4.12: Розв'язуйте рівняння з дробами (частина 1)
- Page ID
- 57796
- Визначте, чи є дріб розв'язком рівняння
- Розв'язуйте рівняння з дробами за допомогою властивостей додавання, віднімання та ділення рівності
- Розв'язуйте рівняння за допомогою властивості множення рівності
- Перекладіть пропозиції на рівняння та вирішуйте
Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність. Якщо ви пропустили якусь проблему, поверніться до переліченого розділу і перегляньте матеріал.
- Оцініть,\(x + 4\) коли\(x = −3\) Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 3.2.10.
- Вирішити:\(2y − 3 = 9\). Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 3.5.2.
- Вирішення:\(y − 3 = −9\) Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 4.2.10.
Визначте, чи є дріб розв'язком рівняння
Як ми бачили в Розв'язуйте рівняння з властивостями віднімання та додавання рівності та розв'язування рівнянь за допомогою цілих чисел; Властивість поділу рівності, рішення рівняння - це значення, яке робить істинний твердження при заміні змінної в рівнянні. У цих розділах ми знайшли ціле число і ціле розв'язки рівнянь. Тепер, коли ми працювали з дробами, ми готові знайти дробові розв'язки рівнянь.
Кроки, які ми робимо, щоб визначити, чи є число розв'язком рівняння, однакові, чи є розв'язком ціле число, ціле число або дріб.
Крок 1. Підставляємо число для змінної в рівняння.
Крок 2. Спростіть вирази з обох сторін рівняння.
Крок 3. Визначте, чи істинно отримане рівняння. Якщо це правда, число - це рішення. Якщо це не відповідає дійсності, число не є рішенням.
Визначте, чи є кожне з наступних рішень\(x − \dfrac{3}{10} = \dfrac{1}{2}\).
- \(x = 1\)
- \(x = \dfrac{4}{5}\)
- \(x = − \dfrac{4}{5}\)
Рішення
| \(\textcolor{red}{1}\)Замінюємо x. | \(\textcolor{red}{1} - \dfrac{3}{10} \stackrel{?}{=} \dfrac{1}{2}\) |
| Змінити на дроби з РК-дисплеєм 10. | \(\textcolor{red}{\dfrac{10}{10}} - \dfrac{3}{10} \stackrel{?}{=} \dfrac{5}{10}\) |
| Відняти. | \(\dfrac{7}{10} \stackrel{?}{=} \dfrac{5}{10}\) |
Так як\(x = 1\) не призводить до істинного рівняння, не\(1\) є рішенням рівняння.
| \(\textcolor{red}{\dfrac{4}{5}}\)Замінюємо x. | \(\textcolor{red}{\dfrac{4}{5}} - \dfrac{3}{10} \stackrel{?}{=} \dfrac{1}{2}\) |
| \(\textcolor{red}{\dfrac{8}{10}} - \dfrac{3}{10} \stackrel{?}{=} \dfrac{5}{10}\) | |
| Відняти. | \(\dfrac{5}{10} = \dfrac{5}{10} \; \checkmark\) |
Оскільки в\(x = \dfrac{4}{5}\) результаті виходить істинне рівняння,\(\dfrac{4}{5}\) є розв'язком рівняння\(x − \dfrac{3}{10} = \dfrac{1}{2}\).
| \(\textcolor{red}{- \dfrac{4}{5}}\)Замінюємо x. | \(\textcolor{red}{- \dfrac{4}{5}} - \dfrac{3}{10} \stackrel{?}{=} \dfrac{1}{2}\) |
| \(\textcolor{red}{- \dfrac{8}{10}} - \dfrac{3}{10} \stackrel{?}{=} \dfrac{5}{10}\) | |
| Відняти. | \(\dfrac{11}{10} \neq \dfrac{5}{10}\) |
Так як\(x = − \dfrac{4}{5}\) не призводить до істинного рівняння, не\(− \dfrac{4}{5}\) є рішенням рівняння.
Визначте, чи є кожне число розв'язком даного рівняння. \(x − \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}\)
- \(x = 1\)
- \(x = \dfrac{5}{6}\)
- \(x = − \dfrac{5}{6}\)
- Відповідь на
-
ні
- Відповідь б
-
так
- Відповідь c
-
ні
Визначте, чи є кожне число розв'язком даного рівняння. \(y − \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{8}\)
- \(y = 1\)
- \(y = - \dfrac{5}{8}\)
- \(y = \dfrac{5}{8}\)
- Відповідь на
-
ні
- Відповідь б
-
ні
- Відповідь c
-
так
Розв'язуйте рівняння з дробами за допомогою властивостей додавання, віднімання та ділення рівності
У розв'язанні рівнянь з властивостями віднімання та додавання рівності та розв'язування рівнянь з використанням цілих чисел; властивість поділу рівності ми розв'язували рівняння за допомогою властивостей додавання, віднімання та ділення рівності. Ці ж властивості ми будемо використовувати для розв'язання рівнянь з дробами.
