Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.7: Додавання та віднімання дробів із загальними знаменниками

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57838

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання
    • Додавання модельного дробу
    • Додавання дробів із загальним знаменником
    • Моделі віднімання дробу
    • Відніміть дроби із загальним знаменником
    будьте готові!

    Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

    1. Спростити:\(2x + 9 + 3x − 4\). Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.2.10.
    2. Намалюйте модель дробу\(\dfrac{3}{4}\). Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 4.1.2.
    3. Спростити:\(\dfrac{3 + 2}{6}\). Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 4.3.12.

    Додавання дробу моделі

    Скільки кварталів зображено? Одна чверть плюс\(2\) чверті дорівнює\(3\) чвертях.

    Показані три чверті США. Один показаний зліва, а два - праворуч.

    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Пам'ятайте, чверті - це дійсно частки долара. Квартали - ще один спосіб сказати четвертих. Отже, зображення монет показує, що

    \[\begin{split} \dfrac{1}{4} \qquad \qquad \qquad \dfrac{2}{4} \qquad & \qquad \qquad \dfrac{3}{4} \\ one \; quarter + two \; quarters &= three\; quarters \end{split} \nonumber \]

    Давайте використаємо дробові кола для моделювання того ж прикладу\(\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4}\).

    Почніть з одного\(\dfrac{1}{4}\) шматка. \(\dfrac{1}{4}\)
    Додайте ще дві\(\dfrac{1}{4}\) штуки. \(+ \dfrac{2}{4}\)
    Результат є\(\dfrac{3}{4}\). \(\dfrac{3}{4}\)

    Отже, знову ж таки, ми бачимо, що

    \[\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{4} \nonumber \]

    Приклад\(\PageIndex{1}\): addition

    Використовуйте модель, щоб знайти суму\(\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8}\).

    Рішення

    Почніть з трьох\(\dfrac{1}{8}\) штук. \(\dfrac{3}{8}\)
    Додайте дві\(\dfrac{1}{8}\) штуки. \(+ \dfrac{2}{8}\)
    Скільки\(\dfrac{1}{8}\) штук там? \(\dfrac{5}{8}\)

    Є п'ять\(\dfrac{1}{8}\) штук, або п'яти-восьмих. Модель показує це\(\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{8}\).

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Використовуйте модель, щоб знайти кожну суму. Покажіть діаграму для ілюстрації вашої моделі. \[\dfrac{1}{8} + \dfrac{4}{8} \nonumber \]

    Відповідь

    \(\dfrac{5}{8}\)

    CNX_BMath_Figure_04_04_004_img.jpg

    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    Використовуйте модель, щоб знайти кожну суму. Покажіть діаграму для ілюстрації вашої моделі. \[\dfrac{1}{6} + \dfrac{4}{6} \nonumber \]

    Відповідь

    \(\dfrac{5}{6}\)

    CNX_BMath_Figure_04_04_005_img.jpg

    Додавання дробів із загальним знаменником

    Приклад\(\PageIndex{1}\) показує, що для додавання шматочків однакового розміру - це означає, що дроби мають однаковий знаменник, ми просто додаємо кількість штук.

    Визначення: Додавання дробу

    Якщо\(a\),\(b\), і\(c\) є числами де\(c ≠ 0\), то

    \[\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}\]

    Щоб додати дроби зі спільним знаменником, додайте чисельники і помістіть суму над спільним знаменником.

    Приклад\(\PageIndex{2}\): addition

    Знайдіть суму:\(\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5}\).

    Рішення

    Додайте чисельники і помістіть суму над спільним знаменником. \(\dfrac{3 + 1}{5}\)
    Спростити. \(\dfrac{4}{5}\)
    Вправа\(\PageIndex{3}\)

    Знайти кожну суму:\(\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{5}{6}\)

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Знайти кожну суму:\(\dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{10}\).

    Відповідь

    \(1\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\): addition

    Знайдіть суму:\(\dfrac{x}{3} + \dfrac{2}{3}\).

    Рішення

    Додайте чисельники і помістіть суму над спільним знаменником. \(\dfrac{x + 2}{3}\)

    Зауважте, що ми більше не можемо спростити цей дріб. Оскільки\(x\) і не\(2\) схожі на терміни, ми не можемо їх поєднувати.

