4.13: Розв'язуйте рівняння з дробами (частина 2)
- Page ID
- 57795
Розв'яжіть рівняння з коефіцієнтом дробу
Коли ми маємо рівняння з коефіцієнтом дробу, ми можемо використовувати властивість множення рівності, щоб зробити коефіцієнт рівним\(1\). Наприклад, в рівнянні:
\[\dfrac{3}{4}x = 24 \nonumber \]
Коефіцієнт\(x\) становить\(\dfrac{3}{4}\). Щоб вирішити для\(x\), нам потрібно, щоб його коефіцієнт був\(1\). Оскільки добуток числа і його взаємний є\(1\), наша стратегія тут буде полягати в тому, щоб ізолювати\(x\) шляхом множення на взаємний\(\dfrac{3}{4}\). Ми зробимо це в прикладі\(\PageIndex{1}\).
Вирішити:\(\dfrac{3}{4}x = 24\).
Рішення
| Помножте обидві сторони на зворотну коефіцієнту. | \(\textcolor{red}{\dfrac{4}{3}} \cdot \dfrac{3}{4} x = \textcolor{red}{\dfrac{4}{3}} \cdot 24 \) |
| Спростити. | \(1x = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{24}{1} \) |
| Помножити. | \(x = 32 \) |
Перевірка:
| Заміна х = 32. | \(\dfrac{3}{4} \cdot 32 \stackrel{?}{=} 24 \) |
| Перепишіть 32 як дріб. | \(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{32}{1} \stackrel{?}{=} 24 \) |
| Помножити. Рівняння вірно. | \(24 = 24 \; \checkmark\) |
Зверніть увагу, що в рівнянні\(\dfrac{3}{4} x = 24\), ми могли б розділити обидві сторони,\(\dfrac{3}{4}\) щоб отримати сам\(x\) по собі. Ділення таке ж, як множення на взаємне, тому ми отримаємо той же результат. Але більшість людей сходяться на думці, що множити на взаємне простіше.
Вирішити:\(\dfrac{2}{5}n = 14\).
- Відповідь
-
\(35\)
Вирішити:\(\dfrac{5}{6}y = 15\).
- Відповідь
-
\(18\)
Вирішити:\(− \dfrac{3}{8}w = 72\).
Рішення
Коефіцієнт - негативний дріб. Пам'ятайте, що число і його зворотний мають один і той же знак, тому зворотний коефіцієнт також повинен бути негативним.
| Помножте обидві сторони на зворотну\(− \dfrac{3}{8}\). | \(\textcolor{red}{- \dfrac{8}{3}} \left(- \dfrac{3}{8} w \right) = \left(\textcolor{red}{- \dfrac{8}{3}}\right) 72 \) |
| Спростити; взаємно помножити на одиницю. | \(1w = - \dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{72}{1} \) |
| Помножити. | \(w = -192\) |
Перевірка:
| Нехай w = −192. | \(- \dfrac{3}{8} (-192) \stackrel{?}{=} 72 \) |
| Помножити. Це перевіряє. | \(72 = 72 \; \checkmark \) |
Вирішити:\(− \dfrac{4}{7}a = 52\).
- Відповідь
-
\(-91\)
Вирішити:\(− \dfrac{7}{9}w = 84\).
- Відповідь
-
\(-108\)
Перекласти речення на рівняння та розв'язувати
Тепер ми розглянули всі чотири властивості рівності - віднімання, додавання, ділення та множення. Ми перерахуємо їх все разом тут для зручності довідки.
| Властивість віднімання рівності: Для будь-яких дійсних чисел a, b і c, якщо a = b, то a − c = b − c. | Властивість додавання рівності: Для будь-яких дійсних чисел a, b і c, якщо a = b, то a + c = b + c. |
| Властивість поділу рівності: Для будь-яких чисел a, b і c, де c ≠ 0 якщо a = b, то\(\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{c}\). | Властивість множення рівності: Для будь-яких дійсних чисел a, b і c якщо a = b, то ac = bc. |
Коли ви додаєте, віднімаєте, множите або ділите однакову величину з обох сторін рівняння, ви все одно маєте рівність. У наступних кількох прикладах ми переведемо речення в рівняння, а потім вирішимо рівняння. Було б корисно переглянути таблицю перекладів у розділі Визначення, Спрощення та Перекласти вирази.
Перекладіть і вирішуйте:\(n\) ділиться на\(6\) є\(−24\).