Для будь-яких чисел\(a\)\(b\), і\(c\),
| якщо\(a = b\), то\(a + c = b + c\). | Додаткова властивість рівності |
| якщо\(a = b\), то\(a − c = b − c\). | Віднімання властивості рівності |
| якщо\(a = b\), то\(a c = b c \),\(c ≠ 0\). | Поділ власності рівності |
Іншими словами, коли ви додаєте або віднімаєте однакову величину з обох сторін рівняння або ділите обидві сторони на однакову величину, ви все одно маєте рівність.
Вирішити:\(y + \dfrac{9}{16} = \dfrac{5}{16}\).
Рішення
| Відніміть\(\dfrac{9}{16}\) з кожного боку, щоб скасувати додавання. | \(y + \dfrac{9}{16} \textcolor{red}{- \dfrac{9}{16}} = \dfrac{5}{16} \textcolor{red}{- \dfrac{9}{16}}\) |
| Спростити з кожного боку рівняння. | \(y + 0 = - \dfrac{4}{16}\) |
| Спростити дріб. | \(y = - \dfrac{1}{4}\) |
Перевірка:
| Заміна y = (−\ dfrac {1} {4}\). | \(\textcolor{red}{- \dfrac{1}{4}} + \dfrac{9}{16} \stackrel{?}{=} \dfrac{5}{16}\) |
| Перепишіть як дроби з РК-дисплеєм. | \ textcolor {червоний} {-\ фрак {4} {16}} +\ drac {9} {16}\ стекер {?} {=}\ дфрак {5} {16}\) |
| Додати. | \(\dfrac{5}{16} \stackrel{?}{=} \dfrac{5}{16} \; \checkmark\) |
Оскільки\(y = − \dfrac{1}{4}\) робить\(y + \dfrac{9}{16} = \dfrac{5}{16}\) правдиве твердження, ми знаємо, що знайшли рішення цього рівняння.
Вирішити:\(y + \dfrac{11}{12} = \dfrac{5}{12}\).
- Відповідь
-
\(-\dfrac{1}{2}\)
Вирішити:\(y + \dfrac{8}{15} = \dfrac{4}{15}\).
- Відповідь
-
\(-\dfrac{4}{15}\)
Ми використовували властивість віднімання рівності у прикладі\(\PageIndex{2}\). Тепер ми будемо використовувати властивість додавання рівності.
Вирішити: a −\(\dfrac{5}{9}\) =\(− \dfrac{8}{9}\).
Рішення
| Додайте\(\dfrac{5}{9}\) з кожного боку, щоб скасувати додавання. | \(a - \dfrac{5}{9} \textcolor{red}{+ \dfrac{5}{9}} = - \dfrac{8}{9} \textcolor{red}{+ \dfrac{5}{9}}\) |
| Спростити з кожного боку рівняння. | \(a + 0 = - \dfrac{3}{9}\) |
| Спростити дріб. | \(a = - \dfrac{1}{3}\) |
Перевірка:
| Замініть a =\(− \dfrac{1}{3}\). | \(\textcolor{red}{- \dfrac{1}{3}} - \dfrac{5}{9} \stackrel{?}{=} - \dfrac{8}{9}\) |
| Змінити на спільний знаменник. | \(\textcolor{red}{- \dfrac{3}{9}} - \dfrac{5}{9} \stackrel{?}{=} - \dfrac{8}{9}\) |
| Відняти. | \(- \dfrac{8}{9} = - \dfrac{8}{9} \; \checkmark\) |
Так як\(a = − \dfrac{1}{3}\) робить рівняння істинним, ми знаємо, що\(a = − \dfrac{1}{3}\) це рішення рівняння.
Вирішити:\(a − \dfrac{3}{5} = − \dfrac{8}{5}\).
- Відповідь
-
\(-1\)
Вирішити:\(n − \dfrac{3}{7} = − \dfrac{9}{7}\).
- Відповідь
-
\(-\dfrac{6}{7}\)
Наступний приклад може здатися, що не має дробу, але давайте подивимося, що станеться, коли ми її вирішимо.
Вирішити:\(10q = 44\).
Рішення
| Розділіть обидві сторони на 10, щоб скасувати множення. | \(\dfrac{10q}{10} = \dfrac{44}{10}\) |
| Спростити. | \(q =\dfrac{22}{5}\) |
Перевірка:
| \(q = \dfrac{22}{5}\)Підставляємо в вихідне рівняння. | \(10 \left(\dfrac{22}{5}\right) \stackrel{?}{=} 44\) |
| Спростити. | \(\stackrel{2}{\cancel{10}} \left(\dfrac{22}{\cancel{5}}\right) \stackrel{?}{=} 44\) |
| Помножити. | \(44 = 44 \; \checkmark\) |
Рішенням рівняння став дріб\(\dfrac{22}{5}\). Ми залишаємо це як неправильний дріб.
