Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.3: Розв'язуйте рівняння з використанням властивостей ділення та множення рівності

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57684

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання
    • Розв'язуйте рівняння з використанням властивостей ділення та множення рівності
    • Вирішити рівняння, які потрібно спростити
    будьте готові!

    Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

    1. Спрощення: −7\(\left(\dfrac{1}{−7}\right)\). Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 4.3.10.
    2. Що таке взаємне\(− \dfrac{3}{8}\)? Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 4.4.11.
    3. Оцінити 9x+ 2, коли x = −3. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 3.8.10.

    Розв'язуйте рівняння з використанням властивостей ділення та множення рівності

    Введено властивості множення та ділення рівності при розв'язанні рівнянь з використанням цілих чисел; властивість ділення рівності та розв'язання рівнянь з дробами. Ми змоделювали, як ці властивості працювали за допомогою конвертів та лічильників, а потім застосували їх до розв'язування рівнянь (див. Розв'язування рівнянь за допомогою цілих чисел; Властивість поділу рівності). Ми знову повторюємо їх тут, як ми готуємося використовувати ці властивості знову.

    Означення: Ділення та множення властивостей рівності

    Властивість поділу рівності: Для всіх дійсних чисел a, b, c і c ≠ 0, якщо a = b, то\(\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{c}\).

    Властивість множення рівності: Для всіх дійсних чисел a, b, c, якщо a = b, то ac = bc.

    Коли ви ділите або множите обидві сторони рівняння на однакову величину, ви все одно маєте рівність.

    Давайте розглянемо, як ці властивості рівності можуть бути застосовані для вирішення рівнянь. Пам'ятайте, мета полягає в тому, щоб «скасувати» операцію зі змінною. У наведеному нижче прикладі змінна множиться на 4, тому ми розділимо обидві сторони на 4, щоб «скасувати» множення.

    Приклад\(\PageIndex{1}\):

    Вирішити: 4x = −28.

    Рішення

    Ми використовуємо властивість поділу рівності, щоб розділити обидві сторони на 4.

    Розділіть обидві сторони на 4, щоб скасувати множення. $$\ dfrac {4x} {\ колір тексту {червоний} {4}} =\ dfrac {-28} {\ колір тексту {червоний} {4}} $$
    Спростити. $ $ х = -7$$
    Перевірте свою відповідь. Нехай x = −7. $\ begin {спліт} 4x &= -28\\ 4 (\ textcolor {червоний} {-7}) &\ stackrel {?} {=} -28\\ -28 &= -28\;\ галочка\ кінець {спліт} $$

    Оскільки це вірний оператор, x = −7 є розв'язком 4x = −28.

    Вправа\(\PageIndex{1}\):

    Вирішити: 3y = −48.

    Відповідь

    у = -16

    Вправа\(\PageIndex{2}\):

    Вирішити: 4z = −52.

    Відповідь

    z = -13

    У попередньому прикладі, щоб 'скасувати' множення, ми розділили. Як ви думаєте, як ми «скасуємо» поділ?

    Приклад\(\PageIndex{2}\):

    Вирішити:\(\dfrac{a}{−7}\) = −42.

    Рішення

    Тут a ділиться на −7. Ми можемо помножити обидві сторони на −7, щоб ізолювати a.

    Помножте обидві сторони на −7. $\ колір тексту {червоний} {-7}\ лівий (\ dfrac {a} {-7}\ праворуч) =\ колір тексту {червоний} {7} (-42) $$
    Спростити. $А = 294$$
    Перевірте свою відповідь. Нехай а = 294. $\ begin {спліт}\ dfrac {a} {-7} &= -42\\ dfrac {\ textcolor {червоний} {294}} {-7} &\ stackrel {?} {=} -42\\ -42 &= -42\;\ галочка\ кінець {спліт} $$
    Вправа\(\PageIndex{3}\):

    Вирішити:\(\dfrac{b}{−6}\) = −24.

    Відповідь

    б = 144

    Вправа\(\PageIndex{4}\):

    Вирішити:\(\dfrac{c}{−8}\) = −16.

