Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.5: Розв'яжіть рівняння зі змінними та константами з обох сторін (частина 2)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57696

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Розв'язуйте рівняння за допомогою загальної стратегії

    Кожен з перших кількох розділів цієї глави стосувався вирішення однієї конкретної форми лінійного рівняння. Настав час викласти загальну стратегію, яка може бути використана для вирішення будь-якого лінійного рівняння. Ми називаємо це загальною стратегією. Деякі рівняння не потребують всіх кроків для вирішення, але багато хто буде. Спрощення кожної сторони рівняння, наскільки це можливо, спочатку полегшує решту кроків.

    ЯК: ВИКОРИСТОВУВАТИ ЗАГАЛЬНУ СТРАТЕГІЮ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

    Крок 1. Спростіть кожну сторону рівняння максимально. Використовуйте властивість Distributive, щоб видалити будь-які дужки. Поєднуйте подібні терміни.

    Крок 2. Зібрати всі змінні члени в одну сторону рівняння. Використовуйте властивість додавання або віднімання рівності.

    Крок 3. Зберіть всі постійні члени на іншу сторону рівняння. Використовуйте властивість додавання або віднімання рівності.

    Крок 4. Зробіть коефіцієнт змінного члена рівним 1. Використовуйте властивість множення або ділення рівності. Викладіть рішення рівняння.

    Крок 5. Перевірте розчин. Підставте рішення у вихідне рівняння, щоб переконатися, що результат є істинним твердженням.

    Приклад\(\PageIndex{11}\):

    Вирішити: 3 (х + 2) = 18.

    Рішення

    Спростіть кожну сторону рівняння максимально. Використовуйте розподільну властивість. $3х + 6 = 18\ тег {8.3.46} $$
    Зберіть всі змінні члени на одній стороні рівняння - всі х вже знаходяться на лівій стороні.  
    Зберіть постійні члени на іншій стороні рівняння. Відніміть 6 з кожного боку. $3x+ 6\ колір тексту {червоний} {-6} = 18\ колір тексту {червоний} {-6}\ тег {8.3.47} $$
    Спростити. $3x = 12\ тег {8.3.48} $$
    Зробіть коефіцієнт змінного члена рівним 1. Розділіть кожну сторону на 3. $\ dfrac {3x} {\ колір тексту {червоний} {3}} =\ dfrac {12} {\ колір тексту {червоний} {3}}\ тег {8.3.49} $$
    Спростити. $х = 4\ тег {8.3.50} $$
    Перевірка: Нехай х = 4. $\ почати {спліт} 3 (x + 2) &= 18\\ 3 (\ textcolor {червоний} {4} + 2 &\ stackrel {?} {=} 18\ 3 (6) &\ стек {?} {=} 18\ 18 &\ стек {?} {=} 18\;\ галочка\ кінець {спліт} $$
    Вправа\(\PageIndex{21}\):

    Вирішити: 5 (х + 3) = 35.

    Відповідь

    х = 4

    Вправа\(\PageIndex{22}\):

    Вирішити: 6 (y − 4) = −18.

    Відповідь

    у = 1

    Приклад\(\PageIndex{12}\):

    Вирішити: − (x + 5) = 7.

    Рішення

    Спростіть кожну сторону рівняння максимально, розподіляючи. Єдиний член x знаходиться на лівій стороні, тому всі змінні члени знаходяться на лівій стороні рівняння. $-х - 5 = 7\ тег {8.3.51} $$
    Додайте 5 до обох сторін, щоб отримати всі постійні члени на правій стороні рівняння. $$-x - 5\ колір тексту {червоний} {+5} = 7\ колір тексту {червоний} {+5}\ тег {8.3.52} $$
    Спростити. $$-х = 12\ тег {8.3.53} $$
    Зробіть коефіцієнт змінного члена рівним 1, множивши обидві сторони на -1. $\ колір тексту {червоний} {-1} (-x) =\ колір тексту {червоний} {-1} (12)\ тег {8.3.54} $$
    Спростити. $х = -12\ тег {8.3.55} $$
    Перевірка: Нехай x = −12. $\ почати {спліт} - (x + 5) &= 7\\ - (\ textcolor {червоний} {-12} + 5) &\ stackrel {?} {=} 7\\ - (-7) &\ стек {?} {=} 7\\ 7 &= 7\;\ галочка\ кінець {спліт} $$
    Вправа\(\PageIndex{23}\):

    Вирішити: − (y + 8) = −2.

    Відповідь

    у = -6

    Вправа\(\PageIndex{24}\):

    Вирішити: − (z + 4) = −12.

