8.4: Розв'яжіть рівняння зі змінними та константами з обох сторін (частина 1)
- Page ID
- 57683
- Розв'яжіть рівняння з константами з обох сторін
- Розв'яжіть рівняння зі змінними з обох сторін
- Розв'яжіть рівняння зі змінними та константами з обох сторін
- Розв'язуйте рівняння за допомогою загальної стратегії
Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.
- Спрощення: 4y − 9 + 9. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.3.10.
- Вирішити: у + 12 = 16. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.5.4.
- Вирішити: −3y = 63. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 3.9.6.
Розв'яжіть рівняння з константами з обох сторін
Можливо, ви помітили, що у всіх рівняннях, які ми розв'язали досі, всі змінні члени знаходилися лише на одній стороні рівняння з константами на іншій стороні. Це відбувається не постійно, тому тепер ми побачимо, як вирішити рівняння, де змінні члени та/або постійні члени знаходяться по обидва боки рівняння.
Наша стратегія передбачає вибір однієї сторони рівняння змінною стороною, а інша сторона рівняння - постійною стороною. Потім ми будемо використовувати Віднімання і Додавання Властивості рівності, крок за кроком, щоб отримати всі змінні члени разом на одній стороні рівняння і постійні члени разом на іншій стороні.
Роблячи це, ми перетворимо рівняння, яке почалося зі змінних і констант з обох сторін, у форму ax = b Ми вже знаємо, як розв'язувати рівняння такої форми, використовуючи властивості ділення або множення рівності.
Вирішити: 4х + 6 = −14.
Рішення
У цьому рівнянні змінна знаходиться тільки з лівого боку. Ліву частину має сенс назвати змінною стороною. Тому права сторона буде постійною стороною. Ми напишемо мітки над рівнянням, щоб допомогти нам згадати, що йде куди.
| Оскільки ліва сторона є змінною стороною, то 6 недоречна. Ми повинні «скасувати» додавання 6, віднімаючи 6, а щоб зберегти рівність, ми повинні відняти 6 з обох сторін. Використовуйте властивість віднімання рівності. | $4x+ 6\ колір тексту {червоний} {-6} = -14\ колір тексту {червоний} {-6} $$ |
| Спростити. | $4х = -20$$ |
| Тепер всі х знаходяться зліва, а константа праворуч. | |
| Використовуйте властивість поділу рівності. | $$\ dfrac {4x} {\ колір тексту {червоний} {4}} =\ dfrac {-20} {\ колір тексту {червоний} {4}} $$ |
| Спростити. | $ $ х = -5$$ |
| Перевірка: Нехай x = −5. | $\ почати {спліт} 4x + 6 &= -14\\ 4 (\ колір тексту {червоний} {-5}) + 6 &= -14\\ -20 + 6 &= -14\\ -14 &= -14\\;\ галочка\ кінець {спліт} $$ |
Вирішити: 3х+ 4 = −8.
- Відповідь
-
х = -4
Вирішити: 5а + 3 = −37.
- Відповідь
-
а = -8
Вирішити: 2y − 7 = 15.
Рішення
Зверніть увагу, що змінна знаходиться тільки в лівій частині рівняння, так що це буде змінна сторона, а права сторона буде постійною стороною. Оскільки ліва сторона є змінною стороною, то 7 недоречна. Він віднімається від 2y, тому, щоб «скасувати» віднімання, додайте 7 до обох сторін.
| Додайте 7 в обидві сторони. | $2y - 7\ колір тексту {червоний} {+7} = 15\ колір тексту {червоний} {+7} $$ |
| Спростити. | $2рік = 22$$ |
| Змінні тепер знаходяться з одного боку, а константи з іншого. | |
| Розділіть обидві сторони на 2. | $$\ dfrac {2y} {\ колір тексту {червоний} {2}} =\ dfrac {22} {\ колір тексту {червоний} {2}} $$ |
| Спростити. | $ $ у = 11$$ |
| Перевірка: Заміна: y = 11. | $\ почати {спліт} 2y - 7 &= 15\\ 2\ dot\ textcolor {червоний} {1} - 7 &\ stackerl {?} {=} 15\\ 22 - 7 &\ стек {?} {=} 15\\ 15 &= 15\;\ галочка\ кінець {спліт} $$ |
Вирішити: 5y − 9 = 16.
- Відповідь
-
у = 5
Вирішити: 3м − 8 = 19.
- Відповідь
-
м = 9
Розв'яжіть рівняння зі змінними з обох сторін
Що робити, якщо по обидва боки рівняння є змінні? Ми почнемо, як ми робили вище - вибираючи змінну сторону і постійну сторону, а потім використаємо властивості віднімання та додавання рівності, щоб зібрати всі змінні з одного боку і всі константи з іншого боку. Пам'ятайте, що ви робите з лівою стороною рівняння, ви повинні зробити з правого боку теж.
Вирішити: 5х = 4х+ 7.
Рішення
Тут змінна, х, знаходиться з обох сторін, але константи з'являються тільки на правій стороні, тому давайте зробимо праву сторону «постійною» стороною. Тоді ліва сторона буде «змінною» стороною.
| Ми не хочемо, щоб будь-які змінні праворуч, так що відніміть 4x. | $5x\ колір тексту {червоний} {-4x} = 4x\ колір тексту {червоний} {-4x} + 7$$ |
| Спростити. | $ $ х = 7$$ |
| У нас є всі змінні з одного боку і константи з іншого. Ми вирішили рівняння. | |
| Перевірка: Замініть 7 на x. | $\ почати {спліт} 5x &= 4x + 7\\ 5 (\ textcolor {червоний} {7}) &\ stackrel {?} {=} 4 (\ колір тексту {червоний} {7}) + 7\\ 35 &\ стековий {?} {=} 28 + 7\\ 35 &= 35\;\ галочка\ кінець {спліт} $$ |
Вирішити: 6н = 5н + 10.
- Відповідь
-
п = 10
Вирішити: −6c = −7c + 1.
- Відповідь
-
с = 1
Вирішити: 5y − 8 = 7р.
Рішення
Єдина константа, −8, знаходиться ліворуч від рівняння, а змінна y - з обох сторін. Залишимо константу зліва і збираємо змінні праворуч.
| Відніміть 5y з обох сторін. | $5Y\ колір тексту {червоний} {-5y} -8 = 7y\ колір тексту {червоний} {-5y} $$ |
| Спростити. | $-8 = 2й$$ |
| У нас є змінні праворуч і константи зліва. Розділіть обидві сторони на 2. | $$\ dfrac {-8} {\ колір тексту {червоний} {2}} =\ dfrac {2y} {\ колір тексту {червоний} {2}} $$ |
| Спростити. | $-4 = й$$ |
| Перепишіть зі змінною зліва. | $ $ у = -4$$ |
| Перевірка: Нехай y = −4. | $\ почати {спліт} 5y - 8 &= 7y\\ 5 (\ textcolor {червоний} {-4}) -8 &\ stackrel {?} {=} 7 (\ колір тексту {червоний} {-4})\\ -20 - 8 &\ stackrel {?} {=} -28\\ -28 &= -28\;\ галочка\ кінець {спліт} $$ |
Вирішити: 3р − 14 = 5п.
- Відповідь
-
р = -7
Вирішити: 8м+9 = 5м.
- Відповідь
-
м = -3
Вирішити: 7x = − х + 24.
Рішення
Єдина постійна, 24, знаходиться праворуч, так що нехай ліва сторона буде змінною стороною.
| Вилучити −x з правого боку, додавши x до обох сторін. | $7x\ колір тексту {червоний} {+х} = -х\ колір тексту {червоний} {+х} + 24$$ |
| Спростити. | $8х = 24$$ |
| Всі змінні знаходяться зліва, а константи - праворуч. Розділіть обидві сторони на 8. | $$\ dfrac {8x} {\ колір тексту {червоний} {8}} =\ dfrac {24} {\ колір тексту {червоний} {8}} $$ |
| Спростити. | $ $ х = 3$$ |
| Перевірка: Заміна x = 3. | $\ почати {спліт} 7x &= -х + 24\\ 7 (\ textcolor {червоний} {3}) &\ stackrel {?} {=} - (\ колір тексту {червоний} {3}) + 24\\ 21 &= 21\;\ галочка\ кінець {спліт} $$ |
Вирішити: 12j = −4j + 32.
- Відповідь
-
j = 2
Вирішити: 8h = −4h + 12.
- Відповідь
-
ч = 1
Розв'язуйте рівняння зі змінними та константами з обох сторін
Наступний приклад буде першим, у якого змінні та константи по обидва боки рівняння. Як ми робили раніше, ми будемо збирати змінні терміни в одну сторону і константи в іншу сторону.
Вирішити: 7х+ 5 = 6х+ 2.
