Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.2: Вступ до цілих чисел (частина 2)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57705

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Ми розглядаємо стовпчики абсолютних значень так само, як ми розглядаємо дужки в порядку операцій. Спрощуємо вираз всередині спочатку.

    Приклад\(\PageIndex{7}\): evaluate

    Оцініть:

    1. \(|x|\)коли\(x = −35\)
    2. \(|−y|\)коли\(y = −20\)
    3. \(− |u|\)коли\(u = 12\)
    4. \(− |p|\)коли\(p = −14\)

    Рішення

    Щоб знайти |x|, коли x = −35: \(|x|\)
    \(\textcolor{red}{-35}\)Замінюємо x. \(|\textcolor{red}{-35}|\)
    Візьміть абсолютне значення. \(35\)
    Щоб знайти |− y| коли y = −20: \(|-y|\)
    \(\textcolor{red}{-20}\)Замінник у. \(|-(\textcolor{red}{-20})|\)
    Спростити. \(|20|\)
    Візьміть абсолютне значення. \(20\)
    Знайти -|u| коли u = 12: \(-|u|\)
    \(\textcolor{red}{12}\)Замінник u. \(-|\textcolor{red}{12}|\)
    Візьміть абсолютне значення. \(-12\)
    Щоб знайти −|p|, коли p = −14: \(-|p|\)
    \(\textcolor{red}{-14}\)Замінник п. \(-|\textcolor{red}{-14}|\)
    Візьміть абсолютне значення. \(-14\)

    Зверніть увагу, що результат є від'ємним лише тоді, коли поза символом абсолютного значення є негативний знак.

    Вправа\(\PageIndex{13}\)

    Оцініть:

    1. \(|x|\)коли\(x = −17\)
    2. \(|−y|\)коли\(y = −39\)
    3. \(− |m|\)коли\(m = 22\)
    4. \(− |p|\)коли\(p = −11\)
    Відповідь

    \(17\)

    Відповідь б

    \(39\)

    Відповідь c

    \(-22\)

    Відповідь d

    \(11\)

    Вправа\(\PageIndex{14}\)

    Оцініть:

    1. \(|y|\)коли\(y = −23\)
    2. \(|−y|\)коли\(y = −21\)
    3. \(− |n|\)коли\(n = 37\)
    4. \(− |q|\)коли\(q = −49\)
    Відповідь

    \(23\)

    Відповідь б

    \(21\)

    Відповідь c

    \(-37\)

    Відповідь d

    \(-49\)

    Приклад\(\PageIndex{8}\): compare expressions

    Заповніть\(<\),\(>\) або\(=\) для кожного з наступних дій:

    1. \(|−5|\)___\(− |−5|\)
    2. \(8\)___\(− |−8|\)
    3. \(−9\)___\(− |−9|\)
    4. \(− |−7|\)___\(−7\)

    Рішення

    Щоб порівняти два вирази, спочатку спростіть кожне з них. Тоді порівняйте.

      |−5|___− |−5|
    Спростити. 5___−5
    Замовлення. 5 > −5
      8___− |−8|
    Спростити. 8___−8
    Замовлення. 8 > −8
      −9___− |−9|
    Спростити. −9___−9
    Замовлення. −9 = −9
      −|−7|___−7
    Спростити. −7___−7
    Замовлення. −7 = −7
    Вправа\(\PageIndex{15}\)

    Заповніть\(<\)\(>\), або\(=\) для кожного з наступних дій:

    1. \(|−9|\)___\(− |−9|\)
    2. \(2\)___\(− |−2|\)
    3. \(−8\)___\(|−8|\)
    4. \(− |−5|\)___\(−5\)
    Відповідь

    \(>\)

    Відповідь б

    \(>\)

    Відповідь c

    \(<\)

    Відповідь d

    \(=\)

    Вправа\(\PageIndex{16}\)

    Заповніть\(<\)\(>\), або\(=\) для кожного з наступних дій:

    1. \(7\)___\(− |−7|\)
    2. \(− |−11|\)___\(−11\)
    3. \(|−4|\)___\(− |−4|\)
    4. \(−1\)___\(|−1|\)
    Відповідь

    \(>\)

    Відповідь б

    \(=\)

    Відповідь c

    \(>\)

    Відповідь d

    \(<\)

    Абсолютні стовпчики значень діють як угруповання символів. Спочатку максимально спростіть всередині бруски абсолютного значення. Потім візьміть абсолютне значення отриманого числа і продовжуйте будь-які операції поза символами абсолютного значення.

    Приклад\(\PageIndex{9}\): simplify

    Спростити:

    1. \(|9−3|\)
    2. \(4|−2|\)

    Рішення

    Для кожного виразу дотримуйтесь порядку операцій. Починаються всередині символів абсолютного значення так само, як з дужок.

    Спростити всередині знака абсолютного значення. |9−3| = |6|
    Візьміть абсолютне значення. 6
    Візьміть абсолютне значення. 4|−2| = 4 • 2
    Помножити. 8
    Вправа\(\PageIndex{17}\)

    Спростити:

    1. \(|12 − 9|\)
    2. \(3|−6|\)
    Відповідь

    \(3\)

    Відповідь б

    \(18\)

    Вправа\(\PageIndex{18}\)

    Спростити:

    1. \(|27 − 16|\)
    2. \(9|−7|\)
    Відповідь

    \(11\)

    Відповідь б

    \(63\)

    Приклад\(\PageIndex{10}\): simplify

    Спростити:\(|8 + 7| − |5 + 6|\).

    Рішення

    Для кожного виразу дотримуйтесь порядку операцій. Починаються всередині символів абсолютного значення так само, як з дужок.

    Спростити всередині кожного знака абсолютного значення. |8+7|−|5+6| = |15|−|11|
    Відніміть. 4
    Вправа\(\PageIndex{19}\)

    Спростити:\(|1 + 8| − |2 + 5|\)

    Відповідь

    \(2\)

    Вправа\(\PageIndex{20}\)

    Спростити:\(|9−5| − |7 − 6|\)

    Відповідь

    \(3\)

    Приклад\(\PageIndex{11}\): simplify

    Спростити:\(24 − |19 − 3(6 − 2)|\).

    Рішення

    Використовуємо порядок операцій. Не забудьте спочатку спростити угруповання символів, тому дужки всередині символів абсолютного значення будуть першими.

    Спочатку спростити в дужках. 24 − |19 − 3 (6 − 2) | = 24 − |19 − 3 (4) |
    Множимо 3 (4). 24 − |19 − 12|
    Відніміть всередині знака абсолютного значення. 24 − |7|
    Візьміть абсолютне значення. 24 - 7
    Відніміть. 17
    Вправа\(\PageIndex{21}\)

    Спростити:\(19 − |11 − 4(3 − 1)|\)

    Відповідь

    \(16\)

    Вправа\(\PageIndex{22}\)

    Спростити:\(9 − |8 − 4(7 − 5)|\)

    Відповідь

    \(9\)

    Перекладіть словосполучення на вирази з цілими числами

    Тепер ми можемо перевести словосполучення в вирази з цілими числами. Шукайте слова, які вказують на негативний знак. Наприклад, слово негативний в «негативний двадцять» вказує\(−20\). Так само і слово протилежне в «протилежному»\(20\).

    Приклад\(\PageIndex{12}\): translate

    Переведіть кожну фразу в вираз з цілими числами:

    1. протилежність позитивним чотирнадцять
    2. протилежність\(−11\)
    3. негативні шістнадцять
    4. два мінус від'ємний сім

    Рішення

    1. протилежність чотирнадцяти\(−14\)
    2. протилежність\(−11 − (−11)\)
    3. негативні шістнадцять\(−16\)
    4. два мінус від'ємний сім\(2 − (−7)\)
    Вправа\(\PageIndex{23}\)

    Переведіть кожну фразу в вираз з цілими числами:

    1. протилежність позитивних дев'яти
    2. протилежність\(−15\)
    3. негативний двадцять
    4. одинадцять мінус негативний чотири
    Відповідь на

    \(-9\)

    Відповідь б

    \(15\)

    Відповідь c

    \(-20\)

    Відповідь d

    \(11-(-4)\)

    Вправа\(\PageIndex{24}\)

    Переведіть кожну фразу в вираз з цілими числами:

    1. протилежність негативному дев'ятнадцяти
    2. протилежність двадцяти двом
    3. негативні дев'ять
    4. негативний вісім мінус негативний п'ять
    Відповідь на

    \(19\)

    Відповідь б

    \(-22\)

    Відповідь c

    \(-9\)

    Відповідь d

    \(-8-(-5)\)

    Як ми бачили на початку цього розділу, негативні числа потрібні для опису багатьох реальних ситуацій. Ми розглянемо ще кілька застосувань негативних чисел в наступному прикладі.

    Приклад\(\PageIndex{13}\): translate

    Перевести в вираз з цілими числами:

    1. Температура -\(12\) градуси за Фаренгейтом нижче нуля.
    2. Футбольна команда мала посилення\(3\) ярдів.
    3. Висота Мертвого моря знаходиться на\(1,302\) футах нижче рівня моря.
    4. Розрахунковий рахунок перемальовується на\($40\).

