3.5: Відніміть цілі числа (частина 1)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57726

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Моделі віднімання цілих чисел
Спрощення виразів цілими числами
Оцінити змінні вирази цілими числами
Перекладіть слова-фрази на алгебраїчні вирази
Віднімання цілих чисел у додатках

будьте готові!

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

Спростити:$12 − (8−1)$. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.1.8.
Переведіть різницю$ 20$ і$−15$ в алгебраїчний вираз. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 1.3.11.
Додати:$−18 + 7$. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 3.2.6.

Модель віднімання цілих чисел

Пам'ятайте історію в останньому розділі про малюка і печиво? Діти вчаться віднімати числа через свій повсякденний досвід. Реальний досвід служить моделями для віднімання позитивних чисел, а в деяких випадках, таких як температура, для додавання негативних, а також позитивних чисел. Але важко пов'язати віднімання негативних чисел зі звичайними життєвими переживаннями. Більшість людей не мають інтуїтивного розуміння віднімання, коли задіяні негативні числа. Вчителі математики використовують кілька різних моделей для пояснення віднімання негативних чисел.

Ми продовжимо використовувати лічильники для моделювання віднімання. Пам'ятайте, що сині лічильники представляють позитивні числа, а червоні - негативні числа.

Можливо, коли ви були молодшими, ви читали,$5 − 3$ як п'ять забирають три. Коли ми використовуємо лічильники, ми можемо думати про віднімання так само.

Ми будемо моделювати чотири факти віднімання, використовуючи цифри$5$ і$3$.

\[5 − 3 \qquad −5 − (−3) \qquad −5 − 3 \qquad 5 − (−3) \nonumber \]

Приклад$\PageIndex{1}$: model

Модель:$5 − 3$.

Рішення

Тлумачити вираз.	5 − 3 означає 5 забрати 3.
Модель першого номера. Почніть з 5 позитивів.
Візьміть друге число. Так що забирайте 3 позитиви.
Знайдіть лічильники, які залишилися.

Різниця між$5$ і$3$ є$2$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Змоделюйте вираз:$6 − 4$

Відповідь

$CNX_BMath_Figure_03_03_003_img.jpg$

$2$

Вправа$\PageIndex{2}$

Змоделюйте вираз:$7 − 4$

Відповідь

$CNX_BMath_Figure_03_03_004_img.jpg$

$3$

Приклад$\PageIndex{2}$: model

Модель:$−5 − (−3)$.

Рішення

Тлумачити вираз.	−5 − (−3) означає −5 забрати −3.
Модель першого номера. Почніть з 5 негативів.
Візьміть друге число. Так що забираємо 3 негативу.
Знайдіть кількість лічильників, які залишилися.

Різниця між$−5$ і$−3$ є$−2$.

Вправа$\PageIndex{3}$

Змоделюйте вираз:$−6 − (−4)$

Відповідь

$CNX_BMath_Figure_03_03_008_img.jpg$

$-2$

Вправа$\PageIndex{4}$

Змоделюйте вираз:$−7 − (−4)$

Відповідь

$CNX_BMath_Figure_03_03_009_img.jpg$

$-3$

Зверніть увагу, що Приклад$\PageIndex{1}$ і Приклад дуже$\PageIndex{2}$ схожі.

По-перше, ми віднімали$3$ позитиви від$5$ позитивів, щоб отримати$2$ позитиви.
Потім ми віднімали$3$ негативи від$5$ негативів, щоб отримати$2$ негативи.

У кожному прикладі використовувалися лічильники тільки одного кольору, а «відняти» модель віднімання було легко застосувати.

$Ця цифра має ряд з 5 синіх кіл. Перші три обводимо по колу. Над рядом 5 мінус 3 дорівнює 2. Поруч з цим йде ряд з 5 червоних кіл. Перші три обводимо по колу. Над рядком від'ємний 5 мінус негативний 3 дорівнює негативному 2.$

Малюнок$\PageIndex{1}$

Тепер давайте подивимося, що відбувається, коли ми віднімаємо одне позитивне і одне негативне число. Нам потрібно буде використовувати як позитивні, так і негативні лічильники, а іноді і деякі нейтральні пари. Додавання нейтральної пари не змінює значення.

