Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.2: Розв'язування рівнянь з використанням властивостей віднімання та додавання рівності (частина 2)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57709

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Перекладіть рівняння та розв'яжіть

    У попередніх розділах ми перевели речення слів у рівняння. Першим кроком є пошук слова (або слова), які переводять (и) на знак рівності. Таблиця\(\PageIndex{1}\) нагадує нам деякі слова, які переводяться на знак рівності.

    Таблиця\(\PageIndex{1}\)
    дорівнює (=)
    є дорівнює це те ж саме, що результат дає був буде

    Давайте розглянемо кроки, які ми використовували для перекладу речення в рівняння.

    ЯК: ПЕРЕВЕСТИ РЕЧЕННЯ СЛОВА НА АЛГЕБРАЇЧНЕ РІВНЯННЯ

    Крок 1. Знайдіть слово (и) «дорівнює». Перевести на знак рівності.

    Крок 2. Переведіть слова зліва від слова «дорівнює» в алгебраїчний вираз.

    Крок 3. Перекладіть слова праворуч від слова «дорівнює» в алгебраїчний вираз.

    Тепер ми готові спробувати приклад.

    Приклад\(\PageIndex{9}\):

    Перекладіть і вирішуйте: п'ять більше х дорівнює 26.

    Рішення

    Перекласти.
    Відніміть 5 з обох сторін. $x+ 5\ колір тексту {червоний} {-5} = 26\ колір тексту {червоний} {-5} $$
    Спростити. $х = 21$$
    Перевірка: 26 п'ять більше, ніж 21? $\ begin {спліт} 21 + 5 &\ stackrel {?} {=} 26\ 26 &= 26\;\ галочка\ кінець {спліт} $$

    Рішення перевіряє.

    Вправа\(\PageIndex{17}\):

    Перекласти і вирішити: Одинадцять більше х дорівнює 41.

    Відповідь

    х + 11 = 41; х = 30

    Вправа\(\PageIndex{18}\):

    Перекласти і вирішити: Дванадцять менше y дорівнює 51.

    Відповідь

    у - 12 = 51; у = 63

    Приклад\(\PageIndex{10}\):

    Перекласти і вирішити: Різниця 5p і 4p становить 23.

    Рішення

    Перекласти.
    Спростити. р = 23
    Перевірте. $\ почати {спліт} 5p - 4p &= 23\\ 5 (23) - 4 (23) &\ stackrel {?} {=} 23\ 15 - 2 &\ стекові {?} {=} 23\ 23 &= 23\;\ галочка\ кінець {спліт} $$

    Рішення перевіряє.

    Вправа\(\PageIndex{19}\):

    Перекладіть і вирішуйте: Різниця 4x і 3x становить 14.

    Відповідь

    4х - 3х = 14; х = 14

    Вправа\(\PageIndex{20}\):

    Перекласти та розв'язати: Різниця 7a та 6a дорівнює −8.

    Відповідь

    7а - 6а = -8; а = -8

    Перекладіть та вирішуйте програми

    У більшості прикладних завдань, які ми вирішували раніше, ми змогли знайти кількість, яку ми шукали, спростивши алгебраїчний вираз. Тепер ми будемо використовувати рівняння для вирішення прикладних задач. Ми почнемо з відновлення проблеми лише в одному реченні, призначити змінну, а потім перевести речення в рівняння для вирішення. Призначаючи змінну, виберіть букву, яка нагадує вам про те, що ви шукаєте.

    Приклад\(\PageIndex{11}\):

    У сім'ї Роблес є дві собаки, Бастер і Чендлер. Разом вони важать 71 кілограм. Чандлер важить 28 фунтів. Скільки важить Бастер?