    Рішення

    Шукайте ключові фрази в кожному реченні. Потім шукайте слова, які вказують на негативні ознаки. Не забудьте включити одиниці виміру, описані в реченні.

      Температура становить 12 градусів за Фаренгейтом нижче нуля.
    Нижче нуля говорить нам про те, що 12 - негативне число. −12 ºF
      Футбольна команда мала посилення в 3 ярди.
    Посилення говорить нам, що 3 - це позитивне число. 3 ярди
      Висота Мертвого моря становить 1302 футів нижче рівня моря.
    Нижче рівня моря говорить нам, що 1,302 - це негативне число. −1,302 футів
      Чековий рахунок передраховується на 40 доларів.
    Перевищення говорить нам, що 40 - це негативне число. −40 дол
    Вправа\(\PageIndex{25}\)

    Перекласти в вираз з цілими числами: Футбольна команда мала приріст\(5\) ярдів.

    Відповідь

    \(5\)ярдів

    Вправа\(\PageIndex{26}\)

    Перевести в вираз з цілими числами: аквалангіст\(30\) знаходився ногами нижче поверхні води.

    Відповідь

    \(-30\)ноги

    Ключові концепції

    • Протилежні позначення
      • Позначення\(-a\) читається протилежне\(a\)
    • Позначення абсолютних значень
      • Абсолютне значення числа\(n\) записується як\(|n|\).

    Глосарій

    абсолютне значення

    Абсолютне значення числа - це його відстань від\(0\) на числовому рядку.

    цілих чисел

    Цілі числа підраховують числа, їх протилежності, і нуль... \(–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 ...\)

    негативне число

    Від'ємне число менше нуля.

    протилежності

    Протилежність числу - це число, яке на тій же відстані від нуля на числовій лінії, але на протилежній стороні нуля.

    Практика робить досконалим

    Знайдіть позитивні та від'ємні числа на числовому рядку

    У наступних вправах знайдіть і позначте задані точки на числовій лінії.

    1. (а) 2 (b) −2 (c) −5
    2. (а) 5 (b) −5 (c) −2
    3. (а) −8 (b) 8 (c) −6
    4. (а) −7 (b) 7 (c) −1

    Замовлення позитивних і від'ємних чисел на числовому рядку

    У наступних вправах замовте кожну з наступних пар чисел, використовуючи < or >.

    1. (а) 9__4 (б) −3__6 (c) −8__−2 (d) 1__−10
    2. (а) 6__2; (б) −7__4; (c) −9__−1; (d) 9__−3
    3. (а) −5__1; (б) −4__−9; (с) 6__10; (г) 3__−8
    4. (а) −7__3; (б) −10__−5; (c) 2__−6; (г) 8__9

    Знайти протилежності

    У наступних вправах знайдіть протилежне кожному числу.

    1. (а) 2 (б) −6
    2. (а) 9 (б) −4
    3. (а) −8 (б) 1
    4. (а) −2 (б) 6

    У наступних вправах спростити.

    1. − (−4)
    2. − (−8)
    3. − (−15)
    4. − (−11)

    У наступних вправах оцініть.

    1. −m, коли (a) m = 3 (b) m = −3
    2. −p коли (а) р = 6 (б) р = −6
    3. −c, коли (а) c = 12 (b) c = −12
    4. −d, коли (а) d = 21 (b) d = −21

    Спрощення виразів за допомогою абсолютного значення

    У наступних вправах спростіть кожне абсолютне значення вираз.

    1. (а) |7| (б) |−25| (с) |0|
    2. (а) |5| (б) |20| (с) |−19|
    3. (а) |−32| (б) |−18| (с) |16|
    4. (а) |−41| (б) |−40| (с) |22|

    У наступних вправах оцініть кожне абсолютне значення виразу.

    1. (a) |x| коли x = −28 (b) | − u| коли u = −15
    2. (a) |y| коли y = −37 (b) | − z| коли z = −24
    3. (a) − |p | коли p = 19 (b) − |q| коли q = −33
    4. (a) − |a| коли a = 60 (b) − |b| коли b = −12

    У наступних вправах заповніть, або = для порівняння кожного виразу.

    1. (a) −6__|−6| (b) − |−3|__−3
    2. (a) −8__|−8| (b) − |−2|__−2
    3. (a) |−3|__− |−3| (б) 4__− |−4|
    4. (a) |−5|__− |−5| (б) 9__− |−9|

    У наступних вправах спрощуйте кожен вираз.