Приклад$\PageIndex{3}$: model

Модель:$−5 − 3$.

Рішення

Тлумачити вираз.	−5 − 3 означає −5 забрати 3.
Модель першого номера. Почніть з 5 негативів.
Забираємо друге число. Таким чином, нам потрібно забрати 3 позитиви.
Але позитивів відняти немає. Додайте нейтральні пари, поки у вас не буде 3 позитивів.
Тепер забираємо 3 позитиву.
Підрахуйте кількість лічильників, які залишилися.

Різниця$−5$ і$3$ є$−8$.

Вправа$\PageIndex{5}$

Змоделюйте вираз:$−6 − 4$

Відповідь

$CNX_BMath_Figure_03_03_012_img.jpg$

$-10$

Вправа$\PageIndex{6}$

Змоделюйте вираз:$−7 − 4$

Відповідь

$CNX_BMath_Figure_03_03_013_img.jpg$

$-11$

Приклад$\PageIndex{4}$: model

Модель:$5 − (−3)$.

Рішення

Тлумачити вираз.	5 − (−3) означає 5 забрати −3.
Модель першого номера. Почніть з 5 позитивів.
Забираємо друге число, так забираємо 3 негативу.
Але негативів забирати немає. Додайте нейтральні пари, поки у вас не буде 3 негативу.
Потім забираємо 3 негативу.
Підрахуйте кількість лічильників, які залишилися.

Різниця$5$ і$−3$ є$8$.

Вправа$\PageIndex{7}$

Змоделюйте вираз:$6 − (−4)$

Відповідь

$CNX_BMath_Figure_03_03_016_img.jpg$

$10$

Вправа$\PageIndex{8}$

Змоделюйте вираз:$7 − (−4)$

Відповідь

$CNX_BMath_Figure_03_03_017_img.jpg$

$11$

Приклад$\PageIndex{5}$: model

Моделювання кожного віднімання.

$8 − 2$
$−5 − 4$
$6 − (−6)$
$−8 − (−3)$

Рішення

$8 − 2$: Це означає$8$ забрати$2$.

Почніть з 8 позитивів.
Заберіть 2 позитиву.
Скільки залишилося?	8 − 2 = 6

$−5 − 4$: Це означає$−5$ забрати$4$.

Почніть з 5 негативів.
Потрібно забрати 4 позитиву. Додайте 4 нейтральні пари, щоб отримати 4 позитиви.
Заберіть 4 позитиву.
Скільки залишилося?	−5 − 4 = −9

$6 − (−6)$: Це означає$6$ забрати$−6$.

Почніть з 6 позитивів.
Додайте 6 нейтралів, щоб отримати 6 негативів, які потрібно забрати.
Видаліть 6 негативів.
Скільки залишилося?	6 − (−6) = 12

$−8 − (−3)$: Це означає$−8$ забрати$−3$.

Почніть з 8 негативів.
Заберіть 3 негативу.
Скільки залишилося?	−8 − (−3) = −5

Вправа$\PageIndex{9}$

Моделювання кожного віднімання.

$7 - (-8)$
$-7 - (-2)$
$4 - 1$
$-6 - 8$

Відповідь на: $CNX_BMath_Figure_03_03_045_img.jpg$
Відповідь б: $CNX_BMath_Figure_03_03_046_img.jpg$
Відповідь c: $CNX_BMath_Figure_03_03_047_img.jpg$
Відповідь d: $CNX_BMath_Figure_03_03_048_img.jpg$

Вправа$\PageIndex{10}$

Моделювання кожного віднімання.

$4 - (-6)$
$-8 - (-1)$
$7 - 3$
$-4 - 2$

Відповідь на: $CNX_BMath_Figure_03_03_049_img.jpg$
Відповідь б: $CNX_BMath_Figure_03_03_050_img.jpg$
Відповідь c: $CNX_BMath_Figure_03_03_051_img.jpg$
Відповідь d: $CNX_BMath_Figure_03_03_052_img.jpg$

Приклад$\PageIndex{6}$: model

Моделювання кожного виразу віднімання:

$2 − 8$
$−3 − (−8)$

Рішення

Починаємо з 2 позитивів.
Нам потрібно відібрати 8 позитивів, але у нас тільки 2.
Додайте нейтральні пари, поки не буде 8 позитивів, які потрібно забрати.
Потім відніміть вісім позитивів.
Знайдіть кількість лічильників, які залишилися. Є 6 негативів.

