Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.6: Розв'яжіть пропорції та їх застосування (частина 2)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57966

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Написати відсоткові рівняння як пропорції

    Раніше ми вирішували відсоткові рівняння, застосовуючи властивості рівності, які ми використовували для розв'язання рівнянь у всьому цьому тексті. Деякі люди вважають за краще вирішувати відсоткові рівняння за допомогою методу пропорцій. Пропорційний метод вирішення процентних завдань передбачає процентну частку. Процентна частка - це рівняння, де відсоток дорівнює еквівалентному співвідношенню.

    Наприклад, 60% =\(\dfrac{60}{100}\) і ми можемо спростити\(\dfrac{60}{100} = \dfrac{3}{5}\). Оскільки рівняння\(\dfrac{60}{100} = \dfrac{3}{5}\) показує відсоток, рівний еквівалентному співвідношенню, ми називаємо його процентною часткою. Використовуючи словниковий запас, який ми використовували раніше:

    \[\begin{split} \dfrac{ \text{amount}}{\text{base}} & = \dfrac{\text{percent}}{100} \\ \dfrac{3}{5} & = \dfrac{60}{100} \end{split}\]

    Визначення: Процентна частка

    Сума є базовою, оскільки відсоток становить до 100.

    \[\dfrac{amount}{base} = \dfrac{percent}{100} \tag{6.5.37}\]

    Якщо ми повторюємо проблему словами пропорції, може бути простіше встановити пропорцію:

    Сума є базовою, оскільки відсоток становить до ста.

    Ми також могли б сказати:

    Сума з бази така ж, як відсоток зі ста.

    Спочатку ми будемо практикувати переклад у відсоткову пропорцію. Пізніше ми вирішимо пропорцію.

    Приклад\(\PageIndex{9}\):

    Перевести на пропорцію. Яке число 75% від 90?

    Рішення

    Якщо ви шукаєте слово «of», це може допомогти вам визначити основу.

    Визначте частини процентної частки.
    Повторюйте як пропорцію. $$$Що\; число\; вихід\;\ textcolor {червоний} {з}\; 90\; є\; тим самим\;\; як\; 75\; з\; з\; 100? $$
    Налаштуйте пропорції. Нехай n = число. $\ дфрак {n} {90} =\ dfrac {75} {100}\ тег {6.5.38} $$
    Вправа\(\PageIndex{17}\)

    Перевести на пропорцію: Яке число 60% від 105?

    Відповідь

    \(\frac{n}{105} = \frac{60}{100}\)

    Вправа\(\PageIndex{18}\)

    Перевести на пропорцію: Яке число 40% від 85?

    Відповідь

    \(\frac{n}{85} = \frac{40}{100}\)

    Приклад\(\PageIndex{10}\)

    Перевести на пропорцію. 19 це 25% від якого числа?

    Рішення

    Визначте частини процентної частки.
    Повторюйте як пропорцію. $19\; вихід\;\ textcolor {червоний} {з}\; що\; число\; є\;\; те саме\; як\; 25\; з\; з\; 100? $$
    Налаштуйте пропорції. Нехай n = число. $\ дфрак {19} {n} =\ dfrac {25} {100}\ тег {6.5.39} $$
    Вправа\(\PageIndex{19}\):

    Перевести на пропорцію: 36 це 25% від якого числа?

    Відповідь

    \(\frac{36}{n} = \frac{25}{100}\)

    Вправа\(\PageIndex{20}\):

    Перевести на пропорцію: 27 це 36% від якого числа?

    Відповідь

    \(\frac{27}{n} = \frac{36}{100}\)

    Приклад\(\PageIndex{11}\):

    Перевести на пропорцію. Який відсоток 27 дорівнює 9?

    Рішення

    Визначте частини процентної частки.
    Повторюйте як пропорцію. $9\; вихід\;\ textcolor {червоний} {з}\; 27\; є\; той\; той самий\; як\; що\; число\; з\; з\; 100$$
    Налаштуйте пропорції. Нехай р = відсотки. $\ дфрак {9} {27} =\ dfrac {p} {100}\ тег {6.5.40} $$
    Вправа\(\PageIndex{21}\):

    Перекласти на пропорцію: Який відсоток 52 дорівнює 39?

    Відповідь

    \(\frac{n}{100} = \frac{39}{52}\)

    Вправа\(\PageIndex{22}\):

    Перекласти на пропорцію: Який відсоток з 92 дорівнює 23?

