3.7: Множення та ділення цілих чисел (частина 1)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57735

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Множення цілих чисел
Ділити цілі числа
Спрощення виразів цілими числами
Оцінити змінні вирази цілими числами
Перекладіть словосполучення на алгебраїчні вирази

будьте готові!

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

Переведіть частку$20$ і$13$ в алгебраїчний вираз. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 1.5.12.
Додати:$−5 + (−5) + (−5)$. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 3.2.8.
Оцініть$n + 4$, коли$n = −7$. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 3.2.10.

Множення цілих чисел

Оскільки множення є математичним скороченням для повторного додавання, наша модель лічильника може бути легко застосована для показу множення цілих чисел. Давайте розглянемо цю конкретну модель, щоб побачити, які візерунки ми помічаємо. Ми будемо використовувати ті ж приклади, які ми використовували для додавання і віднімання.

Ми пам'ятаємо, що$a • b$ означає додати$a$,$b$ раз. Тут ми використовуємо модель, показану на малюнку,$\PageIndex{1}$ просто щоб допомогти нам виявити візерунок.

$Це зображення має дві колонки. Перший стовпець має 5 разів 3. Під ним стани додають 5, 3 рази. Під цим є 3 ряди з 5 синіх кіл з позначкою 15 позитивів і 5 разів 3 дорівнює 15. Другий стовпець має негативний 5 разів 3. Під ним стану додають негативні 5, 3 рази. Під цим є 3 ряди з 5 червоних кіл з позначкою 15 негативів і негативних 5 разів 3 дорівнює 15.$

Малюнок$\PageIndex{1}$

Тепер розглянемо, що означає множити$5$ на$−3$. Це означає віднімати$5$,$3$ раз. Дивлячись на віднімання як на віднімання, це означає забрати$5$,$3$ раз. Але відняти нічого, тому починаємо з додавання нейтральних пар, як показано на малюнку$\PageIndex{2}$.

$Ця цифра має 2 колонки. Перший стовпець має 5 разів негативний 3. Під ним стану забирають 5, 3 рази. Під цим йде 3 ряди по 5 червоних кіл. Стрілка вниз вказує на шість рядів чергуються кольорових кіл в рядах п'ятірок. Перший ряд включає 5 червоних кіл, потім п'ять синіх кіл, потім 5 червоних, п'ять синіх, п'ять червоних і п'ять синіх. Всі ряди синіх кіл обводимо. Необведені ряди позначаються 15 негативами. Під ярликом 5 разів негативний 3 дорівнює негативному 15. Другий стовпець має негативний 5 разів негативний 3. Під ним стани забирають негативні 5, 3 рази. Потім йде 6 рядів по 5 кіл, що чергуються за кольором. Перший ряд - 5 синіх кіл, за якими слідують 5 червоних кіл. Всі червоні ряди обводимо. Рядки, що не є колами, позначені 15 позитивними. Під міткою від'ємний 5 разів негативний 3 дорівнює 15.$

Малюнок$\PageIndex{2}$

В обох випадках ми почали з$15$ нейтральних пар. У корпусі зліва ми забрали$5$,$3$ раз і результат був$−15$. Щоб множити$(−5)(−3)$, ми забрали$−5$,$3$ раз і результат був$15$. Таким чином, ми виявили, що

5 (3) = 15	-5 (3) = -15
5 (-3) = -15	(-5) (-3) = 15

Зверніть увагу, що для множення двох знакових чисел, коли знаки однакові, твір позитивний, а коли знаки різні, твір негативний.

Визначення: Множення знакових чисел

Знак твору двох чисел залежить від їх знаків.

ті ж ознаки	Продукт
Два позитиву	Позитивні
Два негативу	Позитивні

Різні прикмети	Продукт
Позитивний • негативний	Негативний
Негативні • позитивні	Негативний

Приклад$\PageIndex{1}$:multiply

Помножте кожне з наступних дій:

$−9 • 3$
$−2(−5)$
$4(−8)$
$7 • 6$

Рішення

Множимо, відзначаючи, що знаки різні і тому товар негативний.

—9 • 3 = —27

Множимо, відзначаючи, що знаки однакові і тому товар позитивний.

—2 (-5) = 10

Множимо, відзначаючи, що знаки різні і тому товар негативний.

4 (-8) = -32

Ознаки однакові, тому продукт позитивний.