    Рішення

    Уважно прочитайте проблему.  
    Визначте те, що вас попросять знайти, і виберіть змінну для його представлення. Скільки важить Бастер? Нехай b = вага Бастера.
    Напишіть речення, яке дає інформацію, щоб знайти її. Вага Бастера плюс вага Чендлера дорівнює 71 фунту.
    Ми заново визначимо проблему, а потім включимо задану інформацію. Вага Бастера плюс 28 дорівнює 71.
    Переведіть речення в рівняння, використовуючи змінну b. $Б + 28 = 71$$
    Вирішіть рівняння, використовуючи хороші алгебраїчні методи. $\ почати {спліт} b + 28 - 28 &= 71 - 28\\ b &= 43\ кінець {спліт} $$
    Перевірте відповідь в проблемі і переконайтеся, що це має сенс.  
    Чи є 43 фунти розумною вагою для собаки? Так. Чи дорівнює вага Бастера плюс вага Чендлера 71 фунту? $\ begin {спліт} 43 + 28 &\ stackrel {?} {=} 71\\ 71 &= 71\;\ галочка\ кінець {спліт} $$
    Напишіть повне речення, яке відповідає на питання: «Скільки важить Бастер?» Бастер важить 43 фунтів
    Вправа\(\PageIndex{21}\):

    Переведіть на алгебраїчне рівняння і вирішіть: У сімействі Паппас є дві коти, Зевс і Афіна. Разом вони важать 13 фунтів. Зевс важить 6 фунтів. Скільки важить Афіна?

    Відповідь

    а + 6 = 13; Афіна важить 7 фунтів

    Вправа\(\PageIndex{22}\):

    Переведіть в алгебраїчне рівняння і вирішіть: Сем і Генрі є сусідами по кімнаті. Разом вони мають 68 книг. У Сема 26 книг. Скільки книг у Генрі?

    Відповідь

    26 + h = 68; Генрі має 42 книги.

    ЯК: РОЗРОБИТИ СТРАТЕГІЮ ВИРІШЕННЯ ПРОБЛЕМ

    Крок 1. Прочитайте проблему. Переконайтеся, що ви зрозуміли всі слова та ідеї.

    Крок 2. Визначте, що ви шукаєте.

    Крок 3. Назвіть те, що ви шукаєте. Виберіть змінну для представлення цієї кількості

    Крок 4. Перевести в рівняння. Можливо, буде корисно повторити проблему в одному реченні з усією важливою інформацією. Потім перекладіть англійське речення в рівняння алгебри.

    Крок 5. Вирішіть рівняння, використовуючи хороші методи алгебри.

    Крок 6. Перевірте відповідь в проблемі і переконайтеся, що це має сенс.

    Крок 7. Відповісти на питання повним реченням.

    Приклад\(\PageIndex{12}\):

    Шайла заплатила 24 575 доларів за свій новий автомобіль. Це було на $875 менше, ніж ціна наклейки. Якою була ціна наклейки автомобіля?

    Рішення

    Що вас просять знайти? «Якою була ціна наклейки автомобіля?»
    Призначити змінну. Нехай s = ціна наклейки автомобіля.
    Напишіть речення, яке дає інформацію, щоб знайти її.

    $24,575 на $875 менше, ніж ціна наклейки

    $24,575 на $875 менше, ніж с
    Перевести в рівняння. $24 575 = с - 875$$
    Вирішити. $\ почати {спліт} 24,575 + 876 &= s - 875 + 875\\ 24,575 &= s\ кінець {спліт} $$
    Перевірте: $875 менше $25,450 дорівнює $24,575? $\ begin {спліт} 25,450 - 875 &\ stackrel {?} {=} 24,575\\ 24,575 &= 24,575\;\ галочка\ кінець {спліт} $$
    Напишіть речення, яке відповідає на питання. Ціна наклейки склала 25 450 доларів.
    Вправа\(\PageIndex{23}\):

    Переведіть на алгебраїчне рівняння і вирішіть: Едді заплатив 19 875 доларів за свій новий автомобіль. Це було на 1,025 доларів менше, ніж ціна наклейки. Якою була ціна наклейки автомобіля?

    Відповідь

    19 875 = s − 1025; ціна наклейки $20 900.

    Вправа\(\PageIndex{24}\):

    Переведіть на алгебраїчне рівняння та вирішіть: Ціна входу на фільми протягом дня становить 7,75 долара. Це на $3.25 менше, ніж ціна вночі. Скільки коштує фільм вночі?

    Відповідь

    7.75 = n − 3.25; ціна вночі - $11.00.