    Відповідь

    z = 8

    Приклад\(\PageIndex{13}\):

    Вирішити: 4 (x − 2) + 5 = −3.

    Рішення

    Спростіть кожну сторону рівняння максимально. Розподілити. $4x - 8 + 5 = -3\ тег {8.3.56} $$
    Поєднуйте подібні терміни. $4x - 3 = -3\ тег {8.3.57} $$
    Єдиний х знаходиться на лівій стороні, тому всі змінні члени знаходяться на одній стороні рівняння.  
    Додайте 3 до обох сторін, щоб отримати всі постійні члени на іншій стороні рівняння. $4x - 3\ колір тексту {червоний} {+3} = -3\ колір тексту {червоний} {+3}\ тег {8.3.58} $$
    Спростити. $4x = 0\ тег {8.3.59} $$
    Зробіть коефіцієнт змінного члена рівним 1, розділивши обидві сторони на 4. $$\ dfrac {4x} {\ колір тексту {червоний} {4}} =\ dfrac {0} {\ колір тексту {червоний} {4}}\ тег {8.3.60} $$
    Спростити. $x = 0\ тег {8.3.61} $$
    Перевірка: Нехай x = 0. $\ почати {спліт} 4 (x - 2) + 5 &= -3\\ 4 (\ textcolor {червоний} {0} - 2) + 5 &\ stackrel {?} {=} -3\\ 4 (-2) + 5 &\ стек {?} {=} -3\\ -8 + 5 &\ штабелер {?} {=} -3\\ -3 &= -3\;\ галочка\ кінець {спліт} $$
    Вправа\(\PageIndex{25}\):

    Вирішити: 2 (a − 4) + 3 = −1.

    Відповідь

    а = 2

    Вправа\(\PageIndex{26}\):

    Вирішити: 7 (n − 3) − 8 = −15.

    Відповідь

    п = 2

    Приклад\(\PageIndex{14}\):

    Вирішити: 8 − 2 (3й + 5) = 0.

    Рішення

    Будьте уважні при розподілі негативу.

    Спростити — використовуйте розподільну властивість. $8 - 6 років - 10 = 0\ тег {8.3.62} $$
    Поєднуйте подібні терміни. $-6y - 2 = 0\ тег {8.3.63} $$
    Додайте 2 до обох сторін, щоб зібрати константи праворуч. $$-6y - 2\ колір тексту {червоний} {+2} = 0\ колір тексту {червоний} {+2}\ тег {8.3.64} $$
    Спростити. $$y = -\ dfrac {1} {3}\ тег {8.3.65} $$
    Розділіть обидві сторони на −6. $\ dfrac {-6y} {\ колір тексту {червоний} {-6}} =\ dfrac {2} {\ textcolor {червоний} {-6}}\ тег {8.3.66} $$
    Спростити. $$y = -\ dfrac {1} {3}\ тег {8.3.67} $$
    Перевірка: Нехай y =\(− \dfrac{1}{3}\). \ [\ почати {спліт} 8 - 2 (3y + 5) &= 0\\ 8 - 2\ Великий [3\ лівий (\ textcolor {червоний} {-\ dfrac {1} {3}}\ праворуч) + 5\ Великий] &= 0\\ 8 - 2 (-1 + 5) &\ stackrel {?} {=} 0\\ 8 - 2 (4) &\ стек {?} {=} 0\\ 8 - 8 &\ стек {?} {=} 0\\ 0 &= 0;\ галочка\ кінець {спліт} $$
    Вправа\(\PageIndex{27}\):

    Вирішити: 12 − 3 (4j + 3) = −17.

    Відповідь

    \(j = \frac{5}{3}\)

    Вправа\(\PageIndex{28}\):

    Вирішити: −6 − 8 (k − 2) = −10.

    Відповідь

    \(k = \frac{5}{2}\)

    Приклад\(\PageIndex{15}\):

    Вирішити: 3 (х − 2) − 5 = 4 (2х+ 1) + 5.

