Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.3: Додати цілі числа (частина 1)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57736

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання
    • Моделі додавання цілих чисел
    • Спрощення виразів цілими числами
    • Оцінити змінні вирази цілими числами
    • Перекладіть словосполучення на алгебраїчні вирази
    • Додавання цілих чисел у додатках
    будьте готові!

    Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

    1. Оцініть\(x + 8\), коли\(x = 6\). Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.2.1.
    2. Спростити:\(8 + 2(5 + 1)\). Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.1.8.
    3. Переведіть суму\(3\) і від'ємне\(7\) в алгебраїчний вираз. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте таблицю 2.2.3.

    Модель додавання цілих чисел

    Тепер, коли ми знайшли позитивні і негативні числа на числовому рядку, настав час обговорити арифметичні операції з цілими числами.

    Більшість учнів влаштовують додавання і віднімання фактів для позитивних чисел. Але робити додавання або віднімання як з позитивними, так і з негативними числами може бути складніше. Ця складність пов'язана з тим, як мозок вчиться.

    Мозок найкраще вчиться, працюючи з предметами в реальному світі, а потім узагальнюючи до абстрактних понять. Малюки швидко дізнаються, що якщо у них два печива, а їх старший брат краде одне, у них залишилося лише одне. Це конкретний приклад\(2 − 1\). Діти вивчають основні факти додавання та віднімання з досвіду у повсякденному житті. Зрештою, вони знають кількість фактів, не покладаючись на файли cookie.

    Додавання і віднімання від'ємних чисел мають менше реальних прикладів, які мають для нас сенс. Вчителі математики мають кілька різних підходів, таких як числові лінії, банкінг, температури тощо, щоб зробити ці поняття реальними.

    Ми будемо моделювати додавання і віднімання негативів двома кольоровими лічильниками. Ми дозволяємо синій лічильник представляють позитивний і червоний лічильник буде представляти негативний.

    Цей малюнок має синє коло, позначене позитивним, і червоне коло, позначене негативним.

    Якщо у нас один позитивний і один негативний лічильник, значення пари дорівнює нулю. Вони утворюють нейтральну пару. Значення цієї нейтральної пари дорівнює нулю, як підсумовано на малюнку\(\PageIndex{1}\).

    Ця фігура має синє коло над червоним колом. Поруч з ними є твердження 1 плюс негативний 1 дорівнює 0.

    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Синій лічильник представляє +1. Червоний лічильник позначає −1. Разом вони складають до нуля.

    Ми будемо моделювати чотири факти додавання, використовуючи цифри\(5\),\(−5\) і\(3\),\(−3\).

    \[5 + 3 \qquad −5 + (−3) \qquad −5 + 3 \qquad 5 + (−3) \nonumber \]

    Приклад\(\PageIndex{1}\): model the expression

    Модель:\(5 + 3\).

    Рішення

    Тлумачити вираз. 5 + 3 означає суму 5 і 3.
    Модель першого номера. Почніть з 5 позитивів.
    Модель другого номера. Додайте 3 позитиву.
    Підрахуйте загальну кількість лічильників.
    Сума 5 і 3 дорівнює 8. 5 + 3 = 8
    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Змоделюйте вираз. \(2 + 4\)

    Відповідь

    Ех 3.2.1.png

    \(6\)

    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    Змоделюйте вираз. \(2 + 5\)

    Відповідь

    Ех 3.2.2.png

    \(7\)

    Приклад\(\PageIndex{2}\): model the expression

    Модель:\(−5 + (−3)\).