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Знайдіть суму:\(\dfrac{x}{4} + \dfrac{3}{4}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{x+3}{4}\)

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Знайдіть суму:\(\dfrac{y}{8} + \dfrac{5}{8}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{y+5}{8}\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\): addition

    Знайдіть суму:\(− \dfrac{9}{d} + \dfrac{3}{d}\).

    Рішення

    Почнемо з переписування першого дробу з негативним знаком в чисельнику.

    \[− \dfrac{a}{b} = \dfrac{−a}{b} \nonumber \]

    Перепишіть перший дріб з негативом в чисельнику. \(\dfrac{-9}{d} + \dfrac{3}{d}\)
    Додайте чисельники і помістіть суму над спільним знаменником. \(\dfrac{-9 + 3}{d}\)
    Спростити чисельник. \(\dfrac{-6}{d}\)
    Перепишіть з негативним знаком перед дробом. \(- \dfrac{6}{d}\)
    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Знайдіть суму:\(− \dfrac{7}{d} + \dfrac{8}{d}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{1}{d}\)

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Знайдіть суму:\(− \dfrac{6}{m} + \dfrac{9}{m}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{3}{m}\)

    Приклад\(\PageIndex{5}\): addition

    Знайдіть суму:\(\dfrac{2n}{11} + \dfrac{5n}{11}\).

    Рішення

    Додайте чисельники і помістіть суму над спільним знаменником. \(\dfrac{2n + 5n}{11}\)
    Поєднуйте подібні терміни. \(\dfrac{7n}{11}\)
    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    Знайдіть суму:\(\dfrac{3p}{8} + \dfrac{6p}{8}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{9p}{8}\)

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    Знайдіть суму:\(\dfrac{2q}{5} + \dfrac{7q}{5}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{9q}{5}\)

    Приклад\(\PageIndex{6}\): addition

    Знайдіть суму:\(− \dfrac{3}{12} + \left(− \dfrac{5}{12}\right)\).

    Рішення

    Додайте чисельники і помістіть суму над спільним знаменником. \(\dfrac{-3 + (-5)}{12}\)
    Додати. \(\dfrac{-8}{12}\)
    Спростити дріб. \(-\dfrac{2}{3}\)
    Вправа\(\PageIndex{11}\)

    Знайти кожну суму:\(− \dfrac{4}{15} + \left(− \dfrac{6}{15}\right)\).

    Відповідь

    \(-\dfrac{2}{3}\)

    Вправа\(\PageIndex{12}\)

    Знайти кожну суму:\(− \dfrac{5}{21} + \left(− \dfrac{9}{21}\right)\).

    Відповідь

    \(-\dfrac{2}{3}\)

    Моделі віднімання дробу

    Віднімання двох дробів із загальними знаменниками багато в чому схоже на додавання дробів. Придумайте піцу, яку нарізали\(12\) скибочками. Припустимо, п'ять штук з'їдено на вечерю. Це означає, що після обіду в коробці залишилося сім штук (або\(\dfrac{7}{12}\) піци). Якщо Леонардо\(2\) їсть цих решти шматочків (або\(\dfrac{2}{12}\) піци), скільки залишилося? Залишилися б\(5\) шматочки (або\(\dfrac{5}{12}\) піци).

    \[\dfrac{7}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12} \nonumber \]

    Давайте використаємо дробові кола для моделювання того ж прикладу\(\dfrac{7}{12} − \dfrac{2}{12}\). Почніть з семи\(\dfrac{1}{12}\) штук. Візьміть дві\(\dfrac{1}{12}\) штуки. Скільки залишилося дванадцятих?

    Дно читає 7 дванадцятих мінус 2 дванадцятих дорівнює 5 дванадцятих. Над 7 дванадцятими є коло, розділене на 12 рівних частин, з 7 шматочками, відтіненими помаранчевим кольором. Вище 2 дванадцятих показано одне і те ж коло, але 2 з 7 штук затінені сірим кольором. Вище 5 дванадцятих, 2 сірі шматки більше не затінені, тому є коло, розділене на 12 частин з 5 шматочків, затінених помаранчевим кольором.

    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Знову ж таки, у нас п'ять дванадцятих,\(\dfrac{5}{12}\).

    Приклад\(\PageIndex{7}\): difference

    Використовуйте кола дробів, щоб знайти різницю:\(\dfrac{4}{5} − \dfrac{1}{5}\).

