Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.9: Просте факторизація та найменш поширене кратне (частина 1)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57865

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання
    • Знайти просте факторизацію складеного числа
    • Знайти найменш поширене кратне (LCM) двох чисел
    будьте готові!

    Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

    1. \(810\)Ділиться на\(2, 3, 5, 6,\) або\(10\)? Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.4.5.
    2. Це\(127\) простий або композитний? Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.4.8.
    3. Запишіть\(2 • 2 • 2 • 2\) в експоненціальних позначеннях. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.1.5.

    Знайти просте факторизацію складеного числа

    У попередньому розділі ми знайшли фактори числа. Прості числа мають лише два множники, число\(1\) і саме просте число. Складені числа мають більше двох факторів, і кожне складене число може бути записано як унікальний добуток простих чисел. Це називається простим факторизацією числа. Коли ми пишемо просту факторизацію числа, ми переписуємо число як добуток простих чисел. Знаходження простого факторизації складеного числа допоможе вам пізніше в цьому курсі.

    Визначення: Просте факторизація

    Просте факторизація числа - це добуток простих чисел, що дорівнює числу.

    Ви можете звернутися до наступного списку простих чисел менше, ніж під\(50\) час роботи з цим розділом.

    \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\)

    Просте факторизація за допомогою методу дерева факторів

    Одним із способів знайти просту факторизацію числа є створення факторного дерева. Починаємо з написання числа, а потім записуємо його як добуток двох факторів. Запишемо множники під числом і з'єднуємо їх з числом невеликим відрізком лінії — «гілкою» дерева факторів.

    Якщо коефіцієнт є простим, ми обводимо його (як бутон на дереві), і не враховуємо цю «гілку» далі. Якщо фактор не є простим, ми повторюємо цей процес, записуючи його як добуток двох факторів і додаючи нові гілки до дерева.

    Продовжуємо до тих пір, поки всі гілки не закінчаться праймом. Коли дерево факторів завершено, обведені прості числа дають нам просту факторизацію.

    Наприклад, давайте знайдемо просту факторизацію\(36\). Ми можемо почати з будь-якої пари факторів, таких як\(3\) і\(12\). Пишемо\(3\) і\(12\) нижче\(36\) з гілками, що з'єднують їх.

    На малюнку показано дерево факторів з цифрою 36 