3.1: Вступ до цілих чисел (частина 1)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57746

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Знайдіть позитивні та від'ємні числа на числовому рядку
Замовлення позитивних і від'ємних чисел
Знайти протилежності
Спрощення виразів з абсолютним значенням
Перекладіть словосполучення на вирази з цілими числами

будьте готові!

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

Ділянка$0$$1$, і$3$ на числовому рядку. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 1.1.1.
Заповніть відповідний символ: ($=$$<$, або$>$):$2$ ___$4$ Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.1.2.

Знайдіть позитивні та від'ємні числа на числовому рядку

Ви живете в місці, де дуже холодні зими? Ви коли-небудь відчували температуру нижче нуля? Якщо так, то ви вже знайомі з негативними числами. Від'ємне число - це число, яке менше$0$. Дуже холодні температури вимірюються в градусах нижче нуля і можуть бути описані негативними числами. Наприклад,$-1^{\circ}$ F (читається як «негативний один градус за Фаренгейтом») -$1$ ступінь нижче$0$. Знак мінус відображається перед числом, щоб вказати, що воно негативне. $\PageIndex{1}$На малюнку$-20^{\circ}$ зображено F, який знаходиться в$20$ градусах нижче$0$.

$Ця цифра являє собою градусник, масштабований в градусах Фаренгейта. Термометр має показання 20 градусів.$

Малюнок$\PageIndex{1}$: Температури нижче нуля описуються від'ємними числами.

Температури - не єдині негативні цифри. Банківський овердрафт - ще один приклад негативного числа. Якщо людина випише чек на більше, ніж у нього на рахунку, його баланс буде негативним.

Висотні позначки також можуть бути представлені від'ємними числами. Висота на рівні моря -$0$ фути. Висоти над рівнем моря позитивні, а висоти нижче рівня моря негативні. Висота Мертвого моря, яке межує з Ізраїлем і Йорданією, знаходиться приблизно в$1,302$ футах нижче рівня моря, тому піднесення Мертвого моря можна представити як$−1,302$ ноги. Див$\PageIndex{2}$. Малюнок.

$Ця цифра являє собою креслення збоку узбережжя Ізраїлю, що показує різні височини. Середземне море позначено висотою 0 футів, а Мертве море позначено негативною висотою 1302 футів. Країна Йорданія також позначена на малюнку.$

Малюнок$\PageIndex{2}$: Поверхня Середземного моря має висоту 0 футів. На діаграмі видно, що прилеглі гори мають більш високі (позитивні) висоти, тоді як Мертве море має меншу (негативну) висоту.

Глибини нижче поверхні океану також описуються негативними числами. Наприклад, підводний човен може спуститися на глибину$500$ футів. Тоді його положення буде$−500$ ногами, як зазначено на малюнку$\PageIndex{3}$.

$Ця цифра являє собою креслення підводного човна під водою. У воді також знаходиться вертикальна цифрова лінія, масштабована в футах. Числова лінія має 0 футів на поверхні і негативні 500 футів нижче води, де знаходиться підводний човен.$

Малюнок$\PageIndex{3}$: Глибини нижче рівня моря описуються від'ємними числами. Підводний човен на 500 футів нижче рівня моря знаходиться на відстані −500 футів.

Як додатні, так і від'ємні числа можуть бути представлені на числовому рядку. Нагадаємо, що числовий рядок, створений в Add Whole Numbers, почався з$0$ і показував кількість підрахунку, що збільшується вправо, як показано на малюнку$\PageIndex{4}$. Числа підрахунку ($1, 2, 3, …$) на числовому рядку всі позитивні. Ми могли б написати знак плюс$+$, перед позитивним числом$+3$, таким як$+2$ або, але прийнято опускати знак плюс і писати тільки число. Якщо знака немає, то число приймається позитивним.

$Ця цифра є числовим рядком, масштабованим від 0 до 6.$

Малюнок$\PageIndex{4}$

Тепер нам потрібно розширити числовий рядок, щоб включити негативні числа. Відзначаємо кілька одиниць зліва від нуля, зберігаючи інтервали тієї ж ширини, що і на позитивній стороні. Маркуємо позначки від'ємними числами, починаючи з$-1$ першої позначки зліва від наступної$0, -2$ позначки і так далі. Див$\PageIndex{5}$. Малюнок.

$Ця цифра є числовим рядком з 0 посередині. Потім масштабування має позитивні числа від 1 до 4 праворуч від 0 та від'ємні числа, від'ємні від 1 до негативних 4 зліва від 0.$

Малюнок$\PageIndex{5}$: На числовому рядку позитивні числа знаходяться праворуч від нуля. Від'ємні числа ліворуч від нуля. А як щодо нуля? Нуль не є ні позитивним, ні негативним.