    Рішення

    Почніть з чотирьох\(\dfrac{1}{5}\) штук. Візьміть одну\(\dfrac{1}{5}\) штуку. Порахуйте, скільки п'ятих залишилося. Залишилося три\(\dfrac{1}{5}\) штуки.

    Нижня читається 4 п'ятих мінус 1 п'ята дорівнює 3 п'ятих. Вище 4 п'ятих є коло, розділене на 5 рівних частин, з 4 шматочками, відтіненими помаранчевим кольором. Над 1 п'ятою показано те саме коло, але 1 з 4 затінених частин затінено сірим кольором. Вище 3 п'ятих, 1 сірий шматок більше не затінений, тому є коло, розділене на 5 частин з 3 шматочками, затіненими помаранчевим кольором.

    Вправа\(\PageIndex{13}\)

    Використовуйте модель, щоб знайти кожну різницю. Покажіть діаграму для ілюстрації вашої моделі. \(\dfrac{7}{8} − \dfrac{4}{8}\)

    Відповідь

    \(\dfrac{3}{8}\), Моделі можуть відрізнятися.

    Вправа\(\PageIndex{14}\)

    Використовуйте модель, щоб знайти кожну різницю. Покажіть діаграму для ілюстрації вашої моделі. \(\dfrac{5}{6} − \dfrac{4}{6}\)

    Відповідь

    \(\dfrac{1}{6}\), Моделі можуть відрізнятися.

    Віднімання дробів із загальним знаменником

    Віднімаємо дроби із загальним знаменником майже так само, як і додаємо дроби із загальним знаменником.

    Визначення: Віднімання дробу

    Якщо\(a\),\(b\), і\(c\) є числами де\(c ≠ 0\), то

    \[\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b}{c}\]

    Для віднімання дробів із загальним знаменником віднімаємо чисельники і поміщаємо різницю над загальним знаменником.

    Приклад\(\PageIndex{8}\): difference

    Знайдіть різницю:\(\dfrac{23}{24} − \dfrac{14}{24}\).

    Рішення

    Відніміть чисельники і помістіть різницю над спільним знаменником. \(\dfrac{23 - 14}{24}\)
    Спростити чисельник. \(\dfrac{9}{24}\)
    Спростити дріб, видаливши загальні фактори. \(\dfrac{3}{8}\)
    Вправа\(\PageIndex{15}\)

    Знайдіть різницю:\(\dfrac{19}{28} − \dfrac{7}{28}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{3}{7}\)

    Вправа\(\PageIndex{16}\)

    Знайдіть різницю:\(\dfrac{27}{32} − \dfrac{11}{32}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{1}{2}\)

    Приклад\(\PageIndex{9}\): difference

    Знайдіть різницю:\(\dfrac{y}{6} − \dfrac{1}{6}\).

    Рішення

    Відніміть чисельники і помістіть різницю над спільним знаменником. \(\dfrac{y - 1}{6}\)

    Дріб спрощується, тому що ми не можемо об'єднати члени в чисельнику.

    Вправа\(\PageIndex{17}\)

    Знайдіть різницю:\(\dfrac{x}{7} − \dfrac{2}{7}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{x-2}{7}\)

    Вправа\(\PageIndex{18}\)

    Знайдіть різницю:\(\dfrac{y}{14} − \dfrac{13}{14}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{y-13}{14}\)

    Приклад\(\PageIndex{10}\): difference

    Знайдіть різницю:\(− \dfrac{10}{x} − \dfrac{4}{x}\).

    Рішення

    Пам'ятайте, дріб\(− \dfrac{10}{x}\) можна записати як\(\dfrac{−10}{x}\).

    Відніміть чисельники. \(\dfrac{-10 - 4}{x}\)
    Спростити. \(\dfrac{-14}{x}\)
    Перепишіть з негативним знаком перед дрібом. \(- \dfrac{14}{x}\)
    Вправа\(\PageIndex{19}\)

    Знайдіть різницю:\(− \dfrac{9}{x} − \dfrac{7}{x}\).

    Відповідь

    \(-\dfrac{16}{x}\)

    Вправа\(\PageIndex{20}\)

    Знайдіть різницю:\(− \dfrac{17}{a} − \dfrac{5}{a}\).

    Відповідь

    \(-\dfrac{22}{a}\)

    Тепер давайте зробимо приклад, який передбачає як додавання, так і віднімання.

    Приклад\(\PageIndex{11}\): simplify

    Спростити:\(\dfrac{3}{8} + \left(- \dfrac{5}{8}\right) − \dfrac{1}{8}\).

