Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.6: Множення та ділення мішаних чисел та складних дробів (частина 2)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57836

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Спрощення виразів за допомогою смужки дробу

    Куди йде негативний знак в дробі? Зазвичай негативний знак ставиться перед дробом, але іноді ви побачите дріб з негативним чисельником або знаменником. Пам'ятайте, що дроби являють собою поділ. \(− \dfrac{1}{3}\)Дріб може бути результатом ділення\(\dfrac{−1}{3}\), негативний на позитивний, або ділення\(\dfrac{1}{−3}\), позитивний на негативний. Коли чисельник і знаменник мають різні знаки, частка негативна.

    \[\dfrac{-1}{3} = - \dfrac{1}{3} \quad \dfrac{negative}{positive} = negative \quad \dfrac{1}{-3} = - \dfrac{1}{3} \quad \dfrac{positive}{negative} = negative \tag{4.3.46} \nonumber \]

    Якщо і чисельник, і знаменник негативні, то сам дріб позитивний, тому що ми ділимо негатив на негативний.

    \[\dfrac{-1}{-3} = \dfrac{1}{3} \qquad \dfrac{negative}{negative} = positive \tag{4.3.47} \nonumber \]

    Розміщення негативного знака у дробі

    Для будь-яких позитивних чисел\(a\) і\(b\),

    \[\dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} = - \dfrac{a}{b} \]

    Приклад\(\PageIndex{11}\): equivalent fractions

    Які з наступних дробів еквівалентні\(\dfrac{7}{−8}\)?

    \[\dfrac{-7}{-8}, \dfrac{-7}{8}, \dfrac{7}{8}, - \dfrac{7}{8} \nonumber \]

    Рішення

    Коефіцієнт позитивного і негативного є негативним, так і\(\dfrac{7}{−8}\) негативним. З перерахованих дробів,\(\dfrac{−7}{8}\) а також\(− \dfrac{7}{8}\) є негативними.

    Вправа\(\PageIndex{21}\)

    Які з наступних дробів еквівалентні\(\dfrac{-3}{5}\)?

    \[\dfrac{-3}{-5}, \dfrac{3}{5}, - \dfrac{3}{5}, \dfrac{3}{-5} \nonumber \]

    Відповідь

    \(-\dfrac{3}{5}, \dfrac{3}{-5}\)

    Вправа\(\PageIndex{22}\)

    Які з наступних дробів еквівалентні\(- \dfrac{2}{7}\)?

    \[\dfrac{-2}{-7}, \dfrac{-2}{7}, \dfrac{2}{7}, \dfrac{2}{-7} \nonumber \]

    Відповідь

    \(\dfrac{-2}{7}, \dfrac{2}{-7}\)

    Дробні смуги виступають як угруповання символів. Вирази вище і під рядком дробу слід розглядати так, як якщо б вони були в дужках. Наприклад,\(\dfrac{4 + 8}{5 − 3}\) засоби\((4 + 8) ÷ (5 − 3)\). Порядок операцій говорить нам, щоб спочатку спростити чисельник і знаменник - як якщо б були дужки - перш ніж ми ділимо.

    Ми додамо дробові смуги до нашого набору символів групування з Використовувати мову алгебри, щоб мати більш повний набір тут.

    Угруповання символів

    Будуть показані дужки, дужки, фігурні дужки, знак абсолютного значення та рядок дробу.

    ЯК: СПРОСТИТИ ВИРАЗ ЗА ДОПОМОГОЮ РЯДКА ДРОБУ

    Крок 1. Спростити чисельник.

    Крок 2. Спростити знаменник.

    Крок 3. Спростити дріб.

    Приклад\(\PageIndex{12}\):

    Спростити:\(\dfrac{4 + 8}{5 − 3}\).

    Рішення

    Спростити вираз в чисельнику. \(\dfrac{12}{5 - 3}\)
    Спростити вираз в знаменнику. \(\dfrac{12}{2}\)
    Спростити дріб. \(6\)
    Вправа\(\PageIndex{23}\)

    Спростити:\(\dfrac{4 + 6}{11 − 2}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{10}{9}\)

    Вправа\(\PageIndex{24}\)

    Спростити:\(\dfrac{3 + 5}{18− 2}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{1}{2}\)

    Приклад\(\PageIndex{13}\):

    Спростити:\(\dfrac{4 − 2(3)}{2^{2} + 2}\).