Рішення
| Перекласти. |  |
| Помножте обидві сторони на 6. | \(\textcolor{red}{6} \cdot \dfrac{n}{6} = \textcolor{red}{6} (-24)\) |
| Спростити. | \(n = -144 \) |
| Перевірка: | Чи дорівнює −144 на 6 дорівнює −24? |
| Перекласти. | \(\dfrac{-144}{6} \stackrel{?}{=} -24\) |
| Спростити. Це перевіряє. | \(-24 = -24 \; \checkmark \) |
Перекладіть і\(n\) вирішуйте:\(7\) ділиться на дорівнює\(−21\).
- Відповідь
-
\(\dfrac{n}{7} = -21\);\(n=-147\)
Перекладіть і\(n\) вирішуйте:\(8\) ділиться на дорівнює\(−56\).
- Відповідь
-
\(\dfrac{n}{8} = -56\);\(n=-448\)
Перекладіть і вирішуйте: частка\(q\) і\(−5\) є\(70\).
Рішення
| Перекласти. |  |
| Помножте обидві сторони на −5. | \(\textcolor{red}{-5} \left(\dfrac{q}{-5}\right) = \textcolor{red}{-5} (70) \) |
| Спростити. | \(q = -350\) |
| Перевірка: | Коефіцієнт −350 та −5 дорівнює 70? |
| Перекласти. | \(\dfrac{-350}{-5} \stackrel{?}{=} 70 \) |
| Спростити. Це перевіряє. | \(70 = 70 \; \checkmark \) |
Перекладіть і вирішуйте: частка\(q\) і\(−8\) є\(72\).
- Відповідь
-
\(\dfrac{q}{-8} = 72\);\(q=-576\)
Перекладіть і вирішуйте: частка\(p\) і\(−9\) є\(81\).
- Відповідь
-
\(\dfrac{p}{-9} = 81\);\(p=-729\)
Перекладіть і вирішуйте: Дві третини\(f\) є\(18\).
Рішення
| Перекласти. |  |
| Помножте обидві сторони на\(\dfrac{3}{2}\). | \(\textcolor{red}{\dfrac{3}{2}} \cdot \dfrac{2}{3} f = \textcolor{red}{\dfrac{3}{2}} \cdot 18 \) |
| Спростити. | \(f = 27 \) |
| Перевірка: | Чи дві третини з 27 дорівнює 18? |
| Перекласти. | \(\dfrac{2}{3} (27) \stackrel{?}{=} 18\) |
| Спростити. Це перевіряє. | \(18 = 18 \; \checkmark \) |
Перекладіть і вирішуйте: Дві п'яті\(f\) є\(16\).
- Відповідь
-
\(\dfrac{2}{5}f = 16\);\(f=40\)
Перекладіть і вирішуйте: Три чверті\(f\) є\(21\).
- Відповідь
-
\(\dfrac{3}{4}f = 21\);\(f=28\)
Перекладіть і вирішуйте: частка\(m\) і\(\dfrac{5}{6}\) є\(\dfrac{3}{4}\).
Рішення
| Перекласти. | \(\dfrac{m}{\dfrac{5}{6}} = \dfrac{3}{4} \) |
| Помножте обидві сторони на\(frac{5}{6}\), щоб виділити m. | \(\dfrac{5}{6} \left(\dfrac{m}{\dfrac{5}{6}}\right) = \dfrac{5}{6} \left(\dfrac{3}{4}\right) \) |
| Спростити. | \(m = \dfrac{5 \cdot 3}{6 \cdot 4}\) |
| Видаліть загальні фактори і примножте. | \(m = \dfrac{5}{8} \) |
Перевірка:
| Чи є часткою\(\dfrac{5}{8}\) і\(\dfrac{5}{6}\) дорівнює\(\dfrac{3}{4}\)? | \(\dfrac{\dfrac{5}{8}}{\dfrac{5}{6}} \stackrel{?}{=} \dfrac{3}{4} \) |
| Перепишіть як поділ. | \(\dfrac{5}{8} \div \dfrac{5}{6} \stackrel{?}{=} \dfrac{3}{4} \) |
| Помножте перший дріб на зворотний другий. | \(\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{6}{5} \stackrel{?}{=} \dfrac{3}{4} \) |
| Спростити. | \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4} \; \checkmark \) |
Наше рішення перевіряє.
Перекладіть і вирішуйте. Коефіцієнт\(n\) і\(\dfrac{2}{3}\) є\(\dfrac{5}{12}\).
