Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.1: Розв'язування рівнянь з використанням властивостей віднімання та додавання рівності (частина 1)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57708

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання
    • Розв'язуйте рівняння за допомогою властивостей віднімання та додавання рівності
    • Розв'яжіть рівняння, які потрібно спростити
    • Перекладіть рівняння і розв'яжіть
    • Перекладіть і вирішуйте додатки
    будьте готові!

    Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

    1. Вирішити: n − 12 = 16. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.5.6.
    2. Перекласти на алгебру «п'ять менше, ніж х». Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.4.12.
    3. Чи є x = 2 розв'язком 5x − 3 = 7? Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.5.1.

    Тепер ми готові «дістатися до хорошого матеріалу». Ви маєте основи і готові розпочати одну з найважливіших тем алгебри: рішення рівнянь. Заявки безмежні і поширюються на всі кар'єри та галузі. Крім того, навички та прийоми, які ви вивчаєте тут, допоможуть вдосконалити ваші навички критичного мислення та вирішення проблем. Це велика користь від вивчення математики і буде корисним у вашому житті способами, які ви можете не бачити прямо зараз.

    Розв'язування рівнянь з використанням властивостей віднімання та додавання рівності

    Ми почали нашу роботу з розв'язання рівнянь в попередніх розділах. Минуло деякий час, як ми бачили рівняння, тому ми розглянемо деякі ключові поняття, перш ніж йти далі.

    Ми сказали, що розв'язування рівняння - це все одно, що знайти відповідь на головоломку. Мета у вирішенні рівняння - знайти значення або значення змінної, які роблять кожну сторону рівняння однаковою. Будь-яке значення змінної, яке робить рівняння істинним, називається розв'язком рівняння. Це відповідь на головоломку.

    Визначення: Розв'язок рівняння

    Розв'язок рівняння - це значення змінної, яка робить істинний твердження при підстановці в рівняння.

    У попередніх розділах ми перерахували кроки, щоб визначити, чи є значення рішенням. Ми повторюємо їх тут.

    ЯК: ВИЗНАЧИТИ, ЧИ Є ЧИСЛО РОЗВ'ЯЗАННЯМ РІВНЯННЯ

    Крок 1. Підставляємо число для змінної в рівняння.

    Крок 2. Спростіть вирази з обох сторін рівняння.

    Крок 3. Визначте, чи істинно отримане рівняння.

    • Якщо це правда, число - це рішення.
    • Якщо це не відповідає дійсності, число не є рішенням.
    Приклад\(\PageIndex{1}\):

    Визначте, чи\(\dfrac{3}{4}\) є y = розчином для 4y + 3 = 8y.

    Рішення

    \(\textcolor{red}{\dfrac{3}{4}}\)Замінник у. $4\ ліворуч (\ колір тексту {червоний} {\ dfrac {3} {4}}\ праворуч) + 3\ stackrel {?} {=} 8\ ліворуч (\ колір тексту {червоний} {\ dfrac {3} {4}}\ праворуч) $$
    Помножити. $3 + 3\ стек {?} {=} 6$$
    Додати. $6 = 6\;\ галочка $$

    Оскільки y =\(\dfrac{3}{4}\) призводить до істинного рівняння,\(\dfrac{3}{4}\) є розв'язком рівняння 4y + 3 = 8y.

    Вправа\(\PageIndex{1}\):

    Чи є y =\(\dfrac{2}{3}\) розчином для 9y + 2 = 6y?

    Відповідь

    ні

    Вправа\(\PageIndex{2}\):

    Чи є y =\(\dfrac{2}{5}\) розв'язком для 5y − 3 = 10y?

    Відповідь

    ні

    Введено властивості віднімання та додавання рівності при розв'язанні рівнянь з використанням властивостей віднімання та додавання рівності. У цьому розділі ми змоделювали, як ці властивості працюють, а потім застосували їх до розв'язування рівнянь з цілими числами. Ми знову використовували ці властивості кожного разу, коли вводили нову систему чисел. Давайте розглянемо ці властивості тут.