    Рішення

    Використовуйте порядок операцій. Помножте на чисельник і використовуйте показник показника в знаменнику. \(\dfrac{4 - 6}{4 + 2}\)
    Спростити чисельник і знаменник. \(\dfrac{-2}{6}\)
    Спростити дріб. \(- \dfrac{1}{3}\)
    Вправа\(\PageIndex{25}\)

    Спростити:\(\dfrac{6 − 3(5)}{3^{2} + 3}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{-3}{4}\)

    Вправа\(\PageIndex{26}\)

    Спростити:\(\dfrac{4 − 4(6)}{3^{3} + 3}\).

    Відповідь

    \(-\dfrac{2}{3}\)

    Приклад\(\PageIndex{14}\): simplify

    Спростити:\(\dfrac{(8 − 4)^{2}}{8^{2} − 4^{2}}\).

    Рішення

    Використовуйте порядок операцій (спочатку дужки, потім експоненти). \(\dfrac{(4)^{2}}{64 - 16}\)
    Спростити чисельник і знаменник. \(\dfrac{16}{48}\)
    Спростити дріб. \(\dfrac{1}{3}\)
    Вправа\(\PageIndex{27}\)

    Спростити:\(\dfrac{(11 − 7)^{2}}{11^{2} − 7^{2}}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{2}{9}\)

    Вправа\(\PageIndex{28}\)

    Спростити:\(\dfrac{(6 + 2)^{2}}{6^{2} − 2^{2}}\).

    Відповідь

    \(\dfrac{8}{5}\)

    Приклад\(\PageIndex{15}\): simplify

    Спростити:\(\dfrac{4(−3) + 6(−2)}{−3(2)−2}\).

    Рішення

    Помножити. \(\dfrac{-12 + (-12)}{-6 - 2}\)
    Спростити. \(\dfrac{-24}{-8} \)
    Розділити. \(3 \)
    Вправа\(\PageIndex{29}\)

    Спростити:\(\dfrac{8(−2) + 4(−3)}{−5(2) + 3}\).

    Відповідь

    \(4\)

    Вправа\(\PageIndex{30}\)

    Спростити:\(\dfrac{7(−1) + 9(−3)}{−5(3) + 2}\).

    Відповідь

    \(2\)

    Доступ до додаткових онлайн-ресурсів

    Ключові поняття

    • Помножити або ділити мішані числа.
      1. Перетворення мішаних чисел на неправильні дроби.
      2. Дотримуйтесь правил множення або ділення дробу.
      3. Спрощуйте, якщо це можливо.
    • Спростити складний дріб.
      1. Перепишіть складний дріб як задачу ділення.
      2. Дотримуйтесь правил ділення дробів.
      3. Спрощуйте, якщо це можливо.
    • Розміщення негативного знака в дробі.
      • Для будь-яких позитивних чисел\(a\) і\(b\),\(\dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} = -\dfrac{a}{b}\).
    • Спростіть вираз за допомогою рядка дробу.
      1. Спростити чисельник.
      2. Спростити знаменник.
      3. Спростити дріб.

    Глосарій

    складний дріб

    Складний дріб - це дріб, в якому чисельник або знаменник містить дріб.

    Практика робить досконалим

    Множення та ділення мішаних чисел

    У наступних вправах множимо і пишемо відповідь в спрощеному вигляді.

    1. \(4 \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{7}{10}\)
    2. \(2 \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{6}{7}\)
    3. \(\dfrac{15}{22} \cdot 3 \dfrac{3}{5}\)
    4. \(\dfrac{25}{36} \cdot 6 \dfrac{3}{10}\)
    5. \(4 \dfrac{2}{3} (−1 \dfrac{1}{8})\)
    6. \(2 \dfrac{2}{5} (−2 \dfrac{2}{9})\)
    7. \(−4 \dfrac{4}{9} \cdot 5 \dfrac{13}{16}\)
    8. \(−1 \dfrac{7}{20} \cdot 2 \dfrac{11}{12}\)

    У наступних вправах розділіть, і напишіть свою відповідь в спрощеному вигляді.