    Рішення

    Тлумачити вираз. −5 + (−3) означає суму −5 та −3.
    Модель першого номера. Почніть з 5 негативів.
    Модель другого номера. Додайте 3 негативу.
    Підрахуйте загальну кількість лічильників.
    Сума −5 та −3 дорівнює −8. −5 + −3 = −8
    Вправа\(\PageIndex{3}\)

    Змоделюйте вираз. \(−2 + (−4)\)

    Відповідь

    Ех 3.2.3.png

    \(-6\)

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Змоделюйте вираз. \(−2 + (−5)\)

    Відповідь

    Ех 3.2.4.png

    \(-7\)

    Приклад\(\PageIndex{1}\) і Приклад дуже\(\PageIndex{2}\) схожі. Перший приклад додає\(5\) позитиви та\(3\) позитиви - обидва позитиви. Другий приклад додає\(5\) негативи та\(3\) негативи - обидва негативи. У кожному конкретному випадку ми отримали результат\(8\) — або\(8\) позитиви, або\(8\) негативи. Коли вивіски однакові, лічильники все одного кольору. Тепер давайте подивимося, що відбувається, коли ознаки різні.

    Приклад\(\PageIndex{3}\): model the expression

    Модель:\(−5 + 3\).

    Рішення

    Тлумачити вираз. −5 + 3 означає суму −5 та 3.
    Модель першого номера. Почніть з 5 негативів.
    Модель другого номера. Додайте 3 позитиву.
    Видаліть будь-які нейтральні пари.
    Підрахуйте результат.
    Сума −5 та 3 дорівнює −2. −5 + 3 = −2

    Зверніть увагу, що негативів було більше, ніж позитивів, тому результат негативний.

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Змоделюйте вираз, а потім спростіть:\(2 + (-4)\)

    Відповідь

    Ех 3.2.7.png

    \(-2\)

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Змоделюйте вираз, а потім спростіть:\(2 + (−5)\)

    Відповідь

    Ех 3.2.6.png

    \(-3\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\): model the expression

    Модель:\(5 + (−3)\).

    Рішення

    Тлумачити вираз. 5 + (−3) означає суму 5 та −3.
    Модель першого номера. Почніть з 5 позитивів.
    Модель другого номера. Додайте 3 негативу.
    Видаліть будь-які нейтральні пари.
    Підрахуйте результат.
    Сума 5 і −3 дорівнює 2. 5 + (−3) = 2
    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Змоделюйте вираз, а потім спростіть:\((−2) + 4\)

    Відповідь

    Ех 3.2.5.png

    \(2\)

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Змоделюйте вираз:\((−2) + 5\)

    Відповідь

    Ех 3.2.8.png

    \(3\)

    Приклад\(\PageIndex{5}\): model the addition

    Моделюйте кожне доповнення.

    1. \(4 + 2\)
    2. \(−3 + 6\)
    3. \(4 + (−5)\)
    4. \(-2 + (−3)\)

    Рішення

    1. \(4 + 2\)
    Почніть з 4 позитивів.
    Додайте два позитиви.
    Скільки у вас є? 6. 4 + 2 = 6
    1. \(−3 + 6\)
    Почніть з 3 негативів.
    Додайте 6 позитивів.
    Видаліть нейтральні пари.
    Скільки залишилося?
    3. −3+ 6 = 3
    1. \(4 + (−5)\)
    Почніть з 4 позитивів.
    Додайте 5 негативів.
    Видаліть нейтральні пари.
    Скільки залишилося?
    −1. 4 + (−5) = −1
    1. \(−2 + (−3)\)
    Почніть з 2 негативів.
    Додайте 3 негативу.
    Скільки у вас є? −5. −2 + (−3) = −5
    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    Моделюйте кожне доповнення.

    1. \(3 + 4\)
    2. \(−1 + 4\)
    3. \(4 + (−6)\)
    4. \(−2 + (−2)\)
    Відповідь

    Колишній 3.2.9a.png

    Відповідь б

    Колишній 3.2.9b.png

    Відповідь c

    Колишній 3.2.9c.png

    Відповідь d

    Ех 3.2.9d.png

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    Моделюйте кожне доповнення.

    1. \(5 + 1\)
    2. \(−3 + 7\)
    3. \(2 + (−8)\)
    4. \(−3 + (−4)\)
    Відповідь

    Ех 3.2.10a.png

    Відповідь б

    Ех 3.2.10b.png

    Відповідь c

    Колишній 3.2.10c.png

    Відповідь d

    Ех 3.2.10d.png

    Спрощення виразів цілими числами

    Тепер, коли ви змоделювали додавання невеликих позитивних і негативних цілих чисел, ви можете візуалізувати модель у своєму розумі, щоб спростити вирази з будь-якими цілими числами.