    Відповідь

    \(\frac{n}{100} = \frac{23}{92}\)

    Перекладіть та вирішуйте процентні пропорції

    Тепер, коли ми написали рівняння відсотків у вигляді пропорцій, ми готові вирішити рівняння.

    Приклад\(\PageIndex{12}\):

    Перекладіть і вирішуйте, використовуючи пропорції: Яке число 45% від 80?

    Рішення

    Визначте частини процентної частки.
    Повторюйте як пропорцію. $$Що\; число\; вихід\;\ textcolor {червоний} {з}\; 80\; є\; таким\;\; однаковим\; як\; 45\; з\; з\; 100? $$
    Налаштуйте пропорції. Нехай n = число. $\ дфрак {n} {80} =\ dfrac {45} {100}\ тег {6.5.41} $$
    Знайдіть перехресні вироби і встановіть їх рівними. $100\ точка n = 80\ точка 45\ тег {6.5.42} $$
    Спростити. $100n = 3600\ тег {6.5.43} $$
    Розділіть обидві сторони на 100. $\ дфрак {100n} {100} =\ dfrac {3600} {100}\ тег {6.5.44} $$
    Спростити. $$n = 36\ тег {6.5.45} $$
    Перевірте, чи є відповідь розумною. Так. 45 - це трохи менше половини з 100, а 36 - трохи менше половини 80.
    Напишіть повне речення, яке відповідає на питання. 36 - це 45% з 80.
    Вправа\(\PageIndex{23}\):

    Перекладіть і вирішуйте, використовуючи пропорції: Яке число 65% від 40?

    Відповідь

    26

    Вправа\(\PageIndex{24}\):

    Перекладіть і вирішуйте, використовуючи пропорції: Яке число 85% від 40?

    Відповідь

    34

    У наступному прикладі відсоток більше 100, що становить більше одного цілого. Так що невідоме число буде більше базового.

    Приклад\(\PageIndex{13}\):

    Перекладіть і вирішуйте, використовуючи пропорції: 125% з 25 - це яке число?

    Рішення

    Визначте частини процентної частки.
    Повторюйте як пропорцію. $$Що\; число\; вихід\;\ textcolor {червоний} {з}\; 25\; є\; таким\;\; однаковим\; як\; 125\; з\; з\; 100? $$
    Налаштуйте пропорції. Нехай n = число. $\ дфрак {n} {25} =\ dfrac {125} {100}\ тег {6.5.46} $$
    Знайдіть перехресні вироби і встановіть їх рівними. $100\ точка n = 25\ точка 125\ тег {6.5.47} $$
    Спростити. $100n = 3,125\ тег {6.5.48} $$
    Розділіть обидві сторони на 100. $\ дфрак {100n} {100} =\ dfrac {3,125} {100}\ тег {6.5.49} $$
    Спростити. $n = 31.25\ тег {6.5.50} $$
    Перевірте, чи є відповідь розумною. Так. 125 більше 100, а 31,25 - більше 25.
    Напишіть повне речення, яке відповідає на питання. 125% від 25 становить 31,25.
    Вправа\(\PageIndex{25}\):

    Перекладіть і вирішуйте, використовуючи пропорції: 125% з 64 - це яке число?

    Відповідь

    80

    Вправа\(\PageIndex{26}\):

    Перекладіть і вирішуйте, використовуючи пропорції: 175% з 84 - це яке число?

    Відповідь

    147

    Відсотки з десятковими знаками і грошима також використовуються в пропорціях.

    Приклад\(\PageIndex{14}\):

    Перекладіть і вирішуйте: 6,5% від якого числа $1,56?

    Рішення

    Визначте частини процентної частки.
    Повторюйте як пропорцію. $$\ $1.56\; вихід\;\ textcolor {червоний} {з}\; що\; число\; є\; тим самим\;\; як\; 6.5\; з\; з\; 100? $$
    Налаштуйте пропорції. Нехай n = число. $\ дфрак {1.56} {n} =\ dfrac {6.5} {100}\ тег {6.5.51} $$
    Знайдіть перехресні вироби і встановіть їх рівними. $100 (1,56) = п\ точка 6.5\ тег {6.5.52} $$
    Спростити. $156 = 6.5n\ тег {6.5.53} $$
    Розділіть обидві сторони на 6,5, щоб ізолювати змінну. $\ дфрак {156} {6.5} =\ dfrac {6.5} {6.5}\ тег {6.5.54} $$
    Спростити. $24 = п\ тег {6.5.55} $$
    Перевірте, чи є відповідь розумною. Так. 6,5% - це невелика сума, а $1,56 набагато менше, ніж $24.
    Напишіть повне речення, яке відповідає на питання. 6,5% від $24 становить $1,56.
    Вправа\(\PageIndex{27}\):

    Перекладіть і вирішуйте, використовуючи пропорції: 8.5% від якого числа $3.23?