    Означення: Віднімання та додавання властивостей рівності

    Віднімання властивості рівності

    Для всіх дійсних чисел a, b і c, якщо a = b, то a − c = b − c.

    Додаткова властивість рівності

    Для всіх дійсних чисел a, b і c, якщо a = b, то a + c = b + c.

    Коли ви додаєте або віднімаєте однакову величину з обох сторін рівняння, ви все одно маєте рівність.

    Раніше ми ввели властивість віднімання рівності шляхом моделювання рівнянь з конвертами та лічильниками. Малюнок\(\PageIndex{1}\) моделює рівняння х + 3 = 8.

    З лівого боку показаний конверт і три жовті лічильники. З правого боку знаходяться вісім жовтих лічильників.

    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Мета полягає в тому, щоб виділити змінну з одного боку рівняння. Таким чином, ми «забрали» 3 з обох сторін рівняння і знайшли рішення х = 5.

    Деякі люди зображують шкалу балансу, як на малюнку\(\PageIndex{2}\), коли вони вирішують рівняння.

    Показані три шкали балансу. Верхня шкала має одну червону вагу з кожного боку і збалансована. Поряд з ним «1 маса з кожного боку дорівнює збалансованим». Наступна шкала має дві ваги з кожного боку і збалансована. Поряд з ним «2 маси з кожного боку дорівнює збалансованим». Нижня шкала має одну вагу зліва і дві праворуч. Права сторона нижче лівої. Поруч із зображенням є «1 маса з одного боку і 2 маси з іншого дорівнює незбалансованим».

    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Величини по обидва боки знака рівності в рівнянні рівні, або збалансовані. Так само, як і у шкалі балансу, що б ви не робили з однією стороною рівняння, ви також повинні зробити з іншою, щоб зберегти його збалансованим.

    Розглянемо, як використовувати властивості віднімання та додавання рівності для розв'язання рівнянь. Нам потрібно ізолювати змінну на одній стороні рівняння. І ми перевіряємо наші рішення, підставляючи значення в рівняння, щоб переконатися, що у нас є істинний твердження.

    Приклад\(\PageIndex{2}\):

    Вирішити: x + 11 = −3.

    Рішення

    Щоб виділити x, скасуємо додавання 11 за допомогою властивості віднімання рівності.

    Відніміть 11 з кожного боку, щоб «скасувати» додавання. $x+ 11\ колір тексту {червоний} {-11} = -3\ колір тексту {червоний} {-11} $$
    Спростити. $ $ х = -14$$

    Перевірка:

    Заміна x = −14. $\ колір тексту {червоний} {-14} + 11\ стековий {?} {=} -3$$
      $-3 = -3\;\ галочка $$

    Оскільки x = −14 робить x + 11 = −3 справжнім твердженням, ми знаємо, що це рішення рівняння.

    Вправа\(\PageIndex{3}\):

    Вирішити: x + 9 = −7.

    Відповідь

    х = -16

    Вправа\(\PageIndex{4}\):

    Вирішити: x + 16 = −4.

    Відповідь

    х = -20

    У вихідному рівнянні в попередньому прикладі 11 було додано до x, тому ми віднімали 11, щоб «скасувати» додавання. У наступному прикладі нам потрібно буде скасувати віднімання за допомогою властивості додавання рівності.

    Приклад\(\PageIndex{3}\):

    Вирішити: m + 4 = −5.

    Рішення

    Додайте 4 до кожної сторони, щоб «скасувати» віднімання. $$m + 4\ колір тексту {червоний} {-4} = -5\ колір тексту {червоний} {-4} $$
    Спростити. $$ м = -9$$

    Перевірка:

    Підставляємо m = −9. $\ колір тексту {червоний} {-9} + 4\ стековий {?} {=} -5$$
      $$-5 = -5\;\ галочка $$

    Розв'язок m + 4 = −5 дорівнює m = −9.