$2 − 8 = −6$

Починаємо з 3 негативів.
Нам потрібно відібрати 8 негативів, але у нас всього 3.
Додайте нейтральні пари, поки не залишиться 8 негативів, які потрібно забрати
Потім забираємо 8 негативів.
Знайдіть кількість лічильників, які залишилися. Є 5 позитивів.

$−3 − (−8) = 5$

Вправа$\PageIndex{11}$

Моделювання кожного виразу віднімання.

$7 − 9$
$−5 − (−9)$

Відповідь на

$CNX_BMath_Figure_03_03_020_img.jpg$

$-2$

Відповідь б

$CNX_BMath_Figure_03_03_021_img.jpg$

$4$

Вправа$\PageIndex{12}$

Моделювання кожного виразу віднімання.

$4 − 7$
$−7 − (−10)$

Відповідь на

$CNX_BMath_Figure_03_03_022_img.jpg$

$-3$

Відповідь б

$CNX_BMath_Figure_03_03_023_img.jpg$

$3$

Спрощення виразів цілими числами

Ви бачите візерунок? Чи готові ви відняти цілі числа без лічильників? Зробимо ще два віднімання. Ми будемо думати про те, як ми б моделювати їх з лічильниками, але ми насправді не будемо використовувати лічильники.

Відніміть$−23 − 7$. Подумайте: починаємо з$23$ негативних лічильників. Ми повинні відняти$7$ позитиви, але немає ніяких позитивів, щоб забрати. Таким чином, ми додаємо$7$ нейтральні пари, щоб отримати$7$ позитиви. Тепер забираємо$7$ позитиви. Так що ж залишилося? У нас є оригінальні$23$ негативи плюс$7$ більше негативів від нейтральної пари. Результат -$30$ негативи. $−23 − 7 = −30$Зверніть увагу, що для віднімання$7$ ми додали$7$ негативи.
Відніміть$30 − (−12)$. Подумайте: починаємо з$30$ позитивів. Доводиться віднімати$12$ негативи, але негативів забирати немає. Таким чином, ми додаємо$12$ нейтральні пари до$30$ позитивів. Тепер забираємо$12$ негативи. Що залишилося? У нас є оригінальні$30$ позитиви плюс$12$ більше позитивів від нейтральних пар. Результат -$42$ позитивні. $30 − (−12) = 42$Зверніть увагу, що для$−12$ віднімання ми додали$12$.

Хоча ми не завжди можемо використовувати лічильники, особливо коли ми працюємо з великими числами, практика з ними спочатку дала нам конкретний спосіб застосувати концепцію, щоб ми могли візуалізувати та запам'ятати, як робити віднімання без лічильників.

Ви помітили, що віднімання знакових чисел можна зробити шляхом додавання протилежного? Ви часто побачите ідею, властивість віднімання, написану наступним чином:

Визначення: Властивість віднімання

\[a − b = a + (−b)\]

Подивіться на ці два приклади.

$Ця цифра має два стовпчики. Перший стовпець має 6 мінус 4. Під ним знаходиться ряд з 6 синіх кіл, причому перші 4 відокремлюються від останніх 2. Перші 4 обведені по колу. Під цим рядом знаходиться 2. Другий стовпець має 6 плюс мінус 4. Під ним знаходиться ряд з 6 синіх кіл з першими 4 відокремленими від останніх 2. Перші 4 обведені по колу. Під першими чотирма знаходиться ряд з 4 червоних кіл. Під цим є 2.$

Малюнок$\PageIndex{2}$

Ми бачимо, що$6 − 4$ дає ту ж відповідь, що і$6 + (−4)$.

Звичайно, коли у нас є проблема віднімання, яка має тільки позитивні числа, як у першому прикладі, ми просто робимо віднімання. Ми вже$6 − 4$ давно знали, як відняти. Але знання, що$6 − 4$ дає ту ж відповідь, що і$6 + (−4)$ допомагає, коли ми віднімаємо негативні числа.

