Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.10: Просте факторизація та найменш поширене кратне (частина 2)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57837

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Знайти найменш поширене кратне (НКМ) двох чисел

    Однією з причин, чому ми розглядаємо кратні та прості числа, є використання цих методів, щоб знайти найменш поширене кратне двох чисел. Це буде корисно, коли ми додаємо і віднімаємо дроби з різними знаменниками.

    Лістинг Кратний метод

    Загальне кратне двом числам - це число, кратне обох чисел. Припустимо, ми хочемо знайти загальні кратні 10 і 25. Ми можемо перерахувати перші кілька кратних кожного числа. Потім ми шукаємо множники, які є загальними для обох списків - це загальні кратні.

    \[\begin{split} 10 & \colon \; 10, 20, 30, 40, \textbf{50}, 60, 70, 80, 90, \textbf{100}, 110, \ldots \\ 25 & \colon \; 25, \textbf{50}, 75, \textbf{100}, 125, \ldots \end{split} \nonumber \]

    Ми бачимо це\(50\) і\(100\) відображаємося в обох списках. Вони є загальними кратними\(10\) і\(25\). Ми б знайшли більш поширені кратні, якби ми продовжили список кратних для кожного.

    Найменше число, кратне двом числам, називається найменш загальним кратним (LCM). Таким чином, найменше LCM\(10\) і\(25\) є\(50\).

    ЯК: ЗНАЙТИ НАЙМЕНШ ЗАГАЛЬНЕ КРАТНЕ (LCM) ДВОХ ЧИСЕЛ, ПЕРЕРАХОВУЮЧИ КРАТНІ

    Крок 1. Перерахуйте перші кілька кратних кожному числу.

    Крок 2. Шукайте множники, загальні для обох списків. Якщо загальних кратних в списках немає, випишіть додаткові кратні для кожного числа.

    Крок 3. Шукайте найменше число, яке є загальним для обох списків.

    Крок 4. Це число і є НКМ.

    Приклад\(\PageIndex{5}\): lcm

    Знайдіть LCM\(15\) та\(20\) перерахувавши кратні.

    Рішення

    Перерахуйте перші кілька кратних\(15\) і з\(20\). Визначте перший загальний кратний.

    \[\begin{split}15 & \colon \; 15, 30, 45, \textbf{60}, 75, 90, 105, 120 \\ 20 & \colon \; 20, 40, \textbf{60}, 80, 100, 120, 140, 160 \end{split} \nonumber\]

    Найменша кількість, що відображається в обох списках\(60\), так\(60\) є найменш поширеним кратним\(15\) і\(20\). Зверніть увагу, що\(120\) є в обох списках, теж. Це загальне кратне, але це не найменш поширене множинне.

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    Знайдіть найменше спільне кратне (LCM) заданих чисел:\(9\) і\(12\)

    Відповідь

    \(36\)

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    Знайдіть найменше спільне кратне (LCM) заданих чисел:\(18\) і\(24\)

    Відповідь

    \(72\)

    Метод простих факторів

    Інший спосіб знайти найменш поширене кратне двох чисел - використовувати їх прості множники. Ми будемо використовувати цей метод, щоб знайти LCM\(12\) і\(18\).

    Почнемо з пошуку простої факторизації кожного числа.

    \[12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \qquad \qquad 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \nonumber\]

    Потім ми записуємо кожне число як добуток простих чисел, узгоджуючи прості числа по вертикалі, коли це можливо.

    \[\begin{split} 12 & = 2 \cdot 2 \cdot 3 \\ 18 & = 2 \cdot \quad \; 3 \cdot 3 \end{split} \nonumber \]

    Тепер збиваємо прості числа в кожному стовпчику. LCM є продуктом цих факторів.

