Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.9: Розв'язувати рівняння за допомогою цілих чисел; Властивість поділу рівності (частина 1)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57718

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання
    • Визначте, чи є ціле число розв'язком рівняння
    • Розв'язуйте рівняння з цілими числами за допомогою властивостей додавання та віднімання рівності
    • Модель поділу власності рівності
    • Розв'язуйте рівняння за допомогою властивості поділу рівності
    • Перевести на рівняння і вирішити
    будьте готові!

    Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

    1. Оцініть\(x + 4\), коли\(x = −4\). Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 3.2.9.
    2. Вирішити:\(y − 6 = 10\). Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.3.6.
    3. Перевести в алгебраїчний вираз\(5\) менше, ніж\(x\). Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте таблицю 1.3.1.

    Визначте, чи є число розв'язком рівняння

    У Вирішенні рівнянь з властивостями віднімання та додавання рівності ми побачили, що розв'язком рівняння є значенням змінної, яка робить істинний твердження при заміні в це рівняння. У цьому розділі ми знайшли рішення, які були цілими числами. Тепер, коли ми працювали з цілими числами, ми знайдемо цілі рішення рівнянь.

    Кроки, які ми робимо, щоб визначити, чи є число розв'язком рівняння, однакові, чи є розв'язок цілим числом або цілим числом.

    ЯК: ВИЗНАЧИТИ, ЧИ Є ЧИСЛО РОЗВ'ЯЗАННЯМ РІВНЯННЯ.

    Крок 1. Підставляємо число для змінної в рівняння.

    Крок 2. Спростіть вирази з обох сторін рівняння.

    Крок 3. Визначте, чи істинно отримане рівняння.

    • Якщо це правда, число - це рішення.
    • Якщо це не відповідає дійсності, число не є рішенням.
    Приклад\(\PageIndex{1}\): determine the solution

    Визначте, чи є кожне з наведених нижче рішень\(2x − 5 = −13\):

    1. \(x = 4\)
    2. \(x = −4\)
    3. \(x = −9\)

    Рішення

    (а) Замініть 4 на x у рівнянні, щоб визначити, чи є воно істинним. 2х− 5 = −13
    \(\textcolor{red}{4}\)Замінюємо x. \(2(\textcolor{red}{4}) - 5 \stackrel{?}{=} -13\)
    Помножити. \(8 - 5 \stackrel{?}{=} -13\)
    Відніміть. \(3 \neq -13\)

    Так як\(x = 4\) не призводить до істинного рівняння, не\(4\) є рішенням рівняння.

    (b) Замініть -4 на x у рівнянні, щоб визначити, чи є воно істинним. 2х− 5 = −13
    \(\textcolor{red}{-4}\)Замінюємо x. \(2(\textcolor{red}{-4}) - 5 \stackrel{?}{=} -13\)
    Помножити. \(-8 - 5 \stackrel{?}{=} -13\)
    Відніміть. \(-13 = -13 \; \checkmark\)

    Оскільки в\(x = −4\) результаті виходить істинне рівняння,\(−4\) є розв'язком рівняння.

    (b) Замініть -9 для x у рівнянні, щоб визначити, чи є воно істинним. 2х− 5 = −13
    \(\textcolor{red}{-9}\)Замінюємо x. \(2(\textcolor{red}{-9}) - 5 \stackrel{?}{=} -13\)
    Помножити. \(-18 - 5 \stackrel{?}{=} -13\)
    Відніміть. \(-23 \neq -13\)

    Так як\(x = −9\) не призводить до істинного рівняння, не\(−9\) є рішенням рівняння.

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Визначте, чи є кожне з наведених нижче рішень\(2x − 8 = −14\):

    1. \(x = −11\)
    2. \(x = 11\)
    3. \(x = −3\)
    Відповідь на

    ні

    Відповідь б

    ні

    Відповідь c

    так

    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    Визначте, чи є кожне з наведених нижче рішень\(2y + 3 = −11\):

    1. \(y = 4\)
    2. \(y = −4\)
    3. \(y = −7\)
    Відповідь на

    ні

    Відповідь б

    ні

    Відповідь c

    так

    Розв'язуйте рівняння з цілими числами за допомогою властивостей додавання та віднімання рівності

    У розв'язанні рівнянь з властивостями віднімання та додавання рівності ми розв'язували рівняння, подібні до двох показаних тут, використовуючи властивості віднімання та додавання рівності. Тепер ми можемо використовувати їх знову з цілими числами.

    \[\begin{split} x + 4 & = 12 \qquad \qquad \qquad y - 5 = 9 \\ x + 4 \textcolor{red}{-4} & = 12 \textcolor{red}{-4} \qquad \; \; y - 5 \textcolor{red}{+5} = 9 \textcolor{red}{+5} \\ x & = 8 \qquad \qquad \qquad \qquad \; y = 14 \end{split} \nonumber \]

    Коли ви додаєте або віднімаєте однакову величину з обох сторін рівняння, ви все одно маєте рівність.