7 • 6 = 42

Вправа$\PageIndex{1}$

Помножити:

$−6 • 8$
$−4(−7)$
$9(−7)$
$5 • 12$

Відповідь на: $-48$
Відповідь б: $28$
Відповідь c: $-63$
Відповідь d: $60$

Вправа$\PageIndex{2}$

Помножити:

$−8 • 7$
$−6(−9)$
$7(−4)$
$3 • 13$

Відповідь на: $-56$
Відповідь б: $54$
Відповідь c: $-28$
Відповідь d: $39$

Коли ми множимо число на$1$, в результаті виходить одне і те ж число. Що відбувається, коли ми помножимо число на$−1$? Давайте помножимо додатне число, а потім негативне число на,$−1$ щоб побачити, що ми отримуємо.

−1 • 4	−1 (−3)
−4	3
−4 протилежне 4	3 є протилежністю −3

Кожен раз, коли ми множимо число на$−1$, отримуємо його протилежність.

Визначення: Множення на$−1$

Множення числа на$−1$ дає його протилежність.

\[-1 \cdot a = -a \]

Приклад$\PageIndex{2}$: multiply

Помножте кожне з наступних дій:

$−1 • 7$
$−1(−11)$

Рішення

Прикмети різні, тому продукт буде негативним.	−1 • 7
Зауважте, що −7 є протилежним 7.	−7

Ознаки однакові, тому продукт буде позитивним.	−1 (−11)
Зауважте, що 11 є протилежним −11.	11

Вправа$\PageIndex{3}$

Помножити.

$−1 • 9$
$−1 • (−17)$

Відповідь на: $-9$
Відповідь б: $17$

Вправа$\PageIndex{4}$

Помножити.

$−1 • 8$
$−1 • (−16)$

Відповідь на: $-8$
Відповідь б: $16$

Розділити цілі числа

Ділення - обернена операція множення. Отже,$15 ÷ 3 = 5$ тому що$5 • 3 = 15$ в словах цей вираз говорить, що$15$ можна розділити на$3$ групи$5$ кожного, тому що додавання п'ять три рази дає$15$. Якщо ми розглянемо деякі приклади множення цілих чисел, ми могли б з'ясувати правила ділення цілих чисел.

5 • 3 = 15 так 15 ÷ 3 = 5	−5 (3) = −15 так −15 ÷ 3 = −5
(−5) (−3) = 15 так 15 ÷ (−3) = −5	5 (−3) = −15 так −15 ÷ −3 = 5

Ділення знакових чисел слідує тим же правилам, що і множення. Коли знаки однакові, частка позитивна, а коли знаки різні, частка негативна.

Визначення: Поділ знакових чисел

Знак частки двох чисел залежить від їх знаків.

ті ж ознаки	Частка
Два позитиву	Позитивні
Два негативу	Позитивні

Різні прикмети	Частка
Позитивні та негативні	Негативний
Негативні та позитивні	Негативний

Пам'ятайте, що ви завжди можете перевірити відповідь на задачу поділу шляхом множення.

Приклад$\PageIndex{3}$: divide

Розділіть кожне з наступних дій:

$−27 ÷ 3$
$−100 ÷ (−4)$

Рішення

Розділіть, відзначаючи, що знаки різні і тому коефіцієнт негативний.

—27 ÷ 3 = —9

Розділіть, зазначивши, що знаки однакові і тому коефіцієнт позитивний.

—100 ÷ (-4) = 25

Вправа$\PageIndex{5}$

Розділити:

$−42 ÷ 6$
$−117 ÷ (−3)$

Відповідь на: $-7$
Відповідь б: $39$

Вправа$\PageIndex{6}$

Розділити:

$−63 ÷ 7$
$−115 ÷ (−5)$

Відповідь на: $-9$
Відповідь б: $23$

Так само, як ми бачили з множенням, коли ми ділимо число на$1$, результат однакове число. Що відбувається, коли ми ділимо число на$−1$? Давайте розділимо позитивне число, а потім негативне число на,$−1$ щоб побачити, що ми отримуємо.

8 ÷ (−1)	−9 ÷ (−1)
−8	9
−8 є протилежністю 8	9 є протилежністю −9

Коли ми ділимо число на,$−1$ отримуємо його протилежність.

Визначення: Поділ на$−1$

Ділення числа на$−1$ дає його протилежність.

\[a \div (-1) = -a\]

Приклад$\PageIndex{4}$: divide

Розділіть кожне з наступних дій:

$16 ÷ (−1)$
$−20 ÷ (−1)$

Рішення

Дивіденд, 16, ділиться на —1.	16 ÷ (—1)
Ділення числа на —1 дає його протилежність.	—16

Зверніть увагу, що ознаки були різними, тому результат був негативним.

Дивіденд, —20, ділиться на —1.	—20 ÷ (—1)
Ділення числа на —1 дає його протилежність.	20

Зверніть увагу, що знаки були однаковими, тому коефіцієнт був позитивним.

