два прямокутника не є масштабованими копіями один одного, то діагоналі не збігаються. У цьому блоці ми будемо досліджувати, як зробити масштабовані копії фігури.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Невеликий прямокутник всередині більшого прямокутника з однаковою нижньою лівою точкою та пунктирною діагональною лінією від цієї нижньої лівої точки через обидві верхні точки. Маленький прямокутник має довжину 4 і висоту 2. Великий прямокутник має довжину 6 і висоту 3.

Записи глосарію

Визначення: Масштабний коефіцієнт

Щоб створити масштабовану копію, множимо всі довжини в вихідній фігурі на однакове число. Це число називається масштабним коефіцієнтом.

У цьому прикладі коефіцієнт масштабу дорівнює 1,5, тому що\(4\cdot (1.5)=6\),\(5\cdot (1.5)=7.5\), і\(6\cdot (1.5)=9\).

Практика

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Прямокутник\(A\) розміром 12 см на 3 см. Прямокутник\(B\) — це масштабована копія прямокутника\(A\). Виберіть усі пари вимірювань, які можуть бути розмірами прямокутника\(B\).

\(6\)см на\(1.5\) см
\(10\)см на\(2\) см
\(13\)см на\(4\) см
\(18\)см на\(4.5\) см
\(80\)см на\(20\) см

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Прямокутник\(A\) має довжину 12 і ширину 8. Прямокутник\(B\) має довжину 15 і ширину 10. Прямокутник\(C\) має довжину 30 і ширину 15.

Чи є\(A\) прямокутник масштабованою копією прямокутника\(B\)? Якщо так, то який коефіцієнт масштабування?
Чи є\(B\) прямокутник масштабованою копією прямокутника\(A\)? Якщо так, то який коефіцієнт масштабування?
Поясніть, як ви знаєте, що Rectangle не\(C\) є масштабованою копією Rectangle\(B\).
Чи є\(A\) прямокутник масштабованою копією прямокутника\(C\)? Якщо так, то який коефіцієнт масштабування?

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Ось три багатокутника.

Намалюйте масштабовану копію багатокутника А з масштабним коефіцієнтом\(\frac{1}{2}\).
Намалюйте масштабовану копію багатокутника B з масштабним коефіцієнтом\(2\).
Намалюйте масштабовану копію багатокутника C з масштабним коефіцієнтом\(\frac{1}{4}\).

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Який із цих наборів кутових заходів може бути трьома кутами у трикутнику?

\(40^{\circ}, 50^{\circ}, 60^{\circ}\)
\(50^{\circ}, 60^{\circ}, 70^{\circ}\)
\(60^{\circ}, 70^{\circ}, 80^{\circ}\)
\(70^{\circ}, 80^{\circ}, 90^{\circ}\)

Від (Одиниця 1.4.2)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

На малюнку лінії\(AB\) і\(CD\) паралельні. Знайдіть мірки наступних кутів. Поясніть свої міркування.

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Три лінії в площині. Лінія А Б. Лінія B F Лінія D E. Лінії B F і A B перетинаються в точці B. Лінії B F і D E перетинаються в точці C. Лінія D E знаходиться над лінією A B. Кут A B F позначається 38 градусів.

\(\angle BCD\)
\(\angle ECF\)
\(\angle DCF\)

(Від блоку 1.4.1)