    Зображення показує просту факторизацію 12, записану як рівняння 12 дорівнює 2 рази 2 рази 3. Нижче цього рівняння знаходиться ще одне, що показує просту факторизацію 18, записану як рівняння 18 дорівнює 2 рази 3 рази 3. Два рівняння вирівнюються вертикально на рівному символі. Перші 2 в простому факторизації 12 вирівнюється з 2 в простому факторизації 18. Під другим 2 в простому факторизації 12 знаходиться розрив у простому факторизації 18. Під 3 в простому факторизації 12 є перші 3 в простому факторизації 18. Другий 3 у простій факторизації не має факторів над ним від простої факторизації 12. Горизонтальна лінія проводиться під просте факторизацію 18. Нижче цього рядка знаходиться рівняння LCM, рівне 2 рази 2 рази 3 рази. Стрілки намальовані вниз вертикально від простої факторизації 12 через просту факторизацію 18, що закінчується рівнянням LCM. Перша стрілка починається з перших 2 у простому факторизації 12 і продовжується вниз через 2 в простому факторизації 18. Закінчуючи першими 2 в НКМ. Друга стрілка починається з наступної 2 в простій факторизації 12 і продовжується вниз через прогалину в простій факторизації 18. Закінчуючи другим 2 в НКМ. Третя стрілка починається з 3 в простому факторизації 12 і триває вниз через перші 3 в простому факторизації 18. Закінчуючи першими 3 в НКМ. Остання стрілка починається з другої 3 в простій факторизації 18 і вказує вниз до другої 3 в LCM.

    Зверніть увагу, що прості\(12\) множники і прості множники\(18\) включені в НКМ. При зіставленні загальних простих чисел кожен загальний простий коефіцієнт використовується лише один раз. Це гарантує, що\(36\) це найменш поширене кратне.

    ЯК: ЗНАЙТИ LCM ЗА ДОПОМОГОЮ МЕТОДУ ПРОСТИХ ФАКТОРІВ

    Крок 1. Знайдіть просте факторизацію кожного числа.

    Крок 2. Запишіть кожне число як добуток простих чисел, коли це можливо, зіставляючи прості числа вертикально.

    Крок 3. Збийте прості числа в кожному стовпчику.

    Крок 4. Помножте коефіцієнти, щоб отримати НКМ.

    Приклад\(\PageIndex{6}\): lcm

    Знайти LCM\(15\) і за\(18\) допомогою методу простих множників.

    Рішення

    Запишіть кожне число як добуток простих чисел. \(15 = 3 \cdot 5 \qquad \qquad 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3\)
    Запишіть кожне число як добуток простих чисел, коли це можливо, зіставляючи прості числа вертикально. \(\begin{split} 15 & = \quad \; 3 \cdot \qquad 5 \\ 18 & = 2 \cdot 3 \cdot 3 \end{split}\)
    Збийте прості числа в кожному стовпчику.
    Помножте коефіцієнти, щоб отримати НКМ.

    СМ = 2 • 3 • 3 • 5

    НКМ 15 і 18 дорівнює 90.
    Вправа\(\PageIndex{11}\)

    Знайдіть LCM за допомогою методу простих множників:\(15\) і\(20\)

    Відповідь

    \(60\)

    Вправа\(\PageIndex{12}\)

    Знайдіть LCM за допомогою методу простих множників:\(15\) і\(35\)

    Відповідь

    \(105\)

    Приклад\(\PageIndex{7}\): lcm

    Знайти LCM\(50\) і за\(100\) допомогою методу простих множників.

    Рішення

    Напишіть просте факторизацію кожного числа. \(50 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \qquad 100 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5\)
    Запишіть кожне число як добуток простих чисел, коли це можливо, зіставляючи прості числа вертикально. \(\begin{split} 50 & = \quad \; 2 \cdot 5 \cdot 5 \\ 100 & = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \end{split}\)
    Збийте прості числа в кожному стовпчику.
    Помножте коефіцієнти, щоб отримати НКМ.

    СМ = 2 • 2 • 5 • 5

    НКМ 50 і 100 дорівнює 100.
    Вправа\(\PageIndex{13}\)

    Знайдіть LCM за допомогою методу простих множників:\(55, 88\)

    Відповідь

    \(440\)

    Вправа\(\PageIndex{14}\)

    Знайдіть LCM за допомогою методу простих множників:\(60, 72\)

    Відповідь

    \(360\)