Приклад$\PageIndex{7}$: simplify

Спростити:

$13 − 8$і$13 + (−8)$
$−17 − 9$і$−17 + (−9)$

Рішення

Відніміть, щоб спростити.	13 − 8 = 5
Додайте для спрощення.	13 + (−8) = 5
Віднімання 8 з 13 відбувається так само, як додавання −8 до 13.

Відніміть, щоб спростити.	−17 − 9 = −26
Додайте для спрощення.	−17 + (−9) = −26
Віднімання 9 з −17 є таким самим, як додавання −9 до −17.

Вправа$\PageIndex{13}$

Спростіть кожний вираз:

$21 − 13$і$21 + (−13)$
$−11 − 7$і$−11 + (−7)$

Відповідь на: $8$,$8$
Відповідь б: $-18$,$-18$

Вправа$\PageIndex{14}$

Спростіть кожний вираз:

$15 − 7$і$15 + (−7)$
$−14 − 8$і$−14 + (−8)$

Відповідь на: $8$,$8$
Відповідь б: $-22$,$-22$

Тепер подивіться, що відбувається, коли ми віднімаємо негатив.

$Ця цифра має два стовпчики. Перший стовпець має 8 мінус мінус 5. Під ним знаходиться ряд з 13 синіх кіл. Перші 8 відокремлюються від наступних 5. Під останніми 5 синіми колами знаходиться ряд з 5 червоних кіл. Їх обводять по колу. Під цим знаходиться 13. Другий стовпець має 8 плюс 5. Під ним знаходиться ряд з 13 синіх кіл. Перші 8 відокремлюються від останніх 5. Під цим знаходиться 13.$

Малюнок$\PageIndex{3}$

Ми бачимо, що$8 − (−5)$ дає той же результат, що і$8 + 5$. Віднімання від'ємного числа схоже на додавання позитивного.

Приклад$\PageIndex{8}$: simplify

Спростити:

$9 − (−15)$і$9 + 15$
$−7 − (−4)$і$−7 + 4$

Рішення

$9 − (−15)$і$9 + 15$

Відніміть, щоб спростити.	9 − (−15) = 24
Додайте для спрощення.	9 + 15 = 24

Віднімання$−15$ з$9$ - це те саме, що і додавання$15$ до$9$.

$−7 − (−4)$і$−7 + 4$

Відніміть, щоб спростити.	−7 − (−4) = −3
Додайте для спрощення.	−7 + 4 = −3

Віднімання$−4$ з$−7$ - це те саме, що і додавання$4$ до$−7$.

Вправа$\PageIndex{15}$

Спростіть кожний вираз:

$6 − (−13)$і$6 + 13$
$−5 − (−1)$і$−5 + 1$

Відповідь на: $19$,$19$
Відповідь б: $-4$,$-4$

Вправа$\PageIndex{16}$

Спростіть кожний вираз:

$4 − (−19)$і$4 + 19$
$−4 − (−7)$і$−4 + 7$

Відповідь на: $23$,$23$
Відповідь б: $3$,$3$

Подивіться ще раз на результати Приклад$\PageIndex{1}$ - Приклад$\PageIndex{4}$.

Таблиця$\PageIndex{1}$: Віднімання цілих чисел
5 — 3	—5 — (—3)
2	—2
2 позитиви	2 негативи
Коли буде достатньо лічильників кольору відняти, віднімаємо.
-5 — 3	5 — (—3)
-8	8
5 негативів, хочете відняти 3 позитиви	5 позитивів, хочете відняти 3 негативи
потрібні нейтральні пари	потрібні нейтральні пари
Коли не вистачило б лічильників забрати, додайте нейтральні пари.

Дописувачі та атрибуція

Template:ContribElementaryAlgebraOpenStax

Приклад\(\PageIndex{1}\): model

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\): model

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\): model

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\): model

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\): model

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\): model

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Визначення: Властивість віднімання

Приклад\(\PageIndex{7}\): simplify

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Приклад\(\PageIndex{8}\): simplify

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Вправа\(\PageIndex{16}\)