Вправа$\PageIndex{7}$

Розділити:

$6 ÷ (−1)$
$−36 ÷ (−1)$

Відповідь: $-6$
Відповідь б: $36$

Вправа$\PageIndex{8}$

Розділити:

$28 ÷ (−1)$
$−52 ÷ (−1)$

Відповідь: $-28$
Відповідь б: $52$

Спрощення виразів цілими числами

Тепер ми спростимо вирази, які використовують усі чотири операції - додавання, віднімання, множення та ділення - з цілими числами. Не забувайте стежити за порядком операцій.

Приклад$\PageIndex{5}$: simplify

Спростити:$7(−2) + 4(−7) − 6$.

Рішення

Використовуємо порядок операцій. Спочатку множте, а потім додайте і відніміть зліва направо.

Першим помножте.	−14 + (−28) −6
Додати.	−42 − 6
Відніміть.	−48

Вправа$\PageIndex{9}$

Спростити:$8(−3) + 5(−7)−4$

Відповідь: $-63$

Вправа$\PageIndex{10}$

Спростити:$9(−3) + 7(−8) − 1$

Відповідь: $-84$

Приклад$\PageIndex{6}$: simplify

Спростити:

$(−2)^4$
$−2^4$

Рішення

Показник підказує, скільки разів множити базу.

Показник є$4$ і база є$−2$. Піднімаємо$−2$ до четвертої влади.

Пишіть в розгорнутому вигляді.	(−2) (−2) (−2) (−2)
Помножити.	4 (−2) (−2)
Помножити.	−8 (−2)
Помножити.	16

Показник є$4$ і база є$2$. Піднімаємо$2$ на четверту владу і далі беремо протилежну.

Пишіть в розгорнутому вигляді.	− (2 • 2 • 2 • 2)
Помножити.	− (4 • 2 • 2)
Помножити.	− (8 • 2)
Помножити.	−16

Вправа$\PageIndex{11}$

Спростити:

$(−3)^4$
$−3^4$

Відповідь: $81$
Відповідь б: $-81$

Вправа$\PageIndex{12}$

Спростити:

$(−7)^2$
$−7^2$

Відповідь: $49$
Відповідь б: $-49$

Приклад$\PageIndex{7}$: simplify

Спростити:$12 − 3(9 − 12)$.

Рішення

За порядком операцій спочатку спрощуємо всередині дужок. Потім ми помножимо і нарешті віднімемо.

Спочатку відніміть дужки.	12 − 3 (−3)
Помножити.	12 − (−9)
Відніміть.	21

Вправа$\PageIndex{13}$

Спростити:$17 − 4(8 − 11)$

Відповідь: $29$

Вправа$\PageIndex{14}$

Спростити:$16 − 6(7 − 13)$

Відповідь: $52$

Приклад$\PageIndex{8}$: simplify

Спростити:$8(−9) ÷ (−2)^3$.

Рішення

Спрощуємо спочатку показник, потім множимо і ділимо.

Спрощення показника.	8 (−9) ÷ (−8)
Помножити.	−72 ÷ (−8)
Розділити.	9

Вправа$\PageIndex{15}$

Спростити:$12(−9) ÷ (−3)^3$

Відповідь: $4$

Вправа$\PageIndex{16}$

Спростити:$18(−4) ÷ (−2)^3$

Відповідь: $9$

Приклад$\PageIndex{9}$: simplify

Спростити:$−30 ÷ 2 + (−3)(−7)$.

Рішення

Спочатку помножимо і ділимо зліва направо. Потім додамо.

Розділити.	−15 + (−3) (−7)
Помножити.	−15 + 21
Додати.	6

Вправа$\PageIndex{17}$

Спростити:$−27 ÷ 3 + (−5)(−6)$

Відповідь: $21$

Вправа$\PageIndex{18}$

Спростити:$−32 ÷ 4 + (−2)(−7)$

Відповідь: $6$

Автори та авторства

Template:ContribElementaryAlgebraOpenStax

Визначення: Множення знакових чисел

Приклад\(\PageIndex{1}\):multiply

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Визначення: Множення на\(−1\)

Приклад\(\PageIndex{2}\): multiply

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Визначення: Поділ знакових чисел

Приклад\(\PageIndex{3}\): divide

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Визначення: Поділ на\(−1\)

Приклад\(\PageIndex{4}\): divide

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\): simplify

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\): simplify

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Приклад\(\PageIndex{7}\): simplify

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Приклад\(\PageIndex{8}\): simplify

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Приклад\(\PageIndex{9}\): simplify

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Вправа\(\PageIndex{18}\)