6.5: Розв'яжіть пропорції та їх застосування (Частина 1)
- Page ID
- 57957
- Використовуйте визначення пропорції
- Розв'яжіть пропорції
- Вирішуйте додатки, використовуючи пропорції
- Запишіть відсоткові рівняння як пропорції
- Перекладіть і вирішуйте процентні пропорції
Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.
- Спростити:\(\dfrac{\dfrac{1}{3}}{4}\). Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 4.5.8.
- Вирішити:\(\dfrac{x}{4}\) = 20. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 4.12.5.
- Напишіть як тариф: Розпродаж проїхав на своєму велосипеді 24 милі за 2 години. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 5.10.6.
Використання визначення пропорції
У розділі про коефіцієнти та ставки ми побачили деякі способи їх використання в нашому повсякденному житті. Коли два співвідношення або ставки рівні, рівняння, що їх стосується, називається пропорцією.
Пропорція - рівняння виду\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\), де b ≠ 0, d ≠ 0.
Пропорція стверджує, що два співвідношення або ставки рівні. Пропорція читається «a is to b, оскільки c - до d».
Рівняння\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{8}\) є пропорцією, оскільки два дроби рівні. Пропорція\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{8}\) читається «1 до 2 як 4 до 8».
Якщо порівнювати кількості з одиницями, ми повинні бути впевнені, що порівнюємо їх у правильному порядку. Наприклад, в пропорції\(\dfrac{20\; students}{1\; teacher} = \dfrac{60\; students}{3\; teachers}\) порівнюємо кількість учнів з кількістю викладачів. Ставимо учнів в чисельниках, а викладачів - в знаменники.
Напишіть кожне речення як пропорцію: (а) 3 до 7, як 15 - до 35. (б) 5 хітів у 8 у кажанів - це те ж саме, що 30 хітів у 48 at кажанів. (c) $1.50 для 6 унцій еквівалентно $2.25 для 9 унцій.
Рішення
(а) 3 до 7, як 15 до 35
| Пишіть у вигляді пропорції. | $$\ дфрак {3} {7} =\ дфрак {15} {35} $$ |
(б) 5 хітів у 8 у кажанів - це те саме, що 30 хітів у 48 at кажанів
| Напишіть кожен дріб, щоб порівняти хіти з at-bats. | $\ dfrac {хіти} {кат-кажани} =\ dfrac {хіти} {ат-кажани} $$ |
| Пишіть у вигляді пропорції. | $$\ дфрак {5} {8} =\ дфрак {30} {48} $$ |
(c) $1.50 для 6 унцій еквівалентно $2.25 для 9 унцій
| Напишіть кожну фракцію, щоб порівняти долари з унціями. | $\ dfrac {\ $} {унції} =\ dfrac {\ $} {унції} $$ |
| Пишіть у вигляді пропорції. | $\ дфрак {1.50} {6} =\ дфрак {2.25} {9} $$ |
Напишіть кожне речення як пропорцію: (а) 5 до 9, як 20 - до 36. (б) 7 хітів у 11 at кажанів - це те ж саме, що 28 хітів у 44 at кажанів. (c) $2,50 для 8 унцій еквівалентно $3.75 для 12 унцій.
- Відповідь на
-
\(\frac{5}{9} = \frac{20}{36}\)
- Відповідь б
-
\(\frac{7}{11} = \frac{28}{44}\)
- Відповідь c
-
\(\frac{2.50}{8} = \frac{3.75}{12}\)
Напишіть кожне речення як пропорцію: (а) 6 до 7, як 36 - це 42. (б) 8 дорослих для 36 дітей - це те саме, що 12 дорослих для 54 дітей. (c) $3,75 для 6 унцій еквівалентно $2.50 для 4 унцій.
- Відповідь на
-
\(\frac{6}{7} = \frac{36}{42}\)
- Відповідь б
-
\(\frac{8}{36} = \frac{12}{54}\)
- Відповідь c
-
\(\frac{3.75}{6} = \frac{2.50}{4}\)
Подивіться на пропорції\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{8}\) і\(\dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{9}\). З нашої роботи з еквівалентними дробами ми знаємо, що ці рівняння є істинними. Але як ми знаємо, чи рівняння є пропорцією з еквівалентними дробами, якщо воно містить дроби з більшими числами? Щоб визначити, чи вірна пропорція, знаходимо перехресні продукти кожної пропорції. Щоб знайти перехресні добутки, множимо кожен знаменник на протилежний чисельник (по діагоналі поперек знака рівності). Отримані результати називаються перехресними виробами через сформованого хреста. Перехресні продукти пропорції рівні.
Для будь-якої пропорції виду\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\), де b ≠ 0, d ≠ 0, його перехресні добутки рівні.
Перехресні продукти можуть бути використані для перевірки того, чи є пропорція істинною. Щоб перевірити, чи рівняння робить пропорцію, знаходимо перехресні добутки. Якщо вони рівні, ми маємо пропорцію.
Визначте, чи є кожне рівняння пропорцією: (a)\(\dfrac{4}{9} = \dfrac{12}{28}\) (b)\(\dfrac{17.5}{37.5} = \dfrac{7}{15}\)
Рішення
Щоб визначити, чи є рівняння пропорцією, знаходимо перехресні добутки. Якщо вони рівні, рівняння є пропорцією.
(а)\(\dfrac{4}{9} = \dfrac{12}{28}\)
| Знайдіть перехресні вироби. |
\[28 \cdot 4 = 112 \qquad 9 \cdot 12 = 108\] |
Оскільки перехресні добутки не рівні, 28 · 4 ≠ 9 · 12, рівняння не є пропорцією.
(б)\(\dfrac{17.5}{37.5} = \dfrac{7}{15}\)
| Знайдіть перехресні вироби. |
\[15 \cdot 17.5 = 262.5 \qquad 37.5 \cdot 7 = 262.5\] |
Так як перехресні добутки рівні, 15 • 17,5 = 37,5 • 7, то рівняння є пропорцією.
Визначте, чи є кожне рівняння пропорцією: (a)\(\dfrac{7}{9} = \dfrac{54}{72}\) (b)\(\dfrac{24.5}{45.5} = \dfrac{7}{13}\)
- Відповідь на
-
ні
- Відповідь б
-
так
Визначте, чи є кожне рівняння пропорцією: (a)\(\dfrac{8}{9} = \dfrac{56}{73}\) (b)\(\dfrac{28.5}{52.5} = \dfrac{8}{15}\)
- Відповідь на
-
ні
- Відповідь б
-
ні
Розв'яжіть пропорції
Для вирішення пропорції, що містить змінну, ми пам'ятаємо, що пропорція - це рівняння. Всі методи, які ми використовували до цих пір для вирішення рівнянь, все ще застосовуються. У наступному прикладі ми вирішимо пропорцію шляхом множення на Найменший спільний знаменник (РК) за допомогою властивості множення рівності.
Вирішити:\(\dfrac{x}{63} =\dfrac{4}{7}\).
Рішення
| Щоб ізолювати x, помножте обидві сторони на РК-дисплей, 63. | $\ колір тексту {червоний} {63}\ лівий (\ dfrac {x} {63}\ праворуч) =\ колір тексту {червоний} {63}\ лівий (\ dfrac {4} {7}\ праворуч) $$ |
| Спростити. | $$x =\ dfrac {9\ точка\ скасувати {7}\ dot 4} {\ скасувати {7}} $$ |
| Розділіть загальні фактори. | $х = 36$$ |
Перевірка: Щоб перевірити нашу відповідь, підставляємо в вихідну пропорцію.
| Заміна x =\(\textcolor{red}{36}\) | $\ drac {\ текстовий колір {червоний} {36}} {63}\ стековий {?} {=}\ дфрак {4} {7} $$ |
| Показати загальні фактори. | $\ drac {4\ точка 9} {7\ точка 9}\ стекер {?} {=}\ дфрак {4} {7} $$ |
| Спростити. | $\ dfrac {4} {7} =\ dfrac {4} {7}\;\ галочка $$ |
Вирішіть пропорції:\(\dfrac{n}{84} = \dfrac{11}{12}\).
- Відповідь
-
77
Вирішіть пропорції:\(\dfrac{y}{96} = \dfrac{13}{12}\).
- Відповідь
-
104
Коли змінна знаходиться в знаменнику, ми будемо використовувати той факт, що перехресні добутки пропорції рівні для вирішення пропорцій.
Ми можемо знайти перехресні продукти пропорції, а потім встановити їх рівними. Потім вирішуємо отримане рівняння за допомогою звичних нам прийомів.
Вирішити:\(\dfrac{144}{a} =\dfrac{9}{4}\).