    Рішення

    Розподілити. $3x - 6 - 5 = 8х + 4 + 5\ тег {8.3.68} $$
    Поєднуйте подібні терміни. $3x - 11 = 8х + 9\ тег {8.3.69} $$
    Відніміть 3x, щоб отримати всі змінні праворуч, починаючи з 8 > 3. $3x\ колір тексту {червоний} {-3x} - 11 = 8x\ колір тексту {червоний} {-3x} + 9\ tag {8.3.70} $$
    Спростити. $-11 = 5х + 9\ тег {8.3.71} $$
    Відніміть 9, щоб отримати константи зліва. $-11\ колір тексту {червоний} {-9} = 5x + 9\ колір тексту {червоний} {-9}\ тег {8.3.72} $$
    Спростити. $-20 = 5х\ тег {8.3.73} $$
    Розділити на 5. $$\ dfrac {-20} {\ колір тексту {червоний} {5}} =\ dfrac {5x} {\ колір тексту {5}}\ тег {8.3.74} $$
    Спростити. $-4 = х\ тег {8.3.75} $$
    Перевірка: Заміна: −4 = x. \ [\ почати {спліт} 3 (х - 2) - 5 &= 4 (2x + 1) + 5\\ 3 (\ textcolor {червоний} {-4} - 2) - 5 &\ stackrel {?} {=} 4 [2 (\ колір тексту {червоний} {-4}) + 1] + 5\\ 3 (-6) - 5 &\ stackrel {?} {=} 4 (-8 + 1) + 5\\ -18 - 5 &\ штабелер {?} {=} 4 (-7) + 5\\ -23 &\ штабелер {?} {=} -28 + 5\\ -23 &= -23\;\ галочка\ кінець {спліт} $$
    Вправа\(\PageIndex{29}\):

    Вирішити: 6 (р − 3) − 7 = 5 (4п+ 3) − 12.

    Відповідь

    р = -2

    Вправа\(\PageIndex{30}\):

    Вирішити: 8 (q + 1) − 5 = 3 (2q − 4) − 1.

    Відповідь

    q = -8

    Приклад\(\PageIndex{16}\):

    Вирішити:\(\dfrac{1}{2}\) (6x − 2) = 5 − х.

    Рішення

    Розподілити. $3x - 1 = 5 - х\ тег {8.3.76} $$
    Додайте x, щоб отримати всі змінні ліворуч. $3x - 1\ колір тексту {червоний} {+х} = 5 - х\ колір тексту {червоний} {+x}\ тег {8.3.77} $$
    Спростити. $4x - 1 = 5\ тег {8.3.78} $$
    Додайте 1, щоб отримати константи праворуч. $4x - 1\ колір тексту {червоний} {+1} = 5\ колір тексту {червоний} {+1}\ тег {8.3.79} $$
    Спростити. $4x = 6\ тег {8.3.80} $$
    Розділити на 4. $$\ dfrac {4x} {\ колір тексту {червоний} {4}} =\ dfrac {6} {\ колір тексту {червоний} {4}}\ тег {8.3.81} $$
    Спростити. $x =\ дфрак {3} {2}\ тег {8.3.82} $$
    Перевірка: Нехай x =\(\dfrac{3}{2}\). $\ почати {спліт}\ dfrac {1} {2} (6x - 2) &= 5 - х\\\ dfrac {1} {2}\ ліворуч (6\ ddot\ textcolor {червоний} {\ dfrac {3} {2}} - 2\ праворуч) &\ стекер {?} {=} 5 -\ колір тексту {червоний} {\ drac {3} {2}}\\ dfrac {1} {2} (9 - 2) &\ стекерл {?} {=}\ drac {10} {2} -\ drac {3} {2}\\ drac {1} {2} (7) &\ стекерл {?} {=}\ dfrac {7} {2}\\ dfrac {7} {2} &=\ dfrac {7} {2}\;\ галочка\ кінець {спліт} $$
    Вправа\(\PageIndex{31}\):

    Вирішити:\(\dfrac{1}{3}\) (6u + 3) = 7 − u.

    Відповідь

    u = 2

    Вправа\(\PageIndex{32}\):

    Вирішити:\(\dfrac{2}{3}\) (9х − 12) = 8 + 2х.

    Відповідь

    х = 4

    У багатьох додатках нам доведеться вирішувати рівняння з десятковими числами. Для цих рівнянь буде працювати та ж загальна стратегія.

    Приклад\(\PageIndex{17}\):

    Вирішити: 0,24 (100х + 5) = 0,4 (30х+ 15).

    Рішення

    Розподілити. $24х + 1,2 = 12х + 6\ тег {8.3.83} $$
    Відніміть 12x, щоб отримати всі x s ліворуч. $24x+ 1,2\ колір тексту {червоний} {-12x} = 12x + 6\ колір тексту {червоний} {-12x}\ тег {8.3.84} $$
    Спростити. $12х + 1.2 = 6\ тег {8.3.85} $$
    Відніміть 1.2, щоб отримати константи праворуч. $12x+ 1.2\ колір тексту {червоний} {-1.2} = 6\ колір тексту {червоний} {-1.2}\ тег {8.3.86} $$
    Спростити. $12x = 4.8\ тег {8.3.87} $$
    Розділити. $\ dfrac {12x} {\ колір тексту {червоний} {12}} =\ dfrac {4.8} {\ колір тексту {червоний} {12}}\ тег {8.3.88} $$
    Спростити. $х = 0.4\ тег {8.3.89} $$
    Перевірка: Нехай х = 0,4. \ [\ почати {спліт} 0,24 (100x + 5) &= 0.4 (30x + 15)\\ 0.24 [100 (\ колір тексту {червоний} {0.4}) + 5] &\ stackrel {?} {=} 0.4 [30 (\ колір тексту {червоний} {0.4}) + 15]\\ 0.24 (40 + 5) &\ stackrel {?} {=} 0.4 (12 + 15)\\ 0.24 (45) &\ стек {?} {=} 0.4 (27)\\ 10.8 &= 10.8\;\ галочка\ кінець {спліт} $$
    Вправа\(\PageIndex{33}\):

    Вирішити: 0.55 (100н+ 8) = 0.6 (85н + 14).

    Відповідь

    п = 1

    Вправа\(\PageIndex{34}\):

    Вирішити: 0,15 (40м − 120) = 0,5 (60м+ 12).

    n = -1

    ДОСТУП ДО ДОДАТКОВИХ ОНЛАЙН-РЕСУРСІВ

    Рішення багатоетапних рівнянь

    Розв'яжіть рівняння зі змінними долями з обох сторін

    Розв'язування багатокрокових рівнянь (L5.4)

    Розв'яжіть рівняння зі змінними та дужками з обох сторін

    Практика робить досконалим

    Розв'яжіть рівняння з константами з обох сторін

    У наступних вправах розв'яжіть рівняння для змінної.

    1. 6х− 2 = 40
    2. 7x − 8 = 34
    3. 11 Вт + 6 = 93
    4. 14 років + 7 = 91
    5. 3а + 8 = −46
    6. 4м + 9 = −23
    7. −50 = 7n − 1
    8. −47 = 6б+ 1
    9. 25 = −9 років + 7
    10. 29 = −8х − 3
    11. −12p − 3 = 15
    12. −14q − 15 = 13

    Розв'яжіть рівняння зі змінними з обох сторін

    У наступних вправах розв'яжіть рівняння для змінної.

    1. 8z = 7z − 7
    2. 9к = 8к − 11
    3. 4х + 36 = 10х
    4. 6х+ 27 = 9х
    5. c = −3c − 20
    6. b = −4b − 15
    7. 5q = 44 − 6кв
    8. 7z = 39 − 6 разів
    9. 3й +\(\dfrac{1}{2}\) = 2у
    10. 8х +\(\dfrac{3}{4}\) = 7х
    11. −12a − 8 = −16а
    12. −15r − 8 = −11р

    Розв'яжіть рівняння зі змінними та константами з обох сторін

    У наступних вправах розв'яжіть рівняння для змінної.

    1. 6x − 15 = 5х+ 3
    2. 4x − 17 = 3х+ 2
    3. 26+ 8д = 9д + 11
    4. 21 + 6 ф = 7 ф + 14
    5. 3p − 1 = 5п − 33
    6. 8q − 5 = 5кв − 20
    7. 4а + 5 = − а − 40
    8. 9с+ 7 = −2с − 37
    9. 8 років − 30 = −2в+ 30
    10. 12x − 17 = −3х+ 13
    11. 2z − 4 = 23 − з
    12. 3y − 4 = 12 − у
    13. \(\dfrac{5}{4}\)c − 3 =\(\dfrac{1}{4}\) c − 16
    14. \(\dfrac{4}{3}\)m − 7 =\(\dfrac{1}{3}\) m − 13
    15. 8 −\(\dfrac{2}{5}\) q =\(\dfrac{3}{5}\) q + 6
    16. 11 −\(\dfrac{1}{4}\) а =\(\dfrac{3}{4}\) + 4
    17. \(\dfrac{4}{3}\)n + 9 =\(\dfrac{1}{3}\) n − 9
    18. \(\dfrac{5}{4}\)а + 15 =\(\dfrac{3}{4}\) а − 5
    19. \(\dfrac{1}{4}\)у + 7 =\(\dfrac{3}{4}\) у − 3
    20. \(\dfrac{3}{5}\)р + 2 =\(\dfrac{4}{5}\) р − 1
    21. 14 хв + 8,25 = 9п + 19,60
    22. 13 унцій + 6,45 = 8 осіб + 23,75
    23. 2.4w − 100 = 0.8Вт + 28
    24. 2.7w − 80 = 1.2Вт + 10
    25. 5.6р + 13.1 = 3.5р + 57,2
    26. 6,6х − 18,9 = 3,4х + 54,7

    Розв'яжіть рівняння за допомогою загальної стратегії

    У наступних вправах вирішуйте лінійне рівняння, використовуючи загальну стратегію.