    ДОСТУП ДО ДОДАТКОВИХ ОНЛАЙН-РЕСУРСІВ

    Розв'язування однокрокових рівнянь шляхом додавання та віднімання

    Розв'яжіть однокрокові рівняння шляхом додавання та віднімання цілих чисел (змінна зліва)

    Розв'яжіть однокрокові рівняння шляхом додавання та віднімання цілих чисел (змінна праворуч)

    Практика робить досконалим

    Розв'язування рівнянь з використанням властивостей віднімання та додавання рівності

    У наступних вправах визначте, чи є дане значення рішенням рівняння.

    1. Чи є y =\(\dfrac{1}{3}\) розчин 4y + 2 = 10y?
    2. Чи є х =\(\dfrac{3}{4}\) розчином 5х+ 3 = 9х?
    3. Чи є u =\(− \dfrac{1}{2}\) розчином 8u − 1 = 6u?
    4. Чи є v =\(− \dfrac{1}{3}\) розчином 9v − 2 = 3v?

    У наступних вправах розв'яжіть кожне рівняння.

    1. х + 7 = 12
    2. у + 5 = −6
    3. б +\(\dfrac{1}{4}\) =\(\dfrac{3}{4}\)
    4. а +\(\dfrac{2}{5}\) =\(\dfrac{4}{5}\)
    5. р + 2,4 = −9,3
    6. м + 7,9 = 11,6
    7. а − 3 = 7
    8. м− 8 = −20
    9. x −\(\dfrac{1}{3}\) = 2
    10. x −\(\dfrac{1}{5}\) = 4
    11. y − 3,8 = 10
    12. y − 7,2 = 5
    13. x − 15 = −42
    14. з+ 5,2 = −8,5
    15. q +\(\dfrac{3}{4}\) =\(\dfrac{1}{2}\)
    16. p −\(\dfrac{2}{5}\) =\(\dfrac{2}{3}\)
    17. y −\(\dfrac{3}{4}\) =\(\dfrac{3}{5}\)

    Розв'яжіть рівняння, які потрібно спростити

    У наступних вправах розв'яжіть кожне рівняння.

    1. c + 3 − 10 = 18
    2. м+ 6 − 8 = 15
    3. 9х + 5 − 8х + 14 = 20
    4. 6х + 8 − 5х + 16 = 32
    5. −6x − 11 + 7х − 5 = −16
    6. −8n − 17+ 9n − 4 = −41
    7. 3 (y − 5) − 2y = −7
    8. 4 (y − 2) − 3y = −6
    9. 8 (у+ 1.5) − 7u = 4,9
    10. 5 (ш + 2.2) − 4w = 9.3
    11. −5 (y − 2) + 6y = −7+ 4
    12. −8 (x − 1) + 9x = −3+ 9
    13. 3 (5n − 1) − 14n + 9 = 1 − 2
    14. 2 (8м + 3) − 15m − 4 = 3 − 5
    15. − (j + 2) + 2j − 1 = 5
    16. − (к+ 7) + 2к+ 8 = 7
    17. 6а − 5 (а − 2) + 9 = −11
    18. 8c − 7 (c − 3) + 4 = −16
    19. 8 (4х + 5) − 5 (6х) − х = 53
    20. 6 (9й − 1) − 10 (5й) − 3й = 22

    Перекласти на рівняння і вирішити

    У наступних вправах перекладіть на рівняння, а потім розв'яжіть.

    1. На п'ять більше х дорівнює 21.
    2. Сума x та −5 дорівнює 33.
    3. Десять менше m дорівнює −14.
    4. Три менше, ніж y, дорівнює −19.
    5. Сума y та −3 дорівнює 40.
    6. На вісім більше р дорівнює 52.
    7. Різниця 9х і 8х становить 17.
    8. Різниця 5с і 4с становить 60.
    9. Різниця n і\(\dfrac{1}{6}\) є\(\dfrac{1}{2}\).
    10. Різниця f і\(\dfrac{1}{3}\) є\(\dfrac{1}{12}\).
    11. Сума −4n та 5n дорівнює −32.
    12. Сума −9m та 10m дорівнює −25.

    Перекладіть та вирішуйте програми

    У наступних вправах перевести в рівняння і вирішити.