Стрілки в будь-якому кінці рядка вказують на те, що числова лінія триває вічно в кожному напрямку. Немає найбільшого позитивного числа і немає найменшого негативного числа.

Приклад$\PageIndex{1}$: plot on the number line

Покладіть цифри на числовому рядку:

$3$
$-3$
$-2$

Рішення

Намалюйте числову лінію. Відзначте$0$ в центрі і позначте кілька одиниць зліва і справа.

Для сюжету$3$ почніть з$0$ і порахуйте три одиниці праворуч. Помістіть точку, як показано на малюнку$\PageIndex{6}$.

$Ця цифра є числовою лінією, масштабованою від негативних 4 до 4, з точкою 3, позначеною крапкою.$

Малюнок$\PageIndex{6}$

Для сюжету$-3$ почніть з$0$ і порахуйте три одиниці зліва. Помістіть точку, як показано на малюнку$\PageIndex{7}$.

$Ця цифра є числовою лінією, масштабованою від негативних 4 до 4, з точкою від'ємною 3, позначеною крапкою.$

Малюнок$\PageIndex{7}$

Для сюжету$-2$ почніть з$0$ і порахуйте дві одиниці зліва. Помістіть точку, як показано на малюнку$\PageIndex{8}$.

$Ця цифра є числовою лінією, масштабованою від негативних 4 до 4, з точкою від'ємною 2, позначеною крапкою.$

Малюнок$\PageIndex{8}$

Вправа$\PageIndex{1}$

Покладіть цифри на числовому рядку.

$1$,$-1$,$-4$

Відповідь: $CNX_BMath_Figure_03_01_010_img.jpg$

Вправа$\PageIndex{2}$

Покладіть цифри на числовому рядку.

$-4$,$4$,$-1$

Відповідь: $CNX_BMath_Figure_03_01_011_img.jpg$

Порядок позитивних та негативних чисел

Ми можемо використовувати числовий рядок для порівняння та замовлення позитивних та негативних чисел. Йдучи зліва направо, цифри збільшуються в ціні. Йдучи справа наліво, цифри зменшуються в ціні. Див$\PageIndex{9}$. Малюнок.

$Ця цифра є числовим рядком. Над цифровим рядком є стрілка, що вказує вправо з написом збільшення. Під цифровим рядком є стрілка, що вказує вліво з написом зменшення.$

Малюнок$\PageIndex{9}$

Так само, як ми робили з додатними числами, ми можемо використовувати символи нерівності, щоб показати впорядкування позитивних і негативних чисел. Пам'ятайте, що ми використовуємо позначення$a < b$ (читання$a$ менше, ніж$b$), коли$a$ знаходиться$b$ зліва від числового рядка. Пишемо$a > b$ (читати$a$ більше, ніж$b$), коли$a$ знаходиться праворуч від$b$ на числовому рядку. Це показано для чисел$3$ і на$5$ малюнку$\PageIndex{10}$.

$Ця цифра являє собою цифрову лінію з точками 3 і 5, позначені точками. Нижче числового рядка вказані твердження 3 менше 5 і 5 більше 3.$

Малюнок$\PageIndex{10}$: Число 3 знаходиться ліворуч від 5 на цифровому рядку. Так 3 менше 5, а 5 більше 3.

Рядки чисел, які слід дотримуватися, показують ще кілька прикладів.

$Ця цифра являє собою цифрову лінію з точками 1 і 4, позначені точками.$

$4$знаходиться$1$ праворуч від номера рядка, так що$4 > 1$. $1$знаходиться$4$ ліворуч від номера рядка, так що$1 < 4$.

$Ця цифра являє собою цифрову лінію з точками від'ємні 2 і 1, позначені крапками.$

$-2$знаходиться$1$ ліворуч від номера рядка, так що$−2 < 1$. $1$знаходиться$−2$ праворуч від номера рядка, так що$1 > −2$.

$Ця цифра являє собою числову лінію з точками негативні 3 і негативні 1, позначені крапками.$

$−1$знаходиться$−3$ праворуч від номера рядка, так що$−1 > −3$. $−3$знаходиться$−1$ ліворуч від номера рядка, так що$−3 < − 1$.

Приклад$\PageIndex{2}$: order the pairs

Замовте кожну з наступних пар чисел за допомогою$<$ або$>$:

$14$___$6$
$−1$___$9$
$−1$___$−4$
$2$___$−20$

Рішення

Почніть з побудови цифр на числовій лінії, як показано на малюнку$\PageIndex{11}$.