Рішення
Зверніть увагу, що змінна знаходиться в знаменнику, тому ми будемо вирішувати, знайшовши перехресні добутки і встановивши їх рівними.
| Знайдіть перехресні вироби і встановіть їх рівними. | 4 • 144 = а • 9 |
| Спростити. | 576 = 9а |
| Розділіть обидві сторони на 9. | $\ дфрак {576} {9} =\ дфрак {9a} {9} $$ |
| Спростити. | $64 = $a$$ |
Перевірте свою відповідь.
| Замініть a =\(\textcolor{red}{64}\) | $\ drac {14} {\ колір тексту {червоний} {64}}\ стековий {?} {=}\ дфрак {9} {4} $$ |
| Показати загальні фактори. | $\ drac {9\ точка 16} {4\ точка 16}\ стек {?} {=}\ дфрак {9} {4} $$ |
| Спростити. | $\ dfrac {9} {4} =\ dfrac {9} {4}\;\ галочка $$ |
Іншим методом вирішити це було б помножити обидві сторони на РК-дисплей, 4a. Спробуйте і переконайтеся, що ви отримаєте таке ж рішення.
Вирішіть пропорції:\(\dfrac{91}{b} = \dfrac{7}{5}\).
- Відповідь
-
65
Вирішіть пропорції:\(\dfrac{39}{c} = \dfrac{13}{8}\).
- Відповідь
-
24
Вирішити:\(\dfrac{52}{91} = \dfrac{-4}{y}\)
Рішення
| Знайдіть перехресні вироби і встановіть їх рівними. |  |
| у • 52 = 91 (-4) | |
| Спростити. | 52г = -364 |
| Розділіть обидві сторони на 52. | $\ фрак {52} {52} =\ фрак {-364} {52} $$ |
| Спростити. | $$ у = -7$$ |
Перевірка:
| Заміна y =\(\textcolor{red}{-7}\) | $\ drac {52} {91}\ стек {?} {=}\ dfrac {-4} {\ колір тексту {червоний} {-7}} $$ |
| Показати загальні фактори. | $\ drac {13\ точка 4} {13\ точка 7}\ стекер {?} {=}\ dfrac {-4} {\ колір тексту {червоний} {-7}} $$ |
| Спростити. | $\ dfrac {4} {7} =\ dfrac {4} {7}\;\ галочка $$ |
Вирішіть пропорції:\(\dfrac{84}{98} = \dfrac{-6}{x}\).
- Відповідь
-
-7
Вирішіть пропорції:\(\dfrac{-7}{y} = \dfrac{105}{135}\).
- Відповідь
-
-9
Розв'язуйте програми за допомогою пропорцій
Стратегія вирішення додатків, яку ми використовували раніше в цьому розділі, також працює для пропорцій, оскільки пропорції - це рівняння. Коли ми встановлюємо пропорцію, ми повинні переконатися, що одиниці правильності - одиниці в чисельниках збігаються, а одиниці в знаменниках збігаються.
Коли педіатри призначають дітям ацетамінофен, призначають 5 мілілітрів (мл) ацетамінофену на кожні 25 кілограмів ваги дитини. Якщо Зої важить 80 фунтів, скільки мілілітрів ацетамінофену призначить її лікар?
Рішення
| Визначте, що вас просять знайти. | Скільки мл ацетамінофену призначить лікар? |
| Виберіть змінну для її представлення. | Нехай а = мл ацетамінофену. |
| Напишіть речення, яке дає інформацію, щоб знайти її. | Якщо на кожні 25 фунтів призначається 5 мл, скільки буде прописано за 80 фунтів? |
| Перевести в пропорцію. | $$\ dfrac {мл} {фунти} =\ dfrac {мл} {фунти}\ тег {6.5.24} $$ |
| Підставляйте задані значення - будьте обережні з одиницями. | $\ дфрак {5} {25} =\ dfrac {a} {80}\ тег {6.5.25} $$ |
| Помножте обидві сторони на 80. | $80\ dot\ drac {5} {25} = 80\ dot\ drac {a} {80}\ тег {6.5.26} $$ |
| Помножити і показати загальні фактори. | $\ drac {16\ точка 5\ точка 5} {5\ точка 5} =\ фрак {80a} {80}\ тег {6.5.27} $$ |
| Спростити. | $16 =\ тег {6.5.28} $$ |
| Перевірте, чи є відповідь розумною. | Так. Оскільки 80 - це приблизно 3 рази 25, ліки повинно бути близько 3 разів 5. |
| Напишіть повне речення. | Педіатр призначив би Зої 16 мл ацетамінофену. |
Ви також можете вирішити цю пропорцію, встановивши перехресні продукти рівними.