    1. \(5 \dfrac{1}{3}\)÷ 4
    2. \(13 \dfrac{1}{2}\)÷ 9
    3. −12 ÷\(3 \dfrac{3}{11}\)
    4. −7 ÷\(5 \dfrac{1}{4}\)
    5. \(6 \dfrac{3}{8} \div 2 \dfrac{1}{8}\)
    6. \(2 \dfrac{1}{5} \div 1 \dfrac{1}{10}\)
    7. \(−9 \dfrac{3}{5} \div (−1 \dfrac{3}{5})\)
    8. \(−18 \dfrac{3}{4} \div (−3 \dfrac{3}{4})\)

    Перекладіть фрази на вирази з дробами

    У наступних вправах перекладіть кожну англійську фразу в алгебраїчний вираз.

    1. частка 5u і 11
    2. частка 7v і 13
    3. частка p і q
    4. частка a і b
    5. частка r та сума s та 10
    6. частка A і різниця 3 і B

    Спрощення складних дробів

    У наступних вправах спростіть складну фракцію.

    1. \(\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{8}{9}}\)
    2. \(\dfrac{\dfrac{4}{5}}{\dfrac{8}{15}}\)
    3. \(\dfrac{− \dfrac{8}{21}}{\dfrac{12}{35}}\)
    4. \(\dfrac{− \dfrac{9}{16}}{\dfrac{33}{40}}\)
    5. \(\dfrac{− \dfrac{4}{5}}{2}\)
    6. \(\dfrac{− \dfrac{9}{10}}{3}\)
    7. \(\dfrac{\dfrac{2}{5}}{8}\)
    8. \(\dfrac{\dfrac{5}{3}}{10}\)
    9. \(\dfrac{\dfrac{m}{3}}{\dfrac{n}{2}}\)
    10. \(\dfrac{\dfrac{r}{5}}{\dfrac{s}{3}}\)
    11. \(\dfrac{− \dfrac{x}{6}}{− \dfrac{8}{9}}\)
    12. \(\dfrac{− \dfrac{3}{8}}{− \dfrac{y}{12}}\)
    13. \(\dfrac{2 \dfrac{4}{5}}{\dfrac{1}{10}}\)
    14. \(\dfrac{4 \dfrac{2}{3}}{\dfrac{1}{6}}\)
    15. \(\dfrac{\dfrac{7}{9}}{−2 \dfrac{4}{5}}\)
    16. \(\dfrac{\dfrac{3}{8}}{−6 \dfrac{3}{4}}\)

    Спрощення виразів за допомогою смужки дробу

    У наступних вправах визначте еквівалентні дроби.

    1. Які з наступних дробів еквівалентні\(\dfrac{5}{−11}\)? $\ dfrac {−5} {−11},\ dfrac {−5} {1},\ dfrac {5} {1}, −\ dfrac {5} {1} $$
    2. Які з наступних дробів еквівалентні\(\dfrac{−4}{9}\)? $\ dfrac {−4} {−9},\ dfrac {−4} {9},\ dfrac {4} {9}, −\ dfrac {4} {9} $$
    3. Які з наступних дробів еквівалентні\(− \dfrac{11}{3}\)? $\ dfrac {−11} {3},\ dfrac {1} {3},\ dfrac {−11} {−3},\ dfrac {1} {−3} $$
    4. Які з наступних дробів еквівалентні\(− \dfrac{13}{6}\)? $\ dfrac {13} {6},\ dfrac {13} {−6},\ dfrac {−13} {−6},\ dfrac {−13} {6} $$

    У наступних вправах спростити.