Рішення
Почніть з вибору, яка сторона буде змінною стороною, а яка сторона буде постійною стороною. Змінні терміни - 7x і 6x. Оскільки 7 більше 6, зробіть ліву сторону змінною стороною і так права сторона буде постійною стороною.
| Зберіть змінні терміни в ліву сторону, віднімаючи 6x з обох сторін. | $7x\ колір тексту {червоний} {-6x} + 5 = 6x\ колір тексту {червоний} {-6x} +2$$ |
| Спростити. | $х + 5 = 2$$ |
| Тепер зберіть константи в праву сторону, віднімаючи 5 з обох сторін. | $x+ 5\ колір тексту {червоний} {-5} = 2\ колір тексту {червоний} {-5} $$ |
| Спростити. | $ $ х = -3$$ |
| Розв'язок дорівнює x = −3. | |
| Перевірка: Нехай x = −3. | $\ почати {спліт} 7x+ 5 &= 6x + 2\\ 7 (\ колір тексту {червоний} {-3}) + 5 &\ stackrel {?} {=} 6 (\ колір тексту {червоний} {-3}) + 2\\ -21 + 5 &\ stackrel {?} {=} -18 + 2\\ -16 &= -16\;\ галочка\ кінець {спліт} $$ |
Вирішити: 12х+ 8 = 6х+ 2.
- Відповідь
-
х = -1
Вирішити: 9й + 4 = 7й + 12.
- Відповідь
-
у = 4
Ми підсумуємо кроки, які ми зробили, щоб ви могли легко звернутися до них.
Крок 1. Виберіть одну сторону, щоб бути змінною стороною, а потім інша буде постійною стороною.
Крок 2. Зберіть змінні терміни в змінну сторону, використовуючи властивість додавання або віднімання рівності.
Крок 3. Зберіть константи на іншу сторону, використовуючи властивість додавання або віднімання рівності.
Крок 4. Складіть коефіцієнт змінної 1, використовуючи властивість множення або ділення рівності.
Крок 5. Перевірте рішення, підставивши його в вихідне рівняння.
Непогано зробити змінну сторону тією, в якій змінна має більший коефіцієнт. Зазвичай це полегшує арифметику.
Вирішити: 6n − 2 = −3n + 7.
Рішення
У нас є 6n ліворуч і −3n праворуч. Починаючи з 6 > − 3, зробіть ліву сторону «змінною».
| Ми не хочемо змінні на правій стороні - додати 3n в обидві сторони, щоб залишити тільки константи праворуч. | $6n\ колір тексту {червоний} {+3n} - 2 = -3n\ колір тексту {червоний} {+3n} +7$$ |
| Поєднуйте подібні терміни. | $9n - 2 = 7$$ |
| Ми не хочемо ніяких констант на лівій стороні, так що додати 2 в обидві сторони. | $9n - 2\ колір тексту {червоний} {+2} = 7\ колір тексту {червоний} {+2} $$ |
| Спростити. | $9n = 9$$ |
| Змінний термін знаходиться зліва, а постійний член - праворуч. Щоб коефіцієнт n дорівнював одиниці, розділіть обидві сторони на 9. | $$\ dfrac {9n} {\ колір тексту {червоний} {9}} =\ dfrac {9} {\ колір тексту {червоний} {9}} $$ |
| Спростити. | $$п = 1$$ |
| Перевірка: Замініть 1 на n. | $\ почати {спліт} 6n - 2 &= -3n + 7\\ 6 (\ textcolor {червоний} {1}) - 2 &\ stackrel {?} {=} + 7\\ 4 &= 4\;\ галочка\ кінець {спліт} $$ |
Вирішити: 8q − 5 = −4q + 7.
- Відповідь
-
q = 1
Вирішити: 7n − 3 = n + 3.
- Відповідь
-
п = 1
Вирішити: 2а − 7 = 5а+ 8.
Рішення
Це рівняння має 2a зліва і 5a праворуч. Починаючи з 5 > 2, зробіть праву сторону змінною стороною, а ліву - постійною стороною.