    Наприклад, якщо ви хочете додати\(37 + (−53)\), вам не доведеться рахувати\(37\) сині та\(53\) червоні лічильники.

    Малюнок\(37\) синій лічильники з\(53\) червоними лічильниками вишикувалися під. Оскільки негативних лічильників буде більше, ніж позитивних, сума буде негативною. Тому що\(53−37 = 16\), негативних лічильників\(16\) більше.

    \[37 + (−53) = −16 \nonumber \]

    Спробуємо ще один. Ми додамо\(−74 + (−27)\). Уявіть собі\(74\) червоні лічильники і\(27\) більше червоних лічильників, тому у нас є\(101\) червоні лічильники все разом. Це означає, що сума є\(−101\).

    \[−74 + (−27) = −101 \nonumber \]

    Подивіться ще раз на результати Приклад\(\PageIndex{1}\) - Приклад\(\PageIndex{2}\).

    Таблиця\(\PageIndex{1}\): Додавання позитивних і негативних цілих чисел
    5 + 3 −5 + (−3)
    обидва позитивні, сума позитивна обидва від'ємні, сума від'ємні
    Коли знаки однакові, лічильники будуть все одного кольору, тому додайте їх.
    −5 + 3 5 + (−3)
    різні ознаки, більше негативів різні знаки, більше позитивів
    сума негативна сума позитивна
    Коли знаки різні, деякі лічильники роблять нейтральні пари; відніміть, щоб побачити, скільки залишилося.
    Приклад\(\PageIndex{6}\): simplify

    Спростити:

    1. \(19 + (−47)\)
    2. \(−32 + 40\)

    Рішення

    1. Так як ознаки різні, віднімаємо\(19\) від\(47\). Відповідь буде негативною, оскільки негативів більше, ніж позитивів. \(19 + (−47)=−28\)
    2. Знаки різні, тому ми віднімаємо\(32\) від\(40\). Відповідь буде позитивною, оскільки позитивів більше, ніж негативів.\(−32 + 40=8\)
    Вправа\(\PageIndex{11}\)

    Спростіть кожний вираз:

    1. \(15 + (−32)\)
    2. \(−19 + 76\)
    Відповідь

    \(-17\)

    Відповідь б

    \(57\)

    Вправа\(\PageIndex{12}\)

    Спростіть кожний вираз:

    1. \(−55 + 9\)
    2. \(43 + (−17)\)
    Відповідь

    \(-46\)

    Відповідь б

    \(26\)

    Приклад\(\PageIndex{7}\): simplify

    Спростити:\(−14 + (−36)\).

    Рішення

    Так як знаки однакові, додаємо. Відповідь буде негативною, оскільки є тільки негативи.

    \[−14 + (−36)=−50 \nonumber \]

    Вправа\(\PageIndex{13}\)

    Спростити вираз:\(−31 + (−19)\)

    Відповідь

    \(-50\)

    Вправа\(\PageIndex{14}\)

    Спростити вираз:\(−42 + (−28)\)

    Відповідь

    \(-70\)

    Методи, які ми використовували до цього часу, поширюються на більш складні вирази. Не забувайте стежити за порядком операцій.

    Приклад\(\PageIndex{8}\): simplify

    Спростити:\(−5 + 3(−2 + 7)\).

    Рішення

    Спростити всередині дужок. −5 + 3 (5)
    Помножити. −5 + 15
    Додайте зліва направо. 10
    Вправа\(\PageIndex{15}\)

    Спростити вираз:\(−2 + 5(−4 + 7)\)

    Відповідь

    \(13\)

    Вправа\(\PageIndex{16}\)

    Спростити вираз:\(−4 + 2(−3 + 5)\)

    Відповідь

    \(0\)

    Автори та авторства