$Ця цифра являє собою числову лінію з точками від'ємні 20, негативні 4, негативні 1, 2, 6, 9 і 14, позначені крапками.$

Малюнок$\PageIndex{11}$

Порівняйте 14 і 6.	14___6
14 знаходиться праворуч від 6 на цифровому рядку.	14 > 6

Порівняйте −1 і 9.	−1___9
−1 ліворуч від 9 на числовому рядку.	−1 < 9

Порівняйте −1 та −4.	−1___−4
−1 знаходиться праворуч від −4 на числовому рядку.	−1> −4

Порівняйте 2 та −20.	2___−20
2 праворуч від −20 на числовому рядку.	2 > −20

Вправа$\PageIndex{3}$

Замовте кожну з наступних пар чисел за допомогою$<$ або$>$.

$15$___$7$
$−2$___$5$
$−3$___$−7$
$5$___$−17$

Відповідь на: $>$
Відповідь б: $<$
Відповідь c: $>$
Відповідь d: $>$

Вправа$\PageIndex{4}$

Замовте кожну з наступних пар чисел за допомогою$<$ або$>$.

$8$___$13$
$3$___$−4$
$−5$___$−2$
$9$___$−21$

Відповідь на: $<$
Відповідь б: $>$
Відповідь c: $<$
Відповідь d: $>$

Знайти протилежності

На числовому рядку від'ємні числа є дзеркальним відображенням позитивних чисел з нулем посередині. Оскільки числа$2$ і$−2$ знаходяться на однаковій відстані від нуля, їх називають протилежностями. $2$Протилежне є$−2$, а$−2$ протилежне -$2$ як показано на малюнку$\PageIndex{12 a}$. Аналогічно$3$ і$−3$ є протилежності, як показано на малюнку$\PageIndex{12 b}$.

$На цьому малюнку показані дві числові рядки. Перший має точки негативні 2 і позитивні 2 позначені. Нижче першого рядка твердження - числа негативні 2 і 2 протилежні. У другому цифровому рядку позначені точки від'ємні 3 і 3. Нижче числового рядка знаходиться твердження негативні 3 і 3 протилежності.$

Малюнок$\PageIndex{12}$

Визначення: протилежне

Протилежність числу - це число, яке знаходиться на однаковій відстані від нуля на числовій лінії, але на протилежному боці від нуля.

Приклад$\PageIndex{3}$:

Знайдіть протилежне кожному числу:

$7$
$−10$

Рішення

Число$−7$ знаходиться на однаковій відстані від$0$ як$7$, але на протилежному боці від$0$. Так$−7$ і навпаки,$7$ як показано на малюнку$\PageIndex{13}$.

$Ця цифра є числовим рядком. Пункти негативні 7 і 7 маркуються. Над лінією показано відстань від 0 до від'ємного 7, а відстань від 0 до 7 - 7.$

Малюнок$\PageIndex{13}$

Число$10$ знаходиться на однаковій відстані від$0$ як$−10$, але на протилежному боці від$0$. Так$10$ і навпаки,$−10$ як показано на малюнку$\PageIndex{14}$.

$Ця цифра є числовим рядком. Пункти негативні 10 і 10 маркуються. Над лінією показано відстань від 0 до від'ємного 10, а відстань від 0 до 10 - 10.$

Малюнок$\PageIndex{14}$

Вправа$\PageIndex{5}$

Знайдіть протилежне кожному числу:

$4$
$−3$

Відповідь на: $-4$
Відповідь б: $3$

Вправа$\PageIndex{6}$

Знайдіть протилежне кожному числу:

$8$
$−5$

Відповідь на: $-8$
Відповідь б: $5$

Протилежні позначення

Так само, як одне і те ж слово в англійській мові може мати різні значення, один і той же символ в алгебрі може мати різні значення.

Конкретний сенс стає зрозумілим, дивлячись на те, як він використовується. Ви бачили символ «$−$», трьома різними способами.

10 - 4	Між двома числами символ вказує на операцію віднімання. Ми читаємо 10 − 4 як 10 мінус 4.
-8	Перед числом символ позначає негативне число. Ми читаємо −8 як негативну вісімку.
-х	Перед змінною або числом вона вказує протилежне. Ми читаємо −x як протилежність x.
− (−2)	Тут у нас є два ознаки. Знак в дужках говорить про те, що число від'ємне 2. Знак поза дужками вказує на зворотне. Ми читаємо − (−2) як протилежне −2.