| Відніміть 2a з обох сторін, щоб видалити змінний термін зліва. | $2A\ колір тексту {червоний} {-2a} - 7 = 5a\ колір тексту {червоний} {-2a} + 8$$ |
| Поєднуйте подібні терміни. | $-7 = 3а + 8$$ |
| Відніміть 8 з обох сторін, щоб прибрати константу справа. | $-7\ колір тексту {червоний} {-8} = 3a + 8\ колір тексту {червоний} {-8} $$ |
| Спростити. | $-15 = 3а$$ |
| Розділіть обидві сторони на 3, щоб зробити 1 коефіцієнт a. | $$\ dfrac {-15} {\ колір тексту {червоний} {3}} =\ dfrac {3a} {\ колір тексту {червоний} {3}} $$ |
| Спростити. | $$-5 = А$$ |
| Перевірка: Нехай a = −5. | $\ почати {спліт} 2a - 7 &= 5a + 8\\ 2 (\ textcolor {червоний} {-5}) - 7 &\ stackrel {?} {=} 5 (\ колір тексту {червоний} {-5}) + 8\\ -10 - 7 &\ stackrel {?} {=} -25 + 8\\ -17 &= -17\;\ галочка\ кінець {спліт} $$ |
Зверніть увагу, що ми могли б зробити ліву сторону змінною стороною замість правої сторони, але це призвело б до негативного коефіцієнта на змінний термін. Хоча ми могли б працювати з негативом, менше шансів помилки при роботі з позитивами. Стратегія, викладена вище, допомагає уникнути негативів!
Вирішити: 2а − 2 = 6а+ 18.
- Відповідь
-
а = -5
Вирішити: 4k − 1 = 7к+ 17.
- Відповідь
-
к = -6
Щоб вирішити рівняння з дробами, ми все одно дотримуємося тих же кроків, щоб отримати рішення.
Вирішити:\(\dfrac{3}{2}\) x + 5 =\(\dfrac{1}{2}\) x − 3.
Рішення
Так як\(\dfrac{3}{2} > \dfrac{1}{2}\), зробіть ліву сторону змінною стороною, а праву - постійною.
| Відніміть\(\dfrac{1}{2}\) x з обох сторін. | $\ dfrac {3} {2} х\ колір тексту {червоний} {-\ dfrac {1} {2} x} + 5 =\ dfrac {1} {2} x\ textcolor {червоний} {\ dfrac {1} {2} x} - 3$$ |
| Поєднуйте подібні терміни. | $х + 5 = -3$$ |
| Відніміть 5 з обох сторін. | $x+ 5\ колір тексту {червоний} {-5} = -3\ колір тексту {червоний} {-5} $$ |
| Спростити. | $ $ х = -8$$ |
| Перевірка: Нехай x = −8. | $\ почати {спліт}\ dfrac {3} {2} x + 5 &=\ dfrac {1} {2} x - 3\\ dfrac {3} {2} (\ textcolor {червоний} {-8}) + 5 &\ stackrel {?} {=}\ drac {1} {2} (\ колір тексту {червоний} {-8}) - 3\\ -12 + 5 &\ стекерл {?} {=} -4 - 3\\ -7 &= -7\;\ галочка\ кінець {спліт} $$ |
Вирішити:\(\dfrac{7}{8}\) х - 12 =\(- \dfrac{1}{8}\) х − 2.
- Відповідь
-
х = 10
Вирішити:\(\dfrac{7}{6}\) у + 11 =\(\dfrac{1}{6}\) у + 8.
- Відповідь
-
у = -3
Ми слідуємо тим самим крокам, коли рівняння має десяткові числа, теж.
Вирішити: 3,4х+ 4 = 1.6x − 5.
Рішення
Починаючи з 3.4 > 1.6, зробіть ліву сторону змінною стороною, а праву - постійною.
| Відніміть 1.6x з обох сторін. | $3,4x\ колір тексту {червоний} {-1.6x} + 4 = 1.6x\ колір тексту {червоний} {-1.6x} - 5$$ |
| Поєднуйте подібні терміни. | $1,8х+ 4 = -5$$ |
| Відніміть 4 з обох сторін. | $1.8x+ 4\ колір тексту {червоний} {-4} = -5\ колір тексту {червоний} {-4} $$ |
| Спростити. | $1,8х = -9$$ |
| Використовуйте властивість поділу рівності. | $$\ dfrac {1.8x} {\ колір тексту {червоний} {1.8}} =\ dfrac {-9} {\ textcolor {червоний} {1.8}} $$ |
| Спростити. | $ $ х = -5$$ |
| Перевірка: Нехай x = −5. | $\ почати {спліт} 3.4x + 4 &= 1.6x - 5\\ 3.4 (\ колір тексту {червоний} {-5}) + 4 &\ stackrel {?} {=} 1.6 (\ колір тексту {червоний} {-5}) - 5\ -17 + 4 &\ stackrel {?} {=} -8 - 5\\ -13 &= -13\;\ галочка\ кінець {спліт} $$ |
Вирішити: 2.8x + 12 = −1.4x − 9.
- Відповідь
-
х = -5
Вирішити: 3.6y + 8 = 1.2y − 4.
- Відповідь
-
у = -5