    Визначення: Властивості рівностей
    Віднімання властивості рівності Додаткова властивість рівності
    Для будь-яких чисел a, b, c, якщо a = b, то a − c = b − c. Для будь-яких чисел a, b, c, якщо a = b то a + c = b + c.
    Приклад\(\PageIndex{2}\):

    Вирішити:\(y + 9 = 5\).

    Рішення

    Відніміть 9 з кожного боку, щоб скасувати додавання. \(y + 9 \textcolor{red}{-9} = 5 \textcolor{red}{-9}\)
    Спростити. \(y = -4\)

    Перевірте результат, підставивши\(−4\) в вихідне рівняння.

    Замінюємо −4 для y \(-4 + 9 \stackrel{?}{=} 5\)
      \(5 = 5 \; \checkmark\)

    Оскільки\(y = −4\) робить\(y + 9 = 5\) правдиве твердження, ми знайшли рішення цього рівняння

    Вправа\(\PageIndex{3}\)

    Вирішити:\(y + 11 = 7\)

    Відповідь

    \(-4\)

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Вирішити:\(y + 15 = −4\)

    Відповідь

    \(-19\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\): solve

    Вирішити:\(a − 6 = −8\)

    Рішення

    Додайте 6 до кожної сторони, щоб скасувати віднімання. \(a - 6 \textcolor{red}{+6} = -8 \textcolor{red}{+6}\)
    Спростити. \(a = -2\)
    Перевірте результат, підставивши −2 у вихідне рівняння. \(a - 6 = -8\)
    Замініть −2 для a. \(-2 - 6 \stackrel{?}{=} -8\)
      \(-8 = -8 \; \checkmark\)

    Рішення\(a − 6 = −8\) є\(−2\). Оскільки\(a = −2\) робить\(a − 6 = −8\) правдиве твердження, ми знайшли рішення цього рівняння.

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Вирішити:\(a − 2 = −8\)

    Відповідь

    \(-6\)

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Вирішити:\(n − 4 = −8\)

    Відповідь

    \(-4\)

    Модель поділу власності рівності

    Всі рівняння, які ми розв'язали до цих пір, мали форму\(x + a = b\) або\(x − a = b\). Ми змогли ізолювати змінну шляхом додавання або віднімання постійного члена. Тепер ми подивимося, як вирішувати рівняння, які передбачають поділ. Ми змоделюємо рівняння з конвертами та лічильниками на малюнку\(\PageIndex{1}\).

    Це зображення має дві колонки. У першій колонці знаходяться два однакових конверта. У другій колонці є шість синіх кіл, розміщених випадково.

    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Тут є два однакових конверта, які містять однакову кількість лічильників. Пам'ятайте, ліва частина робочого простору повинна дорівнювати правій стороні, а ось лічильники з лівого боку «заховані» в конвертах. Так скільки лічильників в кожному конверті?

    Щоб визначити кількість, розділіть лічильники з правого боку на\(2\) групи однакового розміру. Так\(6\) лічильники розділені на\(2\) групи означає, що в кожній групі повинні бути\(3\) лічильники (так як\(6 ÷ 2 = 3\)).

    Які рівняння моделює ситуацію, показану на малюнку\(\PageIndex{2}\)? Є два конверти, і кожен містить\(x\) лічильники. Разом два конверти повинні містити загальну кількість\(6\) лічильників. Отже, рівняння, яке моделює ситуацію\(2x = 6\).

    Це зображення має дві колонки. У першій колонці знаходяться два однакових конверта. У другій колонці є шість синіх кіл, розміщених випадково. Під малюнком два рази х дорівнює 6.

    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Ми можемо розділити обидві сторони рівняння\(2\), як ми зробили з конвертами та лічильниками.

    \[\begin{split} \dfrac{2x}{\textcolor{red}{2}} & = \dfrac{6}{\textcolor{red}{2}} \\ x & = 3 \end{split} \nonumber \]

    Ми виявили, що кожен конверт містить\(3\) лічильники. Чи перевіряє це? Ми знаємо\(2 • 3 = 6\), так що це працює. Три лічильники в кожному з двох конвертів робить рівних шести. На малюнку\(\PageIndex{3}\) показаний інший приклад.