    Відповідь

    с = 128

    Приклад\(\PageIndex{3}\):

    Вирішити: −r = 2.

    Рішення

    Пам'ятайте, що −r еквівалентно −1r.

    Перезаписати −r як −1r. $$-1р = 2$$
    Розділіть обидві сторони на −1. $$\ dfrac {-1r} {\ textcolor {червоний} {-1}} =\ dfrac {2} {\ textcolor {червоний} {-1}} $$

    Перевірте.

    Підставляємо r = −2. $$-р = 2$$
    Спростити. $\ begin {спліт} - (\ textcolor {червоний} {-2}) &\ stackrel {?} {=} 2\\ 2 &= 2\;\ галочка\ кінець {спліт} $$

    У розділі Розв'язування рівнянь з дробами ми побачили, що існує ще два способи розв'язання −r = 2.

    1. Ми могли б помножити обидві сторони на −1.
    2. Ми могли б взяти протилежну обидві сторони.
    Вправа\(\PageIndex{5}\):

    Вирішити: −k = 8.

    Відповідь

    к = -8

    Вправа\(\PageIndex{6}\):

    Вирішити: −g = 3.

    Відповідь

    г = -3

    Приклад\(\PageIndex{4}\):

    Вирішити:\(\dfrac{2}{3}\) х = 18.

    Рішення

    Оскільки добуток числа і його взаємний дорівнює 1, наша стратегія буде полягати в тому, щоб ізолювати х шляхом множення на зворотне значення\(\dfrac{2}{3}\).

    Помножте на зворотну\(\dfrac{2}{3}\). $\ колір тексту {червоний} {\ dfrac {3} {2}}\ dot\ drac {2} {3} x =\ колір тексту {червоний} {\ drac {3} {2}}\ dot 18$$
    Взаємно множимо на одиницю. $1x =\ фрак {3} {2}\ ddot\ drac {18} {1} $$
    Помножити. $х = 27$$
    Перевірте свою відповідь. Нехай х = 27. $\ почати {спліт}\ drac {2} {3} x &= 18\\\ dfrac {2} {3}\ dot\ textcolor {червоний} {27} &\ stackrel {?} {=} 18\ 18 &= 18\;\ галочка\ кінець {спліт} $$

    Зверніть увагу, що ми могли б розділити обидві сторони рівняння\(\dfrac{2}{3}\) x = 18 на,\(\dfrac{2}{3}\) щоб ізолювати х. Хоча це буде працювати, множення на зворотне вимагає менше кроків.

    Вправа\(\PageIndex{7}\):

    Вирішити:\(\dfrac{2}{5}\) n = 14.

    Відповідь

    n = 35

    Вправа\(\PageIndex{8}\):

    Вирішити:\(\dfrac{5}{6}\) y = 15.

    Відповідь

    у = 18

    Розв'яжіть рівняння, які потрібно спростити

    Багато рівнянь починаються складніше, ніж ті, які ми тільки що вирішили. По-перше, нам потрібно максимально спростити обидві сторони рівняння.

    Приклад\(\PageIndex{5}\):

    Вирішити: 8х+ 9x − 5x = −3+ 15.

    Рішення

    Почніть з комбінування подібних термінів, щоб спростити кожну сторону.

    Поєднуйте подібні терміни. $12х = 12$$
    Розділіть обидві сторони на 12, щоб виділити х. $$\ dfrac {12x} {\ колір тексту {червоний} {12}} =\ dfrac {12} {\ колір тексту {червоний} {12}} $$
    Спростити. $ $ х = 1$$
    Перевірте свою відповідь. Нехай х = 1. $\ почати {спліт} 8x+ 9x - 5x &= -3 + 15\\ 8\ крапка\ колір тексту {червоний} {1} + 9\ крапка\ колір тексту {червоний} {1} - 5\ крапка\ textcolor {червоний} {1} &\ stackel {?} {=} -3 + 15\\ 12 &= 12\;\ галочка\ кінець {спліт} $$
    Вправа\(\PageIndex{9}\):

    Вирішити: 7х+ 6х − 4х = −8 + 26.