    1. 5 (х + 3) = 75
    2. 4 (у + 7) = 64
    3. 8 = 4 (х − 3)
    4. 9 = 3 (х − 3)
    5. 20 (у − 8) = −60
    6. 14 (у − 6) = −42
    7. −4 (2n + 1) = 16
    8. −7 (3n + 4) = 14
    9. 3 (10 + 5р) = 0
    10. 8 (3 + 3р) = 0
    11. \(\dfrac{2}{3}\)(9c − 3) = 22
    12. \(\dfrac{3}{5}\)(10х − 5) = 27
    13. 5 (1.2u − 4.8) = −12
    14. 4 (2.5v − 0.6) = 7.6
    15. 0,2 (30н + 50) = 28
    16. 0,5 (16м+ 34) = −15
    17. − (ш − 6) = 24
    18. − (т − 8) = 17
    19. 9 (3а + 5) + 9 = 54
    20. 8 (6б − 7) + 23 = 63
    21. 10 + 3 (з + 4) = 19
    22. 13+ 2 (м − 4) = 17
    23. 7 + 5 (4 − q) = 12
    24. −9 + 6 (5 − k) = 12
    25. 15 − (3р + 8) = 28
    26. 18 − (9р + 7) = −16
    27. 11 − 4 (y − 8) = 43
    28. 18 − 2 (y − 3) = 32
    29. 9 (p − 1) = 6 (2p − 1)
    30. 3 (4n − 1) − 2 = 8n + 3
    31. 9 (2м − 3) − 8 = 4м + 7
    32. 5 (x − 4) − 4x = 14
    33. 8 (x − 4) − 7x = 14
    34. 5 + 6 (3с − 5) = −3+ 2 (8с − 1)
    35. −12 + 8 (x − 5) = −4+ 3 (5x − 2)
    36. 4 (x − 1) − 8 = 6 (3x − 2) − 7
    37. 7 (2x − 5) = 8 (4х − 1) − 9

    Щоденна математика

    1. Виготовлення паркану Джовані має огорожу навколо прямокутного саду на задньому дворі. Периметр огорожі - 150 футів. Довжина на 15 футів більше ширини. Знайти ширину, w, вирішивши рівняння 150 = 2 (w + 15) + 2w.
    2. Квитки на концерт На шкільному концерті загальна вартість проданих квитків становила 1506 доларів. Студентські квитки продаються за 6 доларів, а квитки для дорослих продаються за 9 доларів. Кількість проданих квитків для дорослих була в 5 менше, ніж в 3 рази більше, ніж кількість студентських квитків. Знайти кількість проданих студентських квитків, s, вирішивши рівняння 6s + 9 (3s − 5) = 1506.
    3. Монета Ронда має $1.90 в нікельсах і копійках. Кількість копійок на один менше, ніж в два рази перевищує кількість нікелів. Знайти кількість нікелів, n, розв'язавши рівняння 0,05n + 0,10 (2n − 1) = 1,90.
    4. Фехтування Micah має 74 фути огорожі, щоб зробити прямокутну собаку перо у своєму дворі. Він хоче, щоб довжина була на 25 футів більше ширини. Знайти довжину, L, вирішивши рівняння 2L+ 2 (L − 25) = 74.

    Письмові вправи

    203. При вирішенні рівняння зі змінними з обох сторін, чому зазвичай краще вибрати сторону з більшим коефіцієнтом в якості змінної сторони? 204. Розв'яжіть рівняння 10x + 14 = −2x + 38, пояснивши всі кроки вашого рішення. 205. Який перший крок ви зробите при розв'язанні рівняння 3 − 7 (y − 4) = 38? Поясніть, чому це ваш перший крок 206. Розв'яжіть рівняння 1 4 (8x + 20) = 3x − 4, пояснюючи всі кроки вашого рішення, як у прикладах у цьому розділі. 207. Використовуючи власні слова, перерахуйте кроки в Загальній стратегії вирішення лінійних рівнянь 208. Поясніть, чому вам слід максимально спростити обидві сторони рівняння, перш ніж збирати змінні члени в одну сторону, а постійні члени в іншу сторону.

    Самостійна перевірка

    (а) Після виконання вправ використовуйте цей контрольний список, щоб оцінити своє володіння цілями цього розділу.

    (б) Що цей контрольний список розповідає вам про ваше володіння цим розділом? Які кроки ви зробите для вдосконалення?

    Автори та атрибуція