    Ключові поняття

    • Знайдіть просте факторизацію складеного числа за допомогою методу дерева.
      • Знайдіть будь-яку пару множників заданого числа і використовуйте ці числа для створення двох гілок.
      • Якщо коефіцієнт є простим, ця гілка завершена. Обведіть просте.
      • Якщо коефіцієнт не є простим, запишіть його як добуток пари факторів і продовжуйте процес.
      • Запишіть складене число як добуток всіх обведених простих чисел.
    • Знайдіть просте факторизацію складеного числа за допомогою методу сходів.
      • Розділіть число на найменший простий.
      • Продовжуйте ділити на цей прайм, поки він більше не розділиться рівномірно.
      • Розділіть на наступний прайм, поки він більше не розділиться рівномірно.
      • Продовжуйте до тих пір, поки частка не стане простим.
      • Напишіть складене число як добуток всіх простих чисел з боків і верху сходів.
    • Знайдіть LCM, перерахувавши кратні.
      • Перерахуйте перші кілька кратних кожному числу.
      • Шукайте множники, загальні для обох списків. Якщо загальних кратних в списках немає, випишіть додаткові кратні для кожного числа.
      • Шукайте найменше число, яке є загальним для обох списків.
      • Це число і є НКМ.
    • Знайдіть LCM за допомогою методу простих множників.
      • Знайдіть просте факторизацію кожного числа.
      • Запишіть кожне число як добуток простих чисел, коли це можливо, зіставляючи прості числа вертикально.
      • Збийте прості числа в кожному стовпчику.
      • Помножте коефіцієнти, щоб отримати НКМ.

    Глосарій

    найменш поширене кратне

    Найменше число, кратне двом числам, називається найменш загальним кратним (LCM).

    основна факторизація

    Просте факторизація числа - це добуток простих чисел, що дорівнює числу.

    Практика робить досконалим

    Знайти просте факторизацію складеного числа

    У наступних вправах знайдіть просту факторизацію кожного числа за допомогою методу дерева факторів.

    1. 86
    2. 78
    3. 132
    4. 455
    5. 693
    6. 420
    7. 115
    8. 225
    9. 2475
    10. 1560

    У наступних вправах знайдіть просту факторизацію кожного числа за допомогою методу сходів.

    1. 56
    2. 72
    3. 168
    4. 252
    5. 391
    6. 400
    7. 432
    8. 627
    9. 2160
    10. 2520

    У наступних вправах знайдіть просту факторизацію кожного числа за допомогою будь-якого методу.

    1. 150
    2. 180
    3. 525
    4. 444
    5. 36
    6. 50
    7. 350
    8. 144

    Знайти найменш поширене кратне (НКМ) двох чисел

    У наступних вправах знайдіть найменш поширене кратне (LCM), перерахувавши кратні.

    1. 8, 12
    2. 4, 3
    3. 6, 15
    4. 12, 16
    5. 30, 40
    6. 20, 30
    7. 60, 75
    8. 44, 55

    У наступних вправах знайдіть найменш поширене кратне (LCM) за допомогою методу простих факторів.

    1. 8, 12
    2. 12, 16
    3. 24, 30
    4. 28, 40
    5. 70, 84
    6. 84, 90

    У наступних вправах знайдіть найменш поширене кратне (LCM) за допомогою будь-якого методу.

    1. 6, 21
    2. 9, 15
    3. 24, 30
    4. 32, 40

    Щоденна математика

    1. Продуктові магазини Хот-доги продаються в упаковках по десять, але булочки для хот-догів поставляються в пачках по вісім. Яка найменша кількість хот-догів і булочок, які можна придбати, якщо ви хочете мати однакову кількість хот-догів і булочок? (Підказка: це LCM!)
    2. Продуктовий магазин Паперові тарілки продаються в упаковках по 12, а партійні чашки поставляються в упаковках по 8 штук. Яку найменшу кількість тарілок і чашок ви можете придбати, якщо хочете мати однакову кількість кожної? (Підказка: це LCM!)

    Письмові вправи

    1. Ви віддаєте перевагу знаходити просту факторизацію складеного числа за допомогою методу дерева факторів або методу сходів? Чому?
    2. Ви віддаєте перевагу знаходити LCM, перерахувавши кратні або використовуючи метод простих факторів? Чому?

    Самостійна перевірка

    (а) Після виконання вправ використовуйте цей контрольний список, щоб оцінити своє володіння цілями цього розділу.

    (b) Загалом, подивившись контрольний список, ви вважаєте, що добре підготовлені до наступної глави? Чому чи чому ні?

    Автори та авторства