    Вправа\(\PageIndex{5}\):

    Вирішити: n − 6 = −7.

    Відповідь

    n = -1

    Вправа\(\PageIndex{6}\):

    Вирішити: x − 5 = −9.

    Відповідь

    х = -4

    Тепер давайте розглянемо рішення рівнянь з дробами.

    Приклад\(\PageIndex{4}\):

    Вирішити: n −\(\dfrac{3}{8}\) =\(\dfrac{1}{2}\).

    Рішення

    Використовуйте властивість додавання рівності. $n -\ dfrac {3} {8}\ колір тексту {червоний} {+\ dfrac {3} {8}} =\ dfrac {1} {2}\ колір тексту {червоний} {+\ dfrac {3} {8}} $$
    Знайдіть РК-дисплей, щоб додати дроби праворуч. $n -\ дфрак {3} {8} +\ dfrac {3} {8} =\ dfrac {4} {8} +\ dfrac {3} {8} $$
    Спростити. $$n =\ дфрак {7} {8} $$

    Перевірка:

    Підставляємо n =\(\textcolor{red}{\dfrac{7}{8}}\). $\ колір тексту {червоний} {\ drac {7} {8}} -\ drac {3} {8}\ стекер {?} {=}\ дфрак {1} {2} $$
    Відніміть. $\ drac {4} {8}\ стекер {?} {=}\ дфрак {1} {2} $$
    Спростити. $\ dfrac {1} {2} =\ dfrac {1} {2}\;\ галочка $$

    Рішення перевіряє.

    Вправа\(\PageIndex{7}\):

    Вирішити: p −\(\dfrac{1}{3}\) =\(\dfrac{5}{6}\).

    Відповідь

    \(p = \frac{7}{6}\)

    Вправа\(\PageIndex{8}\):

    Вирішити: q −\(\dfrac{1}{2}\) =\(\dfrac{1}{6}\).

    Відповідь

    \( q = \frac{2}{3}\)

    У розв'язуванні рівнянь з десятковими числами ми розв'язували рівняння, які містили десяткові числа. Ми розглянемо це далі.

    Приклад\(\PageIndex{5}\):

    Розв'яжіть a − 3,7 = 4.3.

    Рішення

    Використовуйте властивість додавання рівності. $a - 3.7\ колір тексту {червоний} {+3.7} = 4.3\ колір тексту {червоний} {+3.7} $$
    Додати. $$А = 8$$

    Перевірка:

    Підставляємо a = 8. $\ колір тексту {червоний} {8} - 3.7\ стековий {?} {=} 4.3$$
    Спростити. $4.3 = 4.3\;\ галочка $$

    Рішення перевіряє.

    Вправа\(\PageIndex{9}\):

    Вирішити: b − 2,8 = 3,6.

    Відповідь

    б = 6,4

    Вправа\(\PageIndex{10}\):

    Вирішити: c − 6.9 = 7.1.

    Відповідь

    с = 14

    Розв'яжіть рівняння, які потрібно спростити

    У прикладах до цього моменту нам вдалося ізолювати змінну лише однією операцією. Багато рівнянь, з якими ми стикаємося в алгебрі, вживатимуть більше кроків для вирішення. Зазвичай нам потрібно буде спростити одну або обидві сторони рівняння, перш ніж використовувати властивості віднімання або додавання рівності. Завжди слід максимально спростити, перш ніж намагатися ізолювати змінну.

    Приклад\(\PageIndex{6}\):

    Вирішити: 3x − 7 − 2x − 4 = 1.

    Рішення

    Ліва частина рівняння має вираз, який ми повинні спростити, перш ніж намагатися ізолювати змінну.