    Відповідь

    х = 2

    Вправа\(\PageIndex{10}\):

    Вирішити: 11n − 3n − 6n = 7 − 17.

    Відповідь

    п = -5

    Приклад\(\PageIndex{6}\):

    Вирішити: 11 − 20 = 17й − 8й − 6р.

    Рішення

    Спростіть кожну сторону, комбінуючи подібні терміни.

    Спростити кожну сторону. $-9 = 3й$$
    Розділіть обидві сторони на 3, щоб виділити y. $$\ dfrac {-9} {\ колір тексту {червоний} {3}} =\ dfrac {3y} {\ колір тексту {червоний} {3}} $$
    Спростити. $-3 = й$$
    Перевірте свою відповідь. Нехай y = −3. $\ почати {спліт} 11 - 20 &= 17y - 8y - 6y\ 1 - 20 &\ stackrel {?} {=} 17 (\ колір тексту {червоний} {-3}) -8 (\ колір тексту {червоний} {-3}) -6 (\ колір тексту {червоний} {-3})\\ 11 - 20 &\ stackrel {?} {=} -51 + 24 + 18\\ -9 &\ штабелер {?} {=} -9\;\ галочка\ кінець {спліт} $$

    Зверніть увагу, що змінна опинилася на правій стороні знака рівності, коли ми вирішили рівняння. Ви можете зробити ще один крок, щоб написати рішення зі змінною ліворуч від знака рівності.

    Вправа\(\PageIndex{11}\):

    Вирішити: 18 − 27 = 15c − 9c − 3c.

    Відповідь

    с = -3

    Вправа\(\PageIndex{12}\):

    Вирішити: 18 − 22 = 12х − х − 4х.

    Відповідь

    \(x = -\frac{4}{7}\)

    Приклад\(\PageIndex{7}\):

    Вирішити: −3 (n − 2) − 6 = 21.

    Рішення

    Пам'ятайте - завжди спочатку спрощуйте кожну сторону.

    Розподілити. $−3n + 6 = 21$$
    Спростити. $-3х = 21$$
    Розділіть обидві сторони на -3, щоб виділити n. $\ почати {спліт}\ dfrac {-3n} {\ textcolor {червоний} {-3}} &=\ dfrac {21} {\ колір тексту {-3}}\\ n &= -7\ кінець {спліт} $$
    Перевірте свою відповідь. Нехай n = −7. $\ begin {спліт} −3 (n − 2) − 6 &= 21\\ -3 (\ textcolor {червоний} {-7} - 2) - 6 &\ stackrel {?} {=} 21\\ -3 (-9) - 6 &\ стек {?} {=} 21\\ 27 - 6 &\ стек {?} {=} 21\ 21 &= 21\;\ галочка\ кінець {спліт} $$
    Вправа\(\PageIndex{13}\):

    Вирішити: −4 (n − 2) − 8 = 24.

    Відповідь

    п = -6

    Вправа\(\PageIndex{14}\):

    Вирішити: −6 (n − 2) − 12 = 30.

    Відповідь

    п = -5

    ДОСТУП ДО ДОДАТКОВИХ ОНЛАЙН-РЕСУРСІВ

    Розв'язування однокрокового рівняння за допомогою Mult/Div. Цілі числа (Var ліворуч)

    Розв'язування однокрокового рівняння за допомогою Mult/Div. Цілі числа (Var праворуч)

    Розв'язування однокрокового рівняння у вигляді: −x = −a

    Практика робить досконалим

    Розв'язуйте рівняння з використанням властивостей ділення та множення рівності

    У наступних вправах розв'яжіть кожне рівняння для змінної за допомогою властивості поділу рівності і перевірте рішення.