Педіатри призначають 5 мілілітрів (мл) ацетамінофену на кожні 25 кілограмів ваги дитини. Скільки мілілітрів ацетамінофену призначить лікар Емілії, яка важить 60 фунтів?
- Відповідь
-
12 мл
На кожен 1 кілограм (кг) ваги дитини педіатри призначають 15 міліграм (мг) редуктора лихоманки. Якщо Ізабелла важить 12 кг, скільки міліграмів редуктора лихоманки призначить педіатр?
- Відповідь
-
180 мг
Одна марка мікрохвильового попкорну має 120 калорій на порцію. Цілий пакетик цього попкорну має 3,5 порції. Скільки калорій в цілому пакетику цього мікрохвильового попкорну?
Рішення
| Визначте, що вас просять знайти. | Скільки калорій в цілому пакетику попкорну в мікрохвильовці? |
| Виберіть змінну для її представлення. | Нехай c = кількість калорій. |
| Напишіть речення, яке дає інформацію, щоб знайти її. | Якщо на порцію припадає 120 калорій, скільки калорій в цілому пакетику з 3,5 порціями? |
| Перевести в пропорцію. | $\ dfrac {калорії} {порція} =\ dfrac {калорії} {порція}\ тег {6.5.29} $$ |
| Підставляємо задані значення. | $\ дфрак {120} {1} =\ dfrac {c} {3.5}\ тег {6.5.30} $$ |
| Помножте обидві сторони на 3,5. | $$ (3.5)\ лівий (\ dfrac {120} {1}\ праворуч) = (3.5)\ лівий (\ dfrac {c} {3.5}\ праворуч)\ тег {6.5.31} $$ |
| Помножити. | $420 = c\ тег {6.5.32} $$ |
| Перевірте, чи є відповідь розумною. | Так. Оскільки 3,5 становить від 3 до 4, загальна кількість калорій повинна бути від 360 (3 • 120) до 480 (4 • 120). |
| Напишіть повне речення. | Весь мішок попкорну для мікрохвильової печі має 420 калорій. |
Марісса любить Карамель Маккіато в кав'ярні. 16 унцій середнього розміру має 240 калорій. Скільки калорій вона отримає, якщо вип'є великі 20 унцій. розміру?
- Відповідь
-
300
Янелі любить цукерки Starburst, але хоче зберегти її закуски до 100 калорій. Якщо цукерки мають 160 калорій на 8 штук, скільки штук вона може мати в своєму перекусі?
- Відповідь
-
5
Джосія поїхав до Мексики на весняні канікули і змінив 325 доларів на мексиканські песо. На той момент обмінний курс мав $1 США дорівнює 12,54 мексиканських песо. Скільки мексиканських песо він отримав за свою поїздку?
Рішення
| Визначте, що вас просять знайти. | Скільки мексиканських песо отримав Джосія? |
| Виберіть змінну для її представлення. | Нехай p = кількість песо. |
| Напишіть речення, яке дає інформацію, щоб знайти її. | Якщо $1 США дорівнює 12.54 мексиканських песо, то $325 - це скільки песо? |
| Перевести в пропорцію. | $$\ dfrac {\ $} {песо} =\ dfrac {\ $} {песо}\ тег {6.5.33} $$ |
| Підставляємо задані значення. | $\ дфрак {1} {12.54} =\ dfrac {325} {p}\ тег {6.5.34} $$ |
| Змінна знаходиться в знаменнику, тому знайдіть перехресні добутки і встановіть їх рівними. | $p\ точка 1 = 12,54 (325)\ тег {6.5.35} $$ |
| Спростити. | $c = 4 075.5\ тег {6.5.36} $$ |
| Перевірте, чи є відповідь розумною. | Так, 100 доларів становили б 1,254 песо. 325 доларів - це трохи більше, ніж у 3 рази ця сума. |
| Напишіть повне речення. | У Джосії є 4075,5 песо для поїздки на весняні канікули. |
Юріанна їде до Європи і хоче поміняти 800 доларів на євро. За поточним курсом 1 долар США дорівнює 0.738 євро. Скільки євро у неї буде на поїздку?
- Відповідь
-
590 євро
Корі і Ніколь подорожують до Японії і повинні обміняти 600 доларів на японську ієну. Якщо кожен долар дорівнює 94,1 ієни, скільки ієн вони отримають?
- Відповідь
-
56 460 ієн