    Це зображення має дві колонки. У першій колонці знаходяться три конверта. У другій колонці чотири ряди з трьох синіх кіл. Під зображенням рівняння 3x дорівнює 12.

    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Тепер у нас є\(3\) однакові конверти і\(12\) прилавки. Скільки лічильників в кожному конверті? Доводиться розділити\(12\) лічильники на\(3\) групи. Так як\(12 ÷ 3 = 4\), в кожному конверті повинні бути\(4\) лічильники. Див\(\PageIndex{4}\). Малюнок.

    Це зображення має дві колонки. У першій колонці знаходяться чотири конверта. У другій колонці знаходяться дванадцять синіх кіл.

    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    Рівняння, яке моделює ситуацію, є\(3x = 12\). Ми можемо розділити обидві сторони рівняння на\(3\).

    \[\begin{split} \dfrac{3x}{\textcolor{red}{3}} & = \dfrac{12}{\textcolor{red}{3}} \\ x & = 4 \end{split} \nonumber \]

    Чи перевіряє це? Це робить тому, що\(3 • 4 = 12\).

    Приклад\(\PageIndex{4}\): write an equation

    Напишіть рівняння, змодельоване конвертами та лічильниками, а потім вирішіть його.

    Це зображення має дві колонки. У першій колонці знаходяться чотири конверта. У другій колонці є 8 синіх кіл.

    Рішення

    Ліворуч є\(4\) конверти, або\(4\) невідомі значення, які відповідають\(8\) лічильникам праворуч. Назвемо невідоме кількість в конвертах\(x\).

    Напишіть рівняння. \(4x = 8\)
    Розділіть обидві сторони на 4. \(\dfrac{4x}{\textcolor{red}{4}} = \dfrac{8}{\textcolor{red}{4}}\)
    Спростити. \(x = 2\)

    У кожному конверті є\(2\) лічильники.

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Напишіть рівняння, змодельоване конвертами та лічильниками. Тоді вирішуйте її.

    Це зображення має дві колонки. У першій колонці знаходяться чотири конверта. У другій колонці 12 синіх кіл.

    Відповідь

    \(4x=12\);\(x=3\)

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Напишіть рівняння, змодельоване конвертами та лічильниками. Тоді вирішуйте її.

    Це зображення має дві колонки. У першій колонці знаходяться три конверта. У другій колонці шість синіх кіл.

    Відповідь

    \(3x=6\);\(x=2\)

    Розв'язуйте рівняння за допомогою властивості поділу рівності

    Попередні приклади призводять до поділу власності рівності. Коли ви ділите обидві сторони рівняння на будь-яке ненульове число, ви все одно маєте рівність.

    Визначення: Поділ власності рівності

    Для будь-яких чисел\(a, b, c\), і\(c ≠ 0\),

    \[\text{If } a = b \text{ then } \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{c} \ldotp\]

    Приклад\(\PageIndex{5}\): solve

    Вирішити:\(7x = −49\).

    Рішення

    Щоб ізолювати\(x\), нам потрібно скасувати множення.

    Розділіть кожну сторону на 7. \(\dfrac{7x}{\textcolor{red}{7}} = \dfrac{-49}{\textcolor{red}{7}}\)
    Спростити \(x = -7\)

    Перевірте розчин.

    Замініть −7 для x. \(7(-7) \stackrel{?}{=} -49\)
      \(-49 = -49 \; \checkmark\)

    Отже,\(−7\) це рішення рівняння.

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    Вирішити:\(8a = 56\)

    Відповідь

    \(7\)

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    Вирішити:\(11n = 121\)

    Відповідь

    \(11\)

    Приклад\(\PageIndex{6}\): solve

    Вирішити:\(−3y = 63\).

    Рішення

    Щоб ізолювати\(y\), нам потрібно скасувати множення.

    Розділіть кожну сторону на −3. \(\dfrac{-3y}{\textcolor{red}{-3}} = \dfrac{63}{\textcolor{red}{-3}}\)
    Спростити. \(y = -21\)

    Перевірте розчин.

    Замініть −21 для y. \(-3(-21) \stackrel{?}{=} 63\)
      \(63 = 63 \; \checkmark\)

    Так як це вірне твердження,\(y = −21\) є рішення рівняння.

    Вправа\(\PageIndex{11}\)

    Вирішити:\(−8p = 96\)

    Відповідь

    \(-12\)

    Вправа\(\PageIndex{12}\)

    Вирішити:\(−12m = 108\)

    Відповідь

    \(-9\)

    Автори та атрибуція