    1. |8 − 4|
    2. |9 − 6|
    3. 8|−7|
    4. 5|−5|
    5. |15 − 7| − |14 − 6|
    6. |17 − 8| − |13 − 4|
    7. 18 − |2 (8 − 3) |
    8. 15 − |3 (8 − 5) |
    9. 8 (14 − 2|−2|)
    10. 6 (13 − 4|−2|)

    Перекладіть словосполучення на вирази з цілими числами

    Переведіть кожну фразу в вираз з цілими числами. Чи не спрощуйте.

    1. (а) протилежність 8 (b) протилежному −6 (c) негативному три (d) 4 мінус негативний 3
    2. (а) протилежність 11 (b) протилежному −4 (c) негативному дев'яти (d) 8 мінус негативний 2
    3. (а) протилежність 20 (b) протилежність −5 (c) негативному дванадцяти (d) 18 мінус негативний 7
    4. (а) протилежність 15 (b) протилежному −9 (c) негативному шістдесят (d) 12 мінус 5
    5. температура 6 градусів нижче нуля
    6. температура 14 градусів нижче нуля
    7. висота 40 футів нижче рівня моря
    8. висота 65 футів нижче рівня моря
    9. футбол грати втрата 12 ярдів
    10. футбол грати виграш 4 ярдів
    11. приріст акцій у розмірі 3 долари
    12. втрата акцій у розмірі $5
    13. гольф оцінка один вище номіналу
    14. гольф оцінка 3 нижче номіналу

    Щоденна математика

    1. Висота Найвища висота в Сполучених Штатах - гора Мак-Кінлі, штат Аляска, на висоті 20 320 футів над рівнем моря. Найнижча висота - Долина Смерті, штат Каліфорнія, на відстані 282 футів нижче рівня моря. Використовуйте цілі числа, щоб записати висоту: (a) Гора МакКінлі (b) Долина Смерті
    2. Екстремальні температури Найвища зафіксована температура на Землі - 58° Цельсія, зафіксована в пустелі Сахара в 1922 році. Найнижча зафіксована температура - 90° нижче 0° за Цельсієм, зафіксована в Антарктиді в 1983 році. Використовуйте цілі числа, щоб записати: (a) найвищу зареєстровану температуру (b) найнижчу зареєстровану температуру
    3. Державні бюджети У червні 2011 року штат Пенсільванія оцінив, що він матиме профіцит бюджету у розмірі 540 мільйонів доларів. Того ж місяця Техас підрахував, що дефіцит бюджету складе 27 мільярдів доларів. Використовуйте цілі числа для запису бюджету: (a) надлишок (b) дефіцит
    4. Зарахування до коледжів По всій території Сполучених Штатів, зарахування до коледжів громади зросло на 1400,000 студентів з 2007 по 2010 рік. У Каліфорнії кількість студентів зменшилася на 110 171 студентів з 2009 по 2010 рік. Використовуйте цілі числа, щоб записати зміну зарахування: (a) зростання (b) зниження

    Письмові вправи

    1. Наведіть приклад негативного числа зі свого життєвого досвіду.
    2. Які три способи використання знака «−» в алгебрі? Поясніть, чим вони відрізняються.

    Самостійна перевірка

    (а) Після виконання вправ використовуйте цей контрольний список, щоб оцінити своє володіння цілями цього розділу.

    (b) Якщо більшість ваших перевірок були:

    ... впевнено. Вітаємо! Ви досягли цілей у цьому розділі. Подумайте про навички навчання, які ви використовували, щоб ви могли продовжувати їх використовувати. Що ви зробили, щоб стати впевненим у своїй здатності робити ці речі? Будьте конкретні.

    ... з деякою допомогою. Це потрібно вирішувати швидко, оскільки теми, які ви не освоюєте, стають вибоїнами на вашому шляху до успіху. У математиці кожна тема будується на попередній роботі. Важливо переконатися, що у вас міцний фундамент, перш ніж рухатися далі. До кого можна звернутися за допомогою? Ваші колеги-однокласники та інструктор - хороші ресурси. Чи є в кампусі місце, де доступні репетитори з математики? Чи можна вдосконалити свої навички навчання?

    ... Ні—я цього не розумію! Це попереджувальний знак, і ви не повинні його ігнорувати. Ви повинні отримати допомогу відразу ж, інакше ви швидко будете перевантажені. Зверніться до інструктора, як тільки зможете обговорити вашу ситуацію. Разом ви можете придумати план, щоб отримати вам необхідну допомогу.

    Дописувачі та атрибуція