    Відповідь

    38

    Вправа\(\PageIndex{28}\):

    Перекладіть і вирішуйте, використовуючи пропорції: 7.25% від якого числа $4.64?

    Відповідь

    64

    Приклад\(\PageIndex{15}\):

    Перекладіть і вирішуйте, використовуючи пропорції: Який відсоток 72 дорівнює 9?

    Рішення

    Визначте частини процентної частки.
    Повторюйте як пропорцію. $9\; вихід\;\ textcolor {червоний} {з}\; 72\; є\; той\; той самий\; як\; що\; число\; з\; з\; 100? $$
    Налаштуйте пропорції. Нехай n = число. $\ дфрак {9} {72} =\ dfrac {n} {100}\ тег {6.5.56} $$
    Знайдіть перехресні вироби і встановіть їх рівними. $72\ точка n = 100\ точка 9\ тег {6.5.57} $$
    Спростити. $72n = 900\ тег {6.5.58} $$
    Розділіть обидві сторони на 72. $\ дфрак {72n} {72} =\ dfrac {900} {72}\ тег {6.5.59} $$
    Спростити. $$n = 12.5\ тег {6.5.60} $$
    Перевірте, чи є відповідь розумною. Так. 9 становить\(\dfrac{1}{8}\) 72 і\(\dfrac{1}{8}\) становить 12,5%.
    Напишіть повне речення, яке відповідає на питання. 12,5% з 72 - це 9.
    Вправа\(\PageIndex{29}\):

    Перекладіть і вирішуйте, використовуючи пропорції: Який відсоток 72 дорівнює 27?

    Відповідь

    37,5%

    Вправа\(\PageIndex{30}\):

    Перекладіть і вирішуйте, використовуючи пропорції: Який відсоток 92 дорівнює 23?

    Відповідь

    25%

    Практика робить досконалим

    Використання визначення пропорції

    У наступних вправах запишіть кожне речення у вигляді пропорції.

    1. 4 до 15, як 36 - це 135.
    2. 7 до 9, як 35 - це 45.
    3. 12 до 5, як 96 до 40.
    4. 15 до 8, як 75 до 40.
    5. 5 перемог у 7 іграх - це те саме, що 115 перемог у 161 іграх.
    6. 4 перемоги в 9 іграх - це те ж саме, що 36 перемог у 81 іграх.
    7. 8 відпочиваючих до 1 радника - це те ж саме, що 48 відпочиваючих до 6 консультантів.
    8. 6 відпочиваючих до 1 радника - це те ж саме, що 48 відпочиваючих до 8 консультантів.
    9. $9.36 для 18 унцій - це те ж саме, що $2.60 за 5 унцій.
    10. $3.92 для 8 унцій - це те ж саме, що $1.47 для 3 унцій.
    11. $18.04 за 11 фунтів - це те ж саме, що $4.92 за 3 фунти.
    12. $12,42 за 27 фунтів - це те ж саме, що $5.52 за 12 фунтів.

    У наступних вправах визначте, чи є кожне рівняння пропорцією.

    1. \(\dfrac{7}{15} = \dfrac{56}{120}\)
    2. \(\dfrac{5}{12} = \dfrac{45}{108}\)
    3. \(\dfrac{11}{6} = \dfrac{21}{16}\)
    4. \(\dfrac{9}{4} = \dfrac{39}{34}\)
    5. \(\dfrac{12}{18} = \dfrac{4.99}{7.56}\)
    6. \(\dfrac{9}{16} = \dfrac{2.16}{3.89}\)
    7. \(\dfrac{13.5}{8.5} = \dfrac{31.05}{19.55}\)
    8. \(\dfrac{10.1}{8.4} = \dfrac{3.03}{2.52}\)

    Розв'яжіть пропорції

    У наступних вправах вирішуйте кожну пропорцію.