- Відповідь
-
\(\dfrac{n}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{5}{12}\);\(n = \dfrac{5}{18}\)
Перекладіть і вирішуйте. Коефіцієнт\(c\) і\(\dfrac{3}{8}\) є\(\dfrac{4}{9}\).
- Відповідь
-
\(\dfrac{c}{\dfrac{3}{8}} = \dfrac{4}{9}\);\(c = \dfrac{1}{6}\)
Перекласти і вирішити: Сума три-восьмих і\(x\) три з половиною.
Рішення
| Перекласти. |  |
| Використовуйте властивість віднімання рівності для віднімання\(\dfrac{3}{8}\) з обох сторін. | \(\dfrac{3}{8} + x - \dfrac{3}{8} = 3 \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{8} \) |
| Поєднуйте як терміни з лівого боку. | \(x = 3 \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{8} \) |
| Перетворити мішане число на неправильний дріб. | \(x = 3 \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{8} \) |
| Перетворіть на еквівалентні дроби з РК-дисплеєм 8. | \(x = \dfrac{7}{2} - \dfrac{3}{8} \) |
| Відніміть. | \(x = \dfrac{25}{8} \) |
| Пишіть як мішане число. | \(x = 3 \dfrac{1}{8} \) |
Ми пишемо відповідь як мішане число, тому що вихідна задача використовувала мішане число. Перевірка: Чи сума три-восьмих і\(3 \dfrac{1}{8}\) дорівнює трьом з половиною?
| Додати. | \(3 \dfrac{4}{8} \stackrel{?}{=} 3 \dfrac{1}{2} \) |
| Спростити. | \(3 \dfrac{1}{2} = 3 \dfrac{1}{2} \) |
Рішення перевіряє.
Перекласти і вирішити: Сума п'яти-восьмих і\(x\) становить одну четверту.
- Відповідь
-
\(\dfrac{5}{8}+x = \dfrac{1}{4}\);\(x = -\dfrac{3}{8}\)
Перекласти і розгадати: Різниця в одну і три чверті і\(x\) становить п'ять шостих.
- Відповідь
-
\(1\dfrac{3}{4} - x = \dfrac{5}{6}\);\(x = \dfrac{11}{12}\)
Доступ до додаткових онлайн-ресурсів
Практика робить досконалим
Визначте, чи є дріб розв'язком рівняння
У наступних вправах визначте, чи є кожне число розв'язком даного рівняння.
- x −\(\dfrac{2}{5}\) =\(\dfrac{1}{10}\):
- х = 1
- х =\(\dfrac{1}{2}\)
- х =\(− \dfrac{1}{2}\)
- y −\(\dfrac{1}{2}\) =\(\dfrac{5}{12}\):
- у = 1
- у =\(\dfrac{3}{4}\)
- у =\(- \dfrac{3}{4}\)
- ч +\(\dfrac{3}{4}\) =\(\dfrac{2}{5}\):
- ч = 1
- ч =\(\dfrac{7}{20}\)
- ч =\(- \dfrac{7}{20}\)
- k +\(\dfrac{2}{5}\) =\(\dfrac{5}{6}\):
- к = 1
- к =\(\dfrac{13}{30}\)
- к =\(- \dfrac{13}{30}\)
Розв'язуйте рівняння з дробами за допомогою властивостей додавання, віднімання та ділення рівності
У наступних вправах вирішуйте.
- у +\(\dfrac{1}{3}\) =\(\dfrac{4}{3}\)
- м +\(\dfrac{3}{8}\) =\(\dfrac{7}{8}\)
- f +\(\dfrac{9}{10}\) =\(\dfrac{2}{5}\)
- ч +\(\dfrac{5}{6}\) =\(\dfrac{1}{6}\)
- а −\(\dfrac{5}{8}\) =\(- \dfrac{7}{8}\)
- c −\(\dfrac{1}{4}\) =\(- \dfrac{5}{4}\)
- x −\(\left(- \dfrac{3}{20} \right)\) =\(- \dfrac{11}{20}\)
- z −\(\left(- \dfrac{5}{12} \right)\) =\(- \dfrac{7}{12}\)
- n −\(\dfrac{1}{6}\) =\(\dfrac{3}{4}\)
- p −\(\dfrac{3}{10}\) =\(\dfrac{5}{8}\)
- s +\(\left(- \dfrac{1}{2} \right)\) =\(- \dfrac{8}{9}\)
- к +\(\left(- \dfrac{1}{3} \right)\) =\(- \dfrac{4}{5}\)
- 5 дж = 17
- 7к = 18
- −4Вт = 26
- −9в = 33
Розв'язувати рівняння з дробами за допомогою властивості множення рівності
У наступних вправах вирішуйте.