    1. Пілар їхала з дому до школи, а потім до будинку тітки, загалом 18 миль. Відстань від будинку Пілар до школи становить 7 км. Яка відстань від школи до будинку тітки?
    2. Джефф прочитав загалом 54 сторінки у своїх підручниках з англійської мови та психології. Він прочитав 41 сторінку свого підручника з англійської мови. Скільки сторінок він прочитав у своєму підручнику з психології?
    3. Батько Пабло на 3 роки старший за матір. Мати Пабло 42 роки. Скільки років батькові?
    4. Дочка Єви на 5 років молодша за сина. Синові Єви 12 років. Скільки років її доньці?
    5. Аллі важить на 8 фунтів менше, ніж її сестра-близнюк Лоррі. Аллі важить 124 кілограми. Скільки важить Лоррі?
    6. Для сімейного обіду на день народження Селеста купила індичку, яка важила на 5 фунтів менше, ніж та, яку вона купила на День Подяки. Вечеря на день народження індичка важила 16 фунтів. Скільки важить індичка на День Подяки?
    7. Медсестра повідомила, що дочка Трісії набрала 4,2 фунта з моменту її останнього обстеження і тепер важить 31,6 фунтів. Скільки важить дочка Трісії на останньому огляді?
    8. Температура Коннора сьогодні вранці була на 0,7 градуса вище, ніж це було минулої ночі. Його температура сьогодні вранці становила 101,2 градуса. Яка у нього була температура минулої ночі?
    9. Математична книга Меліси коштувала $22,85 менше, ніж її художня книга вартість. Її книга з математики коштувала $93,75. Скільки коштувала її художня книга?
    10. Рон на цьому тижні був $17.43 менше, ніж його зарплата минулого тижня. Його зарплата на цьому тижні склала $103,76. Скільки була зарплата Рона минулого тижня?

    Щоденна математика

    1. Випічка Келсі потребує\(\dfrac{2}{3}\) чашки цукру для рецепта печива, який вона хоче зробити. У неї є лише\(\dfrac{1}{4}\) чашка цукру, а решту запозичить у сусідки. Нехай дорівнює кількості цукру, який вона запозичить. Вирішіть рівняння\(\dfrac{1}{4}\) + s =,\(\dfrac{2}{3}\) щоб знайти кількість цукру, яке вона повинна попросити запозичити.
    2. Будівництво Мігель хоче просвердлити отвір для\(\dfrac{5}{8}\) -дюймового гвинта. Гвинт повинен бути на\(\dfrac{1}{12}\) дюйм більше отвору. Нехай дорівнює розміру отвору, яке він повинен просвердлити. Вирішіть рівняння d +\(\dfrac{1}{12}\) =,\(\dfrac{5}{8}\) щоб побачити, якого розміру має бути отвір.

    Письмові вправи

    1. Чи є −18 розв'язком рівняння 3x = 16 − 5x? Звідки ти знаєш?
    2. Напишіть речення слова, яке перекладає рівняння y − 18 = 41, а потім складіть додаток, який використовує це рівняння у своєму розв'язанні.

    Самостійна перевірка

    (а) Після виконання вправ використовуйте цей контрольний список, щоб оцінити своє володіння цілями цього розділу.

    (b) Якщо більшість ваших перевірок були:

    ... впевнено. Вітаємо! Ви досягли цілей у цьому розділі. Подумайте про навички навчання, які ви використовували, щоб ви могли продовжувати їх використовувати. Що ви зробили, щоб стати впевненим у своїй здатності робити ці речі? Будьте конкретні.

    ... з деякою допомогою. Це потрібно вирішувати швидко, оскільки теми, які ви не освоюєте, стають вибоїнами на вашому шляху до успіху. У математиці кожна тема будується на попередній роботі. Важливо переконатися, що у вас міцний фундамент, перш ніж рухатися далі. До кого можна звернутися за допомогою? Ваші колеги-однокласники та інструктор - хороші ресурси. Чи є в кампусі місце, де доступні репетитори з математики? Чи можна вдосконалити свої навички навчання?

    ... Ні—я цього не розумію! Це попереджувальний знак, і ви не повинні його ігнорувати. Ви повинні отримати допомогу відразу ж, інакше ви швидко будете перевантажені. Зверніться до інструктора, як тільки зможете обговорити вашу ситуацію. Разом ви можете придумати план, щоб отримати вам необхідну допомогу.

    Дописувачі та атрибуція