    1. \(\dfrac{x}{56} = \dfrac{7}{8}\)
    2. \(\dfrac{n}{91} = \dfrac{8}{13}\)
    3. \(\dfrac{49}{63} = \dfrac{z}{9}\)
    4. \(\dfrac{56}{72} = \dfrac{y}{9}\)
    5. \(\dfrac{5}{a} = \dfrac{65}{117}\)
    6. \(\dfrac{4}{b} = \dfrac{64}{144}\)
    7. \(\dfrac{98}{154} = \dfrac{-7}{p}\)
    8. \(\dfrac{72}{156} = \dfrac{-6}{q}\)
    9. \(\dfrac{a}{-8} = \dfrac{-42}{48}\)
    10. \(\dfrac{b}{-7} = \dfrac{-30}{42}\)
    11. \(\dfrac{2.6}{3.9} = \dfrac{c}{3}\)
    12. \(\dfrac{2.7}{3.6} = \dfrac{d}{4}\)
    13. \(\dfrac{2.7}{j} = \dfrac{0.9}{0.2}\)
    14. \(\dfrac{2.8}{k} = \dfrac{2.1}{1.5}\)
    15. \(\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1} = \dfrac{m}{8}\)
    16. \(\dfrac{\dfrac{1}{3}}{3} = \dfrac{9}{n}\)

    Розв'язуйте програми за допомогою пропорцій

    У наступних вправах вирішіть задачу пропорції.

    1. Педіатри призначають 5 мілілітрів (мл) ацетамінофену на кожні 25 кілограмів ваги дитини. Скільки мілілітрів ацетамінофену призначить лікар Джоселін, яка важить 45 фунтів?
    2. Бріанна, яка важить 6 кг, щойно отримала свої уколи і потребує знеболюючого. Знеболююче призначається дітям по 15 міліграм (мг) на кожен 1 кілограм (кг) ваги дитини. Скільки міліграмів призначить лікар?
    3. У тренажерному залі Керол приймає пульс протягом 10 сек і рахує 19 ударів. Скільки ударів в хвилину це? Чи задовольнила Керол свою цільову частоту серцевих скорочень 140 ударів на хвилину?
    4. Кевін хоче зберегти частоту серцевих скорочень на рівні 160 ударів на хвилину під час тренувань. Під час тренування він відраховує 27 ударів за 10 секунд. Скільки ударів в хвилину це? Кевін зустрів свою цільову частоту серцевих скорочень?
    5. Новий енергетичний напій рекламує 106 калорій на 8 унцій. Скільки калорій в 12 унціях напою?
    6. Одна баночка соди на 12 унцій має 150 калорій. Якщо Джосія п'є великий розмір 32 унції з місцевого міні-марту, скільки калорій він отримує?
    7. Карен їсть\ (\ dfrac {1} {2}) чашку вівсяної каші, яка розраховує на 2 бали на її програмі схуднення. Її чоловік, Джо, може мати 3 бали вівсянки на сніданок. Скільки вівсяної каші він може їсти?
    8. Рецепт вівсяного печива вимагає\(\dfrac{1}{2}\) чашки вершкового масла, щоб зробити 4 десятка печива. Хільді потрібно зробити 10 десятків печива для продажу випічки. Скільки чашок вершкового масла їй знадобиться?
    9. Дженіс їде до Канади і змінить 250 доларів США на канадські долари. За поточним курсом 1 долар США дорівнює $1.01 канадському. Скільки канадських доларів вона отримає за свою поїздку?
    10. Тодд їде до Мексики і йому потрібно обміняти 450 доларів на мексиканські песо. Якщо кожен долар коштує 12,29 песо, скільки песо він отримає за свою поїздку?
    11. Стів змінив 600 доларів на 480 євро. Скільки євро він отримав за долар США?
    12. Марта змінила 350 доларів США на 385 австралійських доларів. Скільки австралійських доларів вона отримала за долар США?
    13. У пральні самообслуговування Люсі змінила $12,00 на квартали. Скільки кварталів вона отримала?
    14. Коли вона приїхала в казино, Герті змінила 20 доларів на нікелі. Скільки нікелів їй дісталася?
    15. Автомобіль Джессі отримує 30 миль на галон газу. Якщо Лас-Вегас знаходиться за 285 миль, скільки галонів газу потрібно, щоб дістатися туди, а потім додому? Якщо газ становить $3,09 за галон, яка загальна вартість газу для поїздки?
    16. Денні хоче поїхати до Фенікса, щоб побачити свого діда. Фенікс знаходиться в 370 милі від будинку Денні, а його автомобіль отримує 18.5 миль на галон. Скільки галонів газу Денні потрібно буде дістатися до Фенікса та з нього? Якщо газ становить $3,19 за галон, яка загальна вартість газу, щоб їздити, щоб побачити свого діда?
    17. Х'ю їде рано вранці, щоб проїхати зі свого будинку в Чикаго, щоб поїхати на гору Рашмор, за 812 миль. Через 3 години він пройшов 190 миль. При такому темпі, скільки часу займе весь диск?
    18. Келлі залишає свій будинок у Сіетлі, щоб доїхати до Спокана, відстань 280 миль. Через 2 години вона пройшла 152 милі. При такому темпі, скільки часу займе весь диск?
    19. Філ хоче удобрювати свій газон. Кожен мішок добрив охоплює близько 4000 квадратних футів газону. Газон Філа становить приблизно 13500 квадратних футів. Скільки мішків з добривом йому доведеться купити?
    20. Ейпріл хоче пофарбувати екстер'єр свого будинку. Один галон фарби охоплює близько 350 квадратних футів, а зовнішній вигляд будинку вимірює приблизно 2000 квадратних футів. Скільки галонів фарби їй доведеться купити?