- \(\dfrac{f}{4}\)= −20
- \(\dfrac{b}{3}\)= −9
- \(\dfrac{y}{7}\)= −21
- \(\dfrac{x}{8}\)= −32
- \(\dfrac{p}{-5}\)= −40
- \(\dfrac{q}{-4}\)= −40
- \(\dfrac{r}{-12}\)= −6
- \(\dfrac{s}{-15}\)= −3
- −х = 23
- −у = 42
- −ч =\(− \dfrac{5}{12}\)
- −k =\(− \dfrac{17}{20}\)
- \(\dfrac{4}{5}\)п = 20
- \(\dfrac{3}{10}\)р = 30
- \(\dfrac{3}{8}\)q = −48
- \(\dfrac{5}{2}\)м = −40
- \(- \dfrac{2}{9}\)а = 16
- \(- \dfrac{3}{7}\)б = 9
- \(- \dfrac{6}{11}\)u = −24
- \(- \dfrac{5}{12}\)v = −15
Змішана практика
У наступних вправах вирішуйте.
- 3х = 0
- 8г = 0
- 4ф =\(\dfrac{4}{5}\)
- 7 г =\(\dfrac{7}{9}\)
- р +\(\dfrac{2}{3}\) =\(\dfrac{1}{12}\)
- q +\(\dfrac{5}{6}\) =\(\dfrac{1}{12}\)
- \(\dfrac{7}{8}\)м =\(\dfrac{1}{10}\)
- \(\dfrac{1}{4}\)п =\(\dfrac{7}{10}\)
- \(- \dfrac{2}{5}\)= х +\(\dfrac{3}{4}\)
- \(- \dfrac{2}{3}\)= у +\(\dfrac{3}{8}\)
- \(\dfrac{11}{20}\)= −f
- \(\dfrac{8}{15}\)= −d
Перекласти речення на рівняння та розв'язувати
У наступних вправах переведіть на алгебраїчне рівняння і розв'яжіть.
- n ділиться на вісім, дорівнює −16.
- n ділиться на шість, дорівнює −24.
- m ділиться на −9, дорівнює −7.
- m ділиться на −7, дорівнює −8.
- Коефіцієнт f та −3 дорівнює −18.
- Коефіцієнт f та −4 дорівнює −20.
- Коефіцієнт g і дванадцяти дорівнює 8.
- Коефіцієнт g і дев'яти дорівнює 14.
- Три чверті q дорівнює 12.
- Дві п'яті a дорівнює 20.
- Сім десятих p дорівнює −63.
- Чотири дев'яті числа p дорівнює −28.
- м ділиться на 4 дорівнює від'ємним 6.
- Коефіцієнт h і 2 дорівнює 43.
- Три чверті z - це те ж саме, що і 15.
- Коефіцієнт a і\(\dfrac{2}{3}\) є\(\dfrac{3}{4}\).
- Сума п'ятишостих і х дорівнює\(\dfrac{1}{2}\).
- Сума трьох четвертих і х дорівнює\(\dfrac{1}{8}\).
- Різниця у і одна четверта є\(- \dfrac{1}{8}\).
- Різниця у і одна третина є\(- \dfrac{1}{6}\).
Щоденна математика
- Шопінг Тереза купила пару взуття в продажу за 48 доларів. Ціна продажу була\(\dfrac{2}{3}\) звичайною ціною. Знайти звичайну ціну взуття, вирішивши рівняння\(\dfrac{2}{3}\) p = 48
- Ігровий будиночок Стіл в дитячому ігровому\(\dfrac{3}{5}\) будиночку має стіл дорослого розміру. Стіл ігрового будинку має висоту 18 дюймів. Знайти висоту таблиці дорослих розмірів, вирішивши рівняння\(\dfrac{3}{5}\) h = 18.
Письмові вправи
- У прикладі 4.100 описано три методи розв'язання рівняння −y = 15. Який метод ви віддаєте перевагу? Чому?
- Річард вважає, що рішення рівняння\(\dfrac{3}{4}\) x = 24 дорівнює 16. Поясніть, чому Річард помиляється.
Самостійна перевірка
(а) Після виконання вправ використовуйте цей контрольний список, щоб оцінити своє володіння цілями цього розділу.
(b) Загалом, подивившись контрольний список, ви вважаєте, що добре підготовлені до наступної глави? Чому чи чому ні?