    Рішення

    Об'єднайте чисельники над спільним знаменником. \(\dfrac{3 + (-5) - 1}{8}\)
    Спростити чисельник, працюючи зліва направо. \(\dfrac{-2 - 1}{8}\)
    Відніміть терміни в чисельнику. \(\dfrac{-3}{8}\)
    Перепишіть з негативним знаком перед дрібом. \(- \dfrac{3}{8}\)
    Вправа\(\PageIndex{21}\)

    Спростити:\(\dfrac{2}{5} + \left(− \dfrac{4}{5}\right) − \dfrac{3}{5}\).

    Відповідь

    \(-1\)

    Вправа\(\PageIndex{22}\)

    Спростити:\(\dfrac{5}{9} + \left(− \dfrac{4}{9}\right) − \dfrac{7}{9}\).

    Відповідь

    \(-\dfrac{2}{3}\)

    Ключові поняття

    • Додавання дробу
      • Якщо\(a,b,\),і\(c\) числа де\(c\neq 0\), то\(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c}\)
      • Щоб додати дроби, додайте чисельники і помістіть суму над спільним знаменником.
    • Віднімання дробу
      • Якщо\(a,b,\),і\(c\) числа де\(c\neq 0\), то\(\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b}{c}\)
      • Для віднімання дробів відніміть чисельники і помістіть різницю над загальним знаменником.

    Практика робить досконалим

    Додавання дробу моделі

    У наступних вправах використовуйте модель для додавання дробів. Покажіть діаграму для ілюстрації вашої моделі.

    1. \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5}\)
    2. \(\dfrac{3}{10} + \dfrac{4}{10}\)
    3. \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{6}\)
    4. \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{3}{8}\)

    Додавання дробів із загальним знаменником

    У наступних вправах знайдіть кожну суму.

    1. \(\dfrac{4}{9} + \dfrac{1}{9}\)
    2. \(\dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{9}\)
    3. \(\dfrac{6}{13} + \dfrac{7}{13}\)
    4. \(\dfrac{9}{15} + \dfrac{7}{15}\)
    5. \(\dfrac{x}{4} + \dfrac{3}{4}\)
    6. \(\dfrac{y}{3} + \dfrac{2}{3}\)
    7. \(\dfrac{7}{p} + \dfrac{9}{p}\)
    8. \(\dfrac{8}{q} + \dfrac{6}{q}\)
    9. \(\dfrac{8b}{9} + \dfrac{3b}{9}\)
    10. \(\dfrac{5a}{7} + \dfrac{4a}{7}\)
    11. \(\dfrac{-12y}{8} + \dfrac{3y}{8}\)
    12. \(\dfrac{-11x}{5} + \dfrac{7x}{5}\)
    13. \(− \dfrac{1}{8} + \left(− \dfrac{3}{8}\right)\)
    14. \(− \dfrac{1}{8} + \left(− \dfrac{5}{8}\right)\)
    15. \(− \dfrac{3}{16} + \left(− \dfrac{7}{16}\right)\)
    16. \(− \dfrac{5}{16} + \left(− \dfrac{9}{16}\right)\)
    17. \(− \dfrac{8}{17} + \dfrac{15}{17}\)
    18. \(− \dfrac{9}{19} + \dfrac{17}{19}\)
    19. \(− \dfrac{6}{13} + \left(− \dfrac{10}{13}\right) + \left(- \dfrac{12}{13}\right)\)
    20. \(− \dfrac{5}{12} + \left(− \dfrac{7}{12}\right) + \left(- \dfrac{11}{12}\right)\)

    Моделі віднімання дробу

    У наступних вправах використовуйте модель для віднімання дробів. Покажіть діаграму для ілюстрації вашої моделі.

    1. \(\dfrac{5}{8} − \dfrac{2}{8}\)
    2. \(\dfrac{5}{6} − \dfrac{2}{6}\)

    Віднімання дробів із загальним знаменником

    У наступних вправах знайдіть різницю.