    Перевпорядкувати терміни, використовуючи Комутативне властивість додавання. $3х - 2х - 7 - 4 = 1$
    Поєднуйте подібні терміни. $х - 11 = 1$$
    Додайте 11 до обох сторін, щоб ізолювати х. $ $ x - 11\ колір тексту {червоний} {+11} = 1\ колір тексту {червоний} {+11} $$
    Спростити. $ $ х = 12$$
    Перевірте. Заставте x = 12 у вихідне рівняння. $\ почати {спліт} 3x - 2x - 7 - 4 &= 1\\ 3 (\ колір тексту {червоний} {12}) - 7 - 2 (\ колір тексту {червоний} {12}) - 4 &= 1\\ 36 - 7 - 24 - 4 &= 1\\ 29 - 24 - 24 - 4 &= 1\\ 5 - 4 &= 1\\ 1\\ галочка\ кінець {спліт} $$

    Рішення перевіряє.

    Вправа\(\PageIndex{11}\):

    Вирішити: 8y − 4 − 7y − 7 = 4.

    Відповідь

    у = 15

    Вправа\(\PageIndex{12}\):

    Вирішити: 6з+ 5 − 5z − 4 = 3.

    Відповідь

    z = 2

    Приклад\(\PageIndex{7}\):

    Вирішити: 3 (n − 4) − 2n = −3.

    Рішення

    Ліва частина рівняння має вираз, який ми повинні спростити.

    Розподіліть по лівому краю. $3n - 12 - 2n = -3$$
    Використовуйте Комутативне майно для перестановки термінів. $3n - 2n - 12 = -3$$
    Поєднуйте подібні терміни. $$п - 12 = -3$$
    Ізолювати n за допомогою властивості додавання рівності. $n - 12\ колір тексту {червоний} {+12} = -3\ колір тексту {червоний} {+12} $$
    Спростити. $$п = 9$$
    Перевірте. Заставте n = 9 у вихідне рівняння. $\ почати {спліт} 3 (n-4) - 2n &= -3\\ 3 (\ колір тексту {червоний} {9} - 4) - 2\ cdot\ колір тексту {червоний} {9} &= -3\\ 3 (5) - 18 &= -3\\ 15 - 18 &= -3\\ -3 &= -3\\;\ галочка\ кінець {спліт} $

    Рішення перевіряє.

    Вправа\(\PageIndex{13}\):

    Вирішити: 5 (p − 3) − 4p = −10.

    Відповідь

    р = 5

    Вправа\(\PageIndex{14}\):

    Вирішити: 4 (q + 2) − 3q = −8.

    Відповідь

    q = -16

    Приклад\(\PageIndex{8}\):

    Вирішити: 2 (3k − 1) − 5k = −2 − 7.

    Рішення

    Обидві сторони рівняння мають вирази, які ми повинні спростити, перш ніж ізолювати змінну.

    Розподіліть зліва, відніміть праворуч. $6к - 2 - 5к = -9$$
    Використовуйте Комутативне властивість додавання. $6к - 5к - 2 = -9$$
    Поєднуйте подібні терміни. $$к - 2 = -9$$
    Скасувати віднімання за допомогою властивості додавання рівності. $$k - 2\ колір тексту {червоний} {+2} = -9\ колір тексту {червоний} {+2} $$
    Спростити. $$к = -7$$
    Перевірте. Нехай k = −7. \ [\ почати {спліт} 2 (3k - 1) - 5k &= -2 - 7\\ 2 [3 (\ колір тексту {-7}) -1] - 5 (\ колір тексту {червоний} {-7}) &= -2 - 7\\ 2 (-21 - 1) - 5 (-7) &= -9\\ 2 (-22) + 35\\ 2 (-9 - 1) - 5 (-7) &= -9\ 2 (-22) + 35 &= -9\ -9 &= -9\;\ галочка\ кінець {спліт} $$

    Рішення перевіряє.

    Вправа\(\PageIndex{15}\):

    Вирішити: 4 (2h − 3) − 7h = −6 − 7.

    Відповідь

    ч = -1

    Вправа\(\PageIndex{16}\):

    Вирішити: 2 (5х+ 2) − 9х = −2+ 7.

    Відповідь

    х = 1

    Дописувачі та атрибуція