Вирішити:\(12u = −76\).
- Відповідь
-
\(-\dfrac{19}{3}\)
Вирішити:\(8m = 92\).
- Відповідь
-
\(\dfrac{23}{2}\)
Розв'язувати рівняння з дробами за допомогою властивості множення рівності
Розглянемо рівняння\(\dfrac{x}{4} = 3\). Ми хочемо знати, яке число ділиться на\(4\) дає\(3\). Отже, щоб «скасувати» поділ, нам потрібно буде помножити на\(4\). Властивість множення рівності дозволить нам це зробити. Ця властивість говорить про те, що якщо ми починаємо з двох рівних величин і помножимо обидві на одне і те ж число, то результати будуть рівними.
Для будь-яких чисел\(a\)\(b\), і\(c\), якщо\(a = b\), то\(ac = bc\). Якщо помножити обидві сторони рівняння на однакову величину, ви все одно матимете рівність.
Давайте використаємо властивість множення рівності для вирішення рівняння\(\dfrac{x}{7} = −9\).
Вирішити:\(\dfrac{x}{7} = −9\).
Рішення
| Використовуйте властивість множення рівності, щоб помножити обидві сторони на 7. Це дозволить ізолювати змінну. | \(\textcolor{red}{7} \cdot \dfrac{x}{7} = \textcolor{red}{7} (-9)\) |
| Помножити. | \(\dfrac{7x}{7} = -63\) |
| Спростити. | \(x = -63\) |
| Перевірка. \(\textcolor{red}{-63}\)Замініть x у вихідному рівнянні. | \(\dfrac{\textcolor{red}{-63}}{7} \stackrel{?}{=} -9\) |
| Рівняння вірно. | \(-9 = -9 ; \checkmark\) |
Вирішити:\(\dfrac{f}{5} = −25\).
- Відповідь
-
\(-125\)
Вирішити:\(\dfrac{h}{9} = −27\).
- Відповідь
-
\(-243\)
Вирішити:\(\dfrac{p}{−8} = −40\).
Рішення
Тут,\(p\) ділиться на\(−8\). Потрібно помножити на,\(−8\) щоб ізолювати\(p\).
| Помножте обидві сторони на −8. | \(\textcolor{red}{-8} \left(\dfrac{p}{-8}\right) = \textcolor{red}{-8} (-40)\) |
| Помножити. | \(\dfrac{-8p}{-8} = 320\) |
| Спростити. | \(p = 320\) |
Перевірка:
| Підставляємо р = 320. | \(\dfrac{\textcolor{red}{320}}{-8} \stackrel{?}{=} -40\) |
| Рівняння вірно. | \(-40 = -40 \; \checkmark\) |
Вирішити:\(\dfrac{c}{−7} = −35\).
- Відповідь
-
\(245\)
Вирішити:\(\dfrac{x}{−11} = −12\).
- Відповідь
-
\(132\)
Розв'яжіть рівняння з коефіцієнтом\(−1\)
Подивіться на рівняння\(−y = 15\). Чи виглядає це так, ніби y вже ізольований? Але перед собою є негативний знак\(y\), тому він не ізольований.
Існує три різних способи ізолювати змінну в цьому типі рівняння. Всі три способи ми покажемо в прикладі\(\PageIndex{7}\).
Вирішити:\(−y = 15\).
Рішення
Один із способів вирішення рівняння - переписати\(−y\) як\(−1y\), а потім використовувати властивість поділу рівності для ізоляції\(y\).
| Перезаписати −y як −1y. | \(-1y = 15\) |
| Розділіть обидві сторони на −1. | \(\dfrac{-1y}{\textcolor{red}{-1}} = \dfrac{15}{\textcolor{red}{-1}}\) |
| Спростити кожну сторону. | \(y = -15\) |
Іншим способом розв'язання цього рівняння є множення обох сторін рівняння на −1.
| Помножте обидві сторони на −1. | \(\textcolor{red}{-1} (-y) = \textcolor{red}{-1} (15)\) |
| Спростити кожну сторону. | \(y = -15\) |
Третій спосіб вирішення рівняння - читати\(−y\) як «протилежне»\(y\). Яке число має\(15\) як протилежність? Протилежність\(15\) є\(−15\). Отже\(y = −15\).
Для всіх трьох методів виділено\(y\) ізольоване рівняння і вирішено рівняння.
Перевірка:
| Заміна y = −15. | \(-(\textcolor{red}{15}) \stackrel{?}{=} (15)\) |
| Спростити. Рівняння вірно. | \(15 = 15 \; \checkmark\) |
Вирішити:\(−y = 48\).
- Відповідь
-
\(-48\)
Вирішити:\(−c = −23\).
- Відповідь
-
\(23\)