    1. \(\dfrac{4}{5} − \dfrac{1}{5}\)
    2. \(\dfrac{4}{5} − \dfrac{3}{5}\)
    3. \(\dfrac{11}{15} − \dfrac{7}{15}\)
    4. \(\dfrac{9}{13} − \dfrac{4}{13}\)
    5. \(\dfrac{11}{12} − \dfrac{5}{12}\)
    6. \(\dfrac{7}{12} − \dfrac{5}{12}\)
    7. \(\dfrac{4}{21} − \dfrac{19}{21}\)
    8. \(- \dfrac{8}{9} − \dfrac{16}{9}\)
    9. \(\dfrac{y}{17} − \dfrac{9}{17}\)
    10. \(\dfrac{x}{19} − \dfrac{8}{19}\)
    11. \(\dfrac{5y}{8} − \dfrac{7}{8}\)
    12. \(\dfrac{11z}{13} − \dfrac{8}{13}\)
    13. \(- \dfrac{8}{d} − \dfrac{3}{d}\)
    14. \(- \dfrac{7}{c} − \dfrac{7}{c}\)
    15. \(- \dfrac{23}{u} − \dfrac{15}{u}\)
    16. \(- \dfrac{29}{v} − \dfrac{26}{v}\)
    17. \(- \dfrac{6c}{7} − \dfrac{5c}{7}\)
    18. \(- \dfrac{12d}{11} − \dfrac{9d}{11}\)
    19. \(\dfrac{-4r}{13} − \dfrac{5r}{13}\)
    20. \(\dfrac{-7s}{3} − \dfrac{7s}{3}\)
    21. \(- \dfrac{3}{5} − \left(- \dfrac{4}{5}\right)\)
    22. \(- \dfrac{3}{7} − \left(- \dfrac{5}{7}\right)\)
    23. \(- \dfrac{7}{9} − \left(- \dfrac{5}{9}\right)\)
    24. \(- \dfrac{8}{11} − \left(- \dfrac{5}{11}\right)\)

    Змішана практика

    У наступних вправах виконайте зазначену операцію і напишіть свої відповіді в спрощеному вигляді.

    1. \(− \dfrac{5}{18} \cdot \dfrac{9}{10}\)
    2. \(− \dfrac{3}{14} \cdot \dfrac{7}{12}\)
    3. \(\dfrac{n}{5} − \dfrac{4}{5}\)
    4. \(\dfrac{6}{11} − \dfrac{s}{11}\)
    5. \(- \dfrac{7}{24} − \dfrac{2}{24}\)
    6. \(- \dfrac{5}{18} − \dfrac{1}{18}\)
    7. \(\dfrac{8}{15} \div \dfrac{12}{5}\)
    8. \(\dfrac{7}{12} \div \dfrac{9}{28}\)

    Щоденна математика

    1. Trail Mix Jacob змішує разом горіхи та родзинки, щоб зробити слід мікс. У\(\dfrac{6}{10}\) нього є півкіло горіхів і\(\dfrac{3}{10}\) півкіло родзинок. Скільки слід суміші він може зробити?
    2. Випічка\(\dfrac{5}{8}\) Джанет потребує чашки борошна для рецепта, який вона робить. У неї є\(\dfrac{3}{8}\) лише чашка борошна і попросить позичити решту у сусіднього сусіда. Скільки борошна їй доводиться позичити?

    Письмові вправи

    1. Грег скинув свій корпус свердел і три біти випали. Корпус має прорізи для свердел, а прорізи розташовані в порядку від найменших до найбільших. Грегу потрібно покласти біти, які випали назад в корпусі, в порожні прорізи. Куди йдуть три біти? Поясніть, як ви знаєте.

    Біти в разі:\(\dfrac{1}{16}, \dfrac{1}{8}\), ___, ___,\(\dfrac{5}{16}, \dfrac{3}{8}\), ___,\(\dfrac{1}{2}, \dfrac{9}{16}, \dfrac{5}{8}\).

    Біти, які випали:\(\dfrac{7}{16}, \dfrac{3}{16}, \dfrac{1}{4}\).

    1. Після вечірки у Лупе є\(\dfrac{5}{12}\) сирна піца,\(\dfrac{4}{12}\) піца\(\dfrac{4}{12}\) пепероні та вегетаріанська піца. Чи помістяться всі скибочки в 1 коробку для піци? Поясніть свої міркування.

    Самостійна перевірка

    (а) Після виконання вправ використовуйте цей контрольний список, щоб оцінити своє володіння цілями цього розділу.

    (b) За шкалою 1—10, як би ви оцінили своє володіння цим розділом у світлі ваших відповідей на контрольний список? Як ви можете це покращити?

    Дописувачі та авторства