    1. \(\dfrac{4 + 11}{8}\)
    2. \(\dfrac{9 + 3}{7}\)
    3. \(\dfrac{22 + 3}{10}\)
    4. \(\dfrac{19 − 4}{6}\)
    5. \(\dfrac{48}{24 − 15}\)
    6. \(\dfrac{46}{4 + 4}\)
    7. \(\dfrac{−6 + 6}{8 + 4}\)
    8. \(\dfrac{−6 + 3}{17 − 8}\)
    9. \(\dfrac{22 − 14}{19 − 13}\)
    10. \(\dfrac{15 + 9}{18 + 12}\)
    11. \(\dfrac{5 \cdot 8}{−10}\)
    12. \(\dfrac{3 \cdot 4}{−24}\)
    13. \(\dfrac{4 \cdot 3}{6 \cdot 6}\)
    14. \(\dfrac{6 \cdot 6}{9 \cdot 2}\)
    15. \(\dfrac{4^{2} − 1}{25}\)
    16. \(\dfrac{7^{2} + 1}{60}\)
    17. \(\dfrac{8 \cdot 3 + 2 \cdot 9}{14 + 3}\)
    18. \(\dfrac{9 \cdot 6 − 4 \cdot 7}{22 + 3}\)
    19. \(\dfrac{15 \cdot 5 − 5^{2}}{2 \cdot 10}\)
    20. \(\dfrac{12 \cdot 9 − 3^{2}}{3 \cdot 18}\)
    21. \(\dfrac{5 \cdot 6 − 3 \cdot 4}{4 \cdot 5 − 2 \cdot 3}\)
    22. \(\dfrac{8 \cdot 9 − 7 \cdot 6}{5 \cdot 6 − 9 \cdot 2}\)
    23. \(\dfrac{5^{2} − 3^{2}}{3 − 5}\)
    24. \(\dfrac{6^{2} − 4^{2}}{4 − 6}\)
    25. \(\dfrac{2 + 4(3)}{−3 − 2^{2}}\)
    26. \(\dfrac{7 + 3(5)}{−2 − 3^{2}}\)
    27. \(\dfrac{7 \cdot 4 − 2(8 − 5)}{9 \cdot 3 − 3 \cdot 5}\)
    28. \(\dfrac{9 \cdot 7 − 3(12 − 8)}{8 \cdot 7 − 6 \cdot 6}\)
    29. \(\dfrac{9(8 − 2)−3(15 − 7)}{6(7 − 1)−3(17 − 9)}\)
    30. \(\dfrac{8(9 − 2)−4(14 − 9)}{7(8 − 3)−3(16 − 9)}\)

    Щоденна математика

    1. Випічка. Рецепт печива з шоколадною стружкою вимагає\(2 \dfrac{1}{4}\) чашок борошна. Graciela хоче подвоїти рецепт.
      1. Скільки борошна знадобиться Graciela? Покажіть свій розрахунок. Запишіть свій результат як неправильний дріб і як змішане число.
      2. Мірні чашки зазвичай йдуть в комплектах з чашками для\(\dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2}\), і 1 чашкою. Намалюйте діаграму, щоб показати два різних способи, якими Graciela могла виміряти борошно, необхідне для подвоєння рецепту.
    2. Випічка Стенд на повітовому ярмарку продає помадку за фунт. Їх нагородами «Передозування шоколаду» помадка містить\(2 \dfrac{2}{3}\) чашки шоколадної стружки на фунт.
      1. Скільки чашок шоколадної стружки в півфунта помадки?
      2. Власники будки роблять помадку в 10 -фунтових партій. Скільки шоколадних чіпсів їм потрібно, щоб зробити 10-фунтову партію? Запишіть свої результати як неправильні дроби і як мішані числа.

    Письмові вправи

    1. Поясніть, як знайти зворотне змішаного числа.
    2. Поясніть, як множити мішані числа.
    3. Ренді думає, що\(3 \dfrac{1}{2} \cdot 5 \dfrac{1}{4}\) це так\(15 \dfrac{1}{8}\). Поясніть, що не так з мисленням Ренді.
    4. Поясніть чому\(− \dfrac{1}{2}, \dfrac{−1}{2}\), і\(\dfrac{1}{−2}\) рівноцінні.

    Самостійна перевірка

    (а) Після виконання вправ використовуйте цей контрольний список, щоб оцінити своє володіння цілями цього розділу.

    (б) Що цей контрольний список розповідає вам про ваше володіння цим розділом? Які кроки ви зробите для вдосконалення?

    Автори та атрибуція