    1. 8х = 32
    2. 7п = 63
    3. −5с = 55
    4. −9х = −27
    5. −90 = 6 років
    6. −72 = 12 років
    7. −16р = −64
    8. −8м = −56
    9. 0,25 ц = 3,25
    10. 0,75а = 11,25
    11. −3х = 0
    12. 4х = 0

    У наступних вправах розв'яжіть кожне рівняння для змінної за допомогою властивості множення рівності і перевірте рішення.

    1. \(\dfrac{x}{4}\)= 15
    2. \(\dfrac{z}{2}\)= 14
    3. −20 =\(\dfrac{q}{−5}\)
    4. \(\dfrac{c}{−3}\)= −12
    5. \(\dfrac{y}{9}\)= −6
    6. \(\dfrac{q}{6}\)= −8
    7. \(\dfrac{m}{−12}\)= 5
    8. −4 =\(\dfrac{p}{−20}\)
    9. \(\dfrac{2}{3}\)у = 18
    10. \(\dfrac{3}{5}\)р = 15
    11. \(− \dfrac{5}{8}\)ш = 40
    12. 24 =\(− \dfrac{3}{4}\) х
    13. \(− \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{10} a\)
    14. \(− \dfrac{1}{3} q = − \dfrac{5}{6}\)

    Розв'яжіть рівняння, які потрібно спростити

    У наступних вправах розв'яжіть рівняння.

    1. 8а + 3а − 6а = −17 + 27
    2. 6 років − 3 роки + 12 років = −43 + 28
    3. −9x − 9х + 2х = 50 − 2
    4. −5м+ 7м − 8м = −6+ 36
    5. 100 − 16 = 4р − 10р − п
    6. −18 − 7 = 5т − 9т − 6т
    7. \(\dfrac{7}{8} n − \dfrac{3}{4} n\)= 9 + 2
    8. \(\dfrac{5}{12} q + \dfrac{1}{2} q\)= 25 − 3
    9. 0,25д+ 0,10д = 6 − 0.75
    10. 0.05р − 0.01р = 2 + 0.24

    Щоденна математика

    1. Повітряні кулі Рамона купила 18 кульок для вечірки. Вона хоче зробити 3 рівних пучка. Знайти кількість повітряних куль в кожній зв'язці, b, вирішивши рівняння 3b = 18.
    2. Навчання класу дитячого садка Конні має 24 дітей. Вона хоче, щоб вони потрапляли в 4 рівні групи. Знайти кількість дітей в кожній групі, g, вирішивши рівняння 4g = 24.
    3. Вартість квитка Дар'я заплатила $36,25 за 5 дитячих квитків на ковзанці. Знайти ціну кожного квитка, р, вирішивши рівняння 5p = 36,25.
    4. Ціна за одиницю Nishant заплатив $12,96 за упаковку з 12 пляшок соку. Знайти ціну кожної пляшки, b, вирішивши рівняння 12b = 12,96.
    5. Економія палива Tania's SUV отримує половину менше миль на галон (mpg), ніж гібридний автомобіль її чоловіка. Позашляховик отримує 18 миль на галон. Знайдіть милі на галони, м, гібридного автомобіля, вирішивши рівняння\(\dfrac{1}{2}\) m = 18.
    6. Тканина Команда дрилів використовувала 14 ярдів тканини, щоб зробити прапори для третини членів. Знайдіть скільки тканини, f, вони повинні були б зробити прапорці для всієї команди, вирішивши рівняння\(\dfrac{1}{3}\) f = 14.

    Письмові вправи

    1. Фріда почала розв'язувати рівняння −3x = 36, додаючи 3 до обох сторін. Поясніть, чому метод Фріди призведе до правильного рішення.
    2. Еміліано вважає, що х = 40 - це рішення рівняння\(\dfrac{1}{2}\) х = 80. Поясніть, чому він помиляється.

    Самостійна перевірка

    (а) Після виконання вправ використовуйте цей контрольний список, щоб оцінити своє володіння цілями цього розділу.

    (b) Ознайомившись з цим контрольним списком, що ви робите, щоб стати впевненими у всіх цілях?

    Автори та атрибуція