Визначення: Протилежні позначення

$−a$означає протилежне числу$a$.

Позначення$−a$ читається протилежне$a$.

Приклад$\PageIndex{4}$: simplify

Спростити:$−(−6)$.

Рішення

	− (−6)
Протилежним параметром −6 є 6.	6

Вправа$\PageIndex{7}$

Спростити:$−(−1)$

Відповідь: $1$

Вправа$\PageIndex{8}$

Спростити:$−(−5)$

Відповідь: $5$

Цілі числа

Безліч рахункових чисел, їх протилежностей, і$0$ являє собою набір цілих чисел.

Визначення: цілі числа

Цілі числа - це підрахунок чисел, їх протилежностей і нуль.

\[\ldots −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 \ldots \nonumber \]

Ми повинні бути дуже обережними зі знаками при оцінці протилежності змінної.

Приклад$\PageIndex{5}$: evaluate

Оцініть$−x$:

коли$x = 8$
коли$x = −8$

Рішення

Щоб оцінити −x, коли x = 8, замініть 8 на x.	$-x$
$\textcolor{red}{8}$Замінюємо x.	$-(\textcolor{red}{8})$
Спростити.	$-8$

Щоб обчислити −x, коли x = −8, замініть 8 на x.	$-x$
$\textcolor{red}{-8}$Замінюємо x.	$-(\textcolor{red}{-8})$
Спростити.	$-8$

Вправа$\PageIndex{9}$

Оцініть$−n$:

коли$n = 4$
коли$n = −4$

Відповідь на: $-4$
Відповідь б: $4$

Вправа$\PageIndex{10}$

Оцініть$−m$:

коли$m = 11$
коли$m = −11$

Відповідь на: $-11$
Відповідь б: $11$

Спрощення виразів за допомогою абсолютного значення

Ми побачили, що числа, такі як$5$ і$−5$ є протилежними, тому що вони однакові відстані від$0$ на числовій лінії. Вони обидва п'ять одиниць від$0$. Відстань між$0$ і будь-яким числом на числовому рядку називається абсолютним значенням цього числа. Оскільки відстань ніколи не буває від'ємною, абсолютне значення будь-якого числа ніколи не є від'ємним. Символ абсолютного значення - це дві вертикальні лінії по обидва боки числа. Таким чином, абсолютне значення$5$ записується як$|5|$, а абсолютне значення$−5$ записується так,$|−5|$ як показано на малюнку$\PageIndex{15}$.

$Ця цифра є числовим рядком. Пункти негативні 5 і 5 позначаються. Над цифровим рядком відстань від від'ємного 5 до 0 позначається як 5 одиниць. Також над цифровим рядком відстань від 0 до 5 позначається як 5 одиниць.$

Малюнок$\PageIndex{15}$

Визначення: Абсолютне значення

Абсолютне значення числа - це його відстань від$0$ на числовому рядку.

Абсолютне значення числа$n$ записується як$|n|$.

\[|n| \geq 0\; for\; all\; numbers \nonumber \]

Приклад 3.6:

Спростити:

$|3|$
$|−44|$
$|0|$

Рішення

	\|3\|
3 - це 3 одиниці з нуля.	3

	\|-44\|
-44 - це 44 одиниці з нуля.	44

	\|0\|
0 вже на нулі.	0

Вправа$\PageIndex{11}$

Спростити:

$|12|$
$− |−28|$

Відповідь на: $12$
Відповідь б: $-28$

Вправа 3.12:

Спростити:

$|9|$
$− |37|$

Відповідь на: $9$
Відповідь б: $-37$

Автори та авторства

Template:ContribElementaryAlgebraOpenStax

Щоб оцінити −x, коли x = 8, замініть 8 на x.	\(-x\)
\(\textcolor{red}{8}\)Замінюємо x.	\(-(\textcolor{red}{8})\)
Спростити.	\(-8\)

Щоб обчислити −x, коли x = −8, замініть 8 на x.	\(-x\)
\(\textcolor{red}{-8}\)Замінюємо x.	\(-(\textcolor{red}{-8})\)
Спростити.	\(-8\)

Приклад\(\PageIndex{1}\): plot on the number line

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\): order the pairs

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Визначення: протилежне

Приклад\(\PageIndex{3}\):

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Визначення: Протилежні позначення

Приклад\(\PageIndex{4}\): simplify

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Визначення: цілі числа

Приклад\(\PageIndex{5}\): evaluate

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Визначення: Абсолютне значення

Приклад 3.6:

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Вправа 3.12: