5.13: Спрощення та використання квадратних коренів (частина 2)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57923

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Приблизні квадратні корені за допомогою калькулятора

Існують математичні методи наближення квадратних коренів, але набагато зручніше використовувати калькулятор для пошуку квадратних коренів. Знайдіть$\sqrt{x}$ ключ$\sqrt{\text{ }}$ або на калькуляторі. Ви будете використовувати цей ключ для наближення квадратних коренів. Коли ви використовуєте калькулятор, щоб знайти квадратний корінь числа, яке не є ідеальним квадратом, відповідь, яку ви бачите, не є точним числом. Це наближення до кількості цифр, показаних на дисплеї вашого калькулятора. Символ наближення дорівнює ≈ і читається він приблизно.

Припустимо, ваш калькулятор має 10-значний дисплей. Використовуючи його для знаходження квадратного кореня з 5 видасть 2.236067977. Це приблизний квадратний корінь з 5. Коли ми повідомляємо відповідь, ми повинні використовувати знак «приблизно дорівнює» замість знака рівності.

\[\sqrt{5} \approx 2.236067978\]

Ви рідко будете використовувати цю кількість цифр для додатків в алгебрі. Отже, якщо ви хочете округлити$\sqrt{5}$ до двох знаків після коми, ви б написали

\[\sqrt{5} \approx 2.24\]

Звідки ми знаємо, що ці значення є наближеннями, а не точними значеннями? Подивіться, що відбувається, коли ми їх квадратуємо.

\[\begin{split} 2.236067978^{2} & = 5.000000002 \\ 2.24^{2} & = 5.0176 \end{split}\]

Квадрати близькі, але не зовсім рівні, до 5.

Приклад$\PageIndex{6}$:

Округлення$\sqrt{17}$ до двох знаків після коми за допомогою калькулятора.

Рішення

Скористайтеся калькулятором квадратного кореневого ключа.	4.123105626
Округлення до двох знаків після коми.	4.12
	$\ квадратний {17}\ приблизно 4.12$$

Вправа$\PageIndex{11}$:

Округлення$\sqrt{11}$ до двох знаків після коми.

Відповідь: $ \approx 3.32$

Вправа$\PageIndex{12}$:

Округлення$\sqrt{13}$ до двох знаків після коми

Відповідь: $ \approx 3.61$

Спрощення змінних виразів з квадратними коренями

Вирази з квадратним коренем, які ми розглядали досі, не мали жодних змінних. Що відбувається, коли нам потрібно знайти квадратний корінь змінного виразу?

Розглянемо$\sqrt{9x^{2}}$, де х ≥ 0. Чи можете ви придумати вираз, квадрат якого дорівнює 9x ²?

\[\begin{split} (?)^{2} & = 9x^{2} \\ (3x)^{2} & = 9x^{2} \\ so\; \sqrt{9x^{2}} & = 3x \end{split}\]

Коли ми використовуємо змінну в вираженні квадратного кореня, для нашої роботи ми будемо вважати, що змінна являє собою невід'ємне число. У кожному наступному прикладі та вправі кожна змінна у виразі квадратного кореня більша або дорівнює нулю.

Приклад$\PageIndex{7}$:

Спрощення: x ².

Рішення

Подумайте про те, що ми повинні були б квадрат, щоб отримати х ². Алгебраїчно, (?) ² = х ²

Оскільки (х) ² = х ²

Вправа$\PageIndex{13}$:

Спростити:$\sqrt{y^{2}}$.

Відповідь: $y$

Вправа$\PageIndex{14}$:

Спростити:$\sqrt{m^{2}}$.

Відповідь: $m$

Приклад$\PageIndex{8}$:

Спростити:$\sqrt{16x^{2}}$.

Рішення

Так як (4х) ² = 16х ²

4х

Вправа$\PageIndex{15}$:

Спростити:$\sqrt{64x^{2}}$.

Відповідь: $8x$

Вправа$\PageIndex{16}$:

Спростити:$\sqrt{169y^{2}}$.

Відповідь: $13y$

Приклад$\PageIndex{9}$:

Спростити:$- \sqrt{81y^{2}}$.

Рішення

Так як (9й) ² = 81у ²

-9й

Вправа$\PageIndex{17}$:

Спростити:$- \sqrt{121y^{2}}$.

Відповідь: $-11y$

Вправа$\PageIndex{18}$:

Спростити:$- \sqrt{100p^{2}}$.

Відповідь: $-10p$

Приклад$\PageIndex{10}$:

Спростити:$\sqrt{36x^{2} y^{2}}$.

Рішення

Так як (6х) ² = 36х ² у ²

6xy

Вправа$\PageIndex{19}$:

Спростити:$\sqrt{100a^{2} b^{2}}$.

Відповідь: $10ab$

Вправа$\PageIndex{20}$:

Спростити:$\sqrt{225m^{2} n^{2}}$.

Відповідь: $10mn$

Використання квадратних коренів у програмах

Коли ви просуваєтеся через курси коледжу, ви зіткнетеся з кількома додатками квадратних коренів. Ще раз, якщо ми використовуємо нашу стратегію для додатків, це дасть нам план пошуку відповіді!

ЯК: ВИКОРИСТОВУЙТЕ СТРАТЕГІЮ ДЛЯ ДОДАТКІВ З КВАДРАТНИМИ КОРЕНЯМИ

Крок 1. Визначте, що вас просять знайти.

Крок 2. Напишіть фразу, яка дає інформацію, щоб знайти її.

Крок 3. Переведіть фразу на вираз.

Крок 4. Спростити вираз.

Крок 5. Напишіть повне речення, яке відповідає на питання.

Квадратні корені і площа

Ми вирішували додатки з площею раніше. Якби нам дали довжину сторін квадрата, ми могли б знайти його площу, склавши квадрат довжини його сторін. Тепер ми можемо знайти довжину сторін квадрата, якщо нам задано площу, знайшовши квадратний корінь області.

Якщо площа квадрата дорівнює квадратним одиницям, довжина сторони дорівнює одиницям A. Див$\PageIndex{1}$. Таблицю.

Таблиця$\PageIndex{1}$
Площа (квадратні одиниці)	Довжина сторони (одиниці)
9	$$\ квадратний {9} = 3$$
144	$\ квадратний {144} = 12$$
A	$$\ квадратний {А} $$

Приклад$\PageIndex{11}$:

Майк і Лішель хочуть зробити квадратний внутрішній дворик. Їм вистачає бетону на площу 200 квадратних футів. До найближчої десятої частини фута, як довго може бути сторона їх квадратного внутрішнього дворика?

Рішення

Ми знаємо, що площа площі становить 200 квадратних футів і хочемо знайти довжину сторони. Якщо площа квадрата дорівнює квадратним одиницям, довжина сторони дорівнює$\sqrt{A}$ одиницям.

Що вас просять знайти?	Довжина кожної сторони квадратного патіо
Напишіть фразу.	Довжина бортика
Перекласти на вираз.	$$\ квадратний {А} $$
Оцініть,$\sqrt{A}$ коли А = 200.	$$\ квадратний {200} $$
Скористайтеся калькулятором.	14.142135...
Округлення до одного знака після коми.	14,1 футів
Напишіть речення.	Кожна сторона внутрішнього дворика повинна бути 14,1 футів.

Вправа$\PageIndex{21}$:

Кеті хоче посадити квадратний газон у своєму передньому дворі. У неї достатньо дерну, щоб покрити площу 370 квадратних футів. До найближчої десятої частини фута, як довго може бути сторона її квадратного газону?

Відповідь: 19,2 футів

Вправа$\PageIndex{22}$:

Серхіо хоче зробити квадратну мозаїку як інкрустацію для столу, який він будує. Йому досить плитки, щоб покрити площу 2704 квадратних сантиметра. Як довго може бути сторона його мозаїки?

Відповідь: 52 сантиметри

Квадратні корені і гравітація

Ще одне застосування квадратних коренів передбачає гравітацію. На Землі, якщо об'єкт скидається з висоти h футів, час у секундах, який знадобиться для досягнення землі, виявляється шляхом оцінки виразу$\dfrac{\sqrt{h}}{4}$. Наприклад, якщо об'єкт скидається з висоти 64 футів, ми можемо знайти час, необхідний для досягнення землі, оцінюючи$\dfrac{\sqrt{64}}{4}$.

Візьміть квадратний корінь з 64.	$$\ фрак {8} {4} $$
Спростити дріб.	2

Було б потрібно 2 секунди, щоб об'єкт, впав з висоти 64 футів, досяг землі.

Приклад$\PageIndex{12}$:

Крісті впустила свої сонцезахисні окуляри з мосту на 400 футах над річкою. Скільки секунд потрібно, щоб сонцезахисні окуляри досягли річки?

Рішення

Що вас просять знайти?	Кількість секунд, необхідних для того, щоб сонцезахисні окуляри досягли річки
Напишіть фразу.	Час, який знадобиться, щоб дістатися до річки
Перекласти на вираз.	$$\ драк {\ sqrt {h}} {4} $$
Оцініть$\dfrac{\sqrt{h}}{4}$, коли h = 400.	$$\ фрак {\ sqrt {400}} {4} $$
Знайдіть квадратний корінь з 400.	14.142135...
Спростити.	14,1 футів
Напишіть речення.	Кожна сторона внутрішнього дворика повинна бути 14,1 футів.

Вправа$\PageIndex{23}$:

Вертоліт скидає рятувальний пакет з висоти 1296 футів. Скільки секунд потрібно, щоб пакет досяг землі?

Відповідь: 9 секунд

Вправа$\PageIndex{24}$:

Омивач вікон скидає ракель з платформи 196 футів над тротуаром. Скільки секунд потрібно, щоб ракель досяг тротуару?

Відповідь: 3,5 секунди

Квадратні корені та розслідування аварій

Співробітники поліції, що розслідують автомобільні аварії, вимірюють довжину слідів заносу на тротуарі. Потім вони використовують квадратні корені, щоб визначити швидкість, в милі на годину, автомобіль їхав перед застосуванням гальм. За деякими формулами, якщо довжина слідів занесення дорівнює d футів, то швидкість автомобіля можна дізнатися, оцінивши$\sqrt{24d}$.

Приклад$\PageIndex{13}$:

Після автомобільної аварії мітки заносу для одного автомобіля вимірювали 190 футів. До найближчої десятої, яка була швидкість автомобіля (в миль/год) до того, як були застосовані гальма?

Рішення

Що вас просять знайти?	Швидкість автомобіля до того, як були застосовані гальма
Напишіть фразу.	Швидкість руху автомобіля
Перекласти на вираз.	$$\ квадратна {24d} $$
Оцініть$\sqrt{24d}$, коли d = 190.	$$\ квадратний {24\ cdot 190} $$
Помножити.	$$\ квадратна {4,560} $$
Скористайтеся калькулятором.	67.527772...
Круглі до десятих.	67.5
Напишіть речення.	Швидкість автомобіля становила приблизно 67.5 миль на годину.

Вправа$\PageIndex{25}$:

Слідчий ДТП виміряв сліди занесення автомобіля і виявив, що їх довжина становила 76 футів. До найближчої десятої, яка була швидкість автомобіля до того, як були застосовані гальма?

Відповідь: 42,7 миль/год

Вправа$\PageIndex{26}$:

Відмітки занесення транспортного засобу, що беруть участь у ДТП, мали довжину 122 футів. До найближчої десятої, як швидко їхав транспортний засіб до того, як гальма були застосовані?

Відповідь: 54,1 миль/год

ДОСТУП ДО ДОДАТКОВИХ ОНЛАЙН-РЕСУРСІВ

Вступ до квадратних коренів

Оцінка квадратних коренів за допомогою калькулятора

Практика робить досконалим

Спрощення виразів за допомогою квадратних коренів

У наступних вправах спростити.

$\sqrt{36}$
$\sqrt{4}$
$\sqrt{64}$
$\sqrt{144}$
$- \sqrt{4}$
$- \sqrt{100}$
$- \sqrt{1}$
$- \sqrt{121}$
$\sqrt{-121}$
$\sqrt{-36}$
$\sqrt{-9}$
$\sqrt{-49}$
$\sqrt{9+16}$
$\sqrt{25+144}$
$\sqrt{9} + \sqrt{16}$
$\sqrt{25} + \sqrt{144}$

Оцініть квадратні корені

У наступних вправах оцініть кожен квадратний корінь між двома послідовними цілими числами.

$\sqrt{70}$
$\sqrt{5}$
$\sqrt{200}$
$\sqrt{172}$

Приблизні квадратні корені за допомогою калькулятора

У наступних вправах використовуйте калькулятор, щоб наблизити кожен квадратний корінь і округлити до двох знаків після коми.

$\sqrt{19}$
$\sqrt{21}$
$\sqrt{53}$
$\sqrt{47}$

Спрощення змінних виразів з квадратними коренями

У наступних вправах спростити. (Припустимо, що всі змінні більше або рівні нулю.)

$\sqrt{y^{2}}$
$\sqrt{b^{2}}$
$\sqrt{49x^{2}}$
$\sqrt{100y^{2}}$
$- \sqrt{64a^{2}}$
$- \sqrt{25x^{2}}$
$\sqrt{144x^{2} y^{2}}$
$\sqrt{196a^{2} b^{2}}$

Використання квадратних коренів у програмах

У наступних вправах вирішуйте. Округлення до одного знака після коми.

Ландшафтний очеретяний хоче мати квадратний садовий ділянку на своєму задньому дворі. У нього достатньо компосту, щоб покрити площу 75 квадратних футів. Як довго може бути сторона його саду?
Ландшафтний дизайн Вінс хоче зробити квадратний внутрішній дворик у своєму дворі. У нього достатньо бетону, щоб прокласти площу 130 квадратних футів. Як довго може бути сторона його внутрішнього дворика?
Гравітація Літак скинув спалах з висоти 1,024 футів над озером. Скільки секунд знаходилося, щоб спалах дістався до води?
Гравітація Дельтаплан впустив свій мобільний телефон з висоти 350 футів. Скільки секунд знадобилося, щоб мобільний телефон досяг землі?
Гравітація Будівельник скинув молоток під час будівництва Гранд-Каньйон Skywalk, 4,000 футів над річкою Колорадо. Скільки секунд знадобилося, щоб молоток дістався до річки?
Розслідування аварії Відмітки занесення від автомобіля, залученого до ДТП, вимірювали 54 фути. Яка була швидкість автомобіля до того, як були застосовані гальма?
Розслідування аварії Відмітки занесення від автомобіля, залученого до ДТП, вимірювали 216 футів. Яка була швидкість автомобіля до того, як були застосовані гальма?
Розслідування аварії Слідчий ДТП заміряв сліди занесення одного з транспортних засобів, що беруть участь у ДТП. Довжина слідів заносу становила 175 футів. Яка була швидкість транспортного засобу до того, як були застосовані гальма?
Розслідування аварії Слідчий ДТП заміряв сліди занесення одного з транспортних засобів, що беруть участь у ДТП. Довжина слідів заносу становила 117 футів. Яка була швидкість транспортного засобу до того, як були застосовані гальма?

Щоденна математика

Оздоблення Деніз хоче встановити квадратний акцент дизайнерської плитки в її новому душовій кабіні. Вона може дозволити собі купити 625 квадратних сантиметрів дизайнерської плитки. Як довго може бути сторона акценту?
Оздоблення Морріс хоче мати квадратну мозаїку, інкрустовану в його новому внутрішньому дворику. Його бюджет дозволяє на 2 025 плиток. Кожна плитка квадратна з площею в один квадратний дюйм. Як довго може бути сторона мозаїки?

Письмові вправи

Чому немає дійсного числа, рівного$\sqrt{−64}$?
У чому різниця між 9 ² і$\sqrt{9}$?

Самостійна перевірка

(а) Після виконання вправ використовуйте цей контрольний список, щоб оцінити своє володіння цілями цього розділу.

(b) Загалом, подивившись контрольний список, ви вважаєте, що добре підготовлені до наступної глави? Чому чи чому ні?

Дописувачі та атрибуція

Template:ContribOpenStaxPreAlgebra

Приклад\(\PageIndex{6}\):

Вправа\(\PageIndex{11}\):

Вправа\(\PageIndex{12}\):

Приклад\(\PageIndex{7}\):

Вправа\(\PageIndex{13}\):

Вправа\(\PageIndex{14}\):

Приклад\(\PageIndex{8}\):

Вправа\(\PageIndex{15}\):

Вправа\(\PageIndex{16}\):

Приклад\(\PageIndex{9}\):

Вправа\(\PageIndex{17}\):

Вправа\(\PageIndex{18}\):

Приклад\(\PageIndex{10}\):

Вправа\(\PageIndex{19}\):

Вправа\(\PageIndex{20}\):

ЯК: ВИКОРИСТОВУЙТЕ СТРАТЕГІЮ ДЛЯ ДОДАТКІВ З КВАДРАТНИМИ КОРЕНЯМИ

Приклад\(\PageIndex{11}\):

Вправа\(\PageIndex{21}\):

Вправа\(\PageIndex{22}\):

Приклад\(\PageIndex{12}\):

Вправа\(\PageIndex{23}\):

Вправа\(\PageIndex{24}\):

Приклад\(\PageIndex{13}\):

Вправа\(\PageIndex{25}\):

Вправа\(\PageIndex{26}\):

ДОСТУП ДО ДОДАТКОВИХ ОНЛАЙН-РЕСУРСІВ