    Запишіть відсоткові рівняння як пропорції

    У наступних вправах переведіть на пропорцію.

    1. Яке число 35% від 250?
    2. Яке число 75% з 920?
    3. Яке число становить 110% від 47?
    4. Яке число 150% від 64?
    5. 45 - це 30% від якого числа?
    6. 25 - це 80% від якого числа?
    7. 90 - це 150% від якого числа?
    8. 77 - це 110% від якого числа?
    9. Який відсоток 85 становить 17?
    10. Який відсоток з 92 становить 46?
    11. Який відсоток 260 становить 340?
    12. Який відсоток 180 дорівнює 220?

    Перекладіть та вирішуйте процентні пропорції

    У наступних вправах переводите і вирішуйте, використовуючи пропорції.

    1. Яке число 65% від 180?
    2. Яке число 55% від 300?
    3. 18% з 92 - це яке число?
    4. 22% з 74 - це яке число?
    5. 175% від 26 - це яке число?
    6. 250% від 61 - це яке число?
    7. Що таке 300% з 488?
    8. Що таке 500% з 315?
    9. 17% від якого числа $7.65?
    10. 19% від якого числа становить $6.46?
    11. $13.53 це 8.25% від якого числа?
    12. $18.12 це 7.55% від якого числа?
    13. Який відсоток з 56 становить 14?
    14. Який відсоток 80 становить 28?
    15. Який відсоток з 96 становить 12?
    16. Який відсоток 120 становить 27?

    Щоденна математика

    1. Змішавши концентрат, Сем купив велику пляшку концентрованого миючого розчину на складі магазину. Він повинен змішати концентрат з водою, щоб вийшов розчин для миття його вікон. Напрямки кажуть йому змішати 3 унції концентрату з 5 унціями води. Якщо він кладе 12 унцій концентрату у відро, скільки унцій води він повинен додати? Скільки унцій розчину у нього буде взагалі?
    2. Змішуючи концентрат, Тревіс збирається вимити свою машину. У вказівках на пляшці автомийки концентрату кажуть, що змішати 2 унції концентрату з 15 унціями води. Якщо Тревіс кладе 6 унцій концентрату у відро, скільки води він повинен змішати з концентратом?

    Письмові вправи

    1. Щоб вирішити «яке число 45% від 350» ви віддаєте перевагу використовувати рівняння, як ви робили в розділі про десяткові операції, або пропорцію, як у цьому розділі? Поясніть свою причину.
    2. Щоб вирішити «який відсоток 125 дорівнює 25», ви віддаєте перевагу використовувати рівняння, як ви робили в розділі про десяткові операції, або пропорцію, як ви робили в цьому розділі? Поясніть свою причину.

    Самостійна перевірка

    (а) Після виконання вправ використовуйте цей контрольний список, щоб оцінити своє володіння цілями цього розділу.

    (b) Загалом, подивившись контрольний список, ви вважаєте, що добре підготовлені до наступної глави? Чому чи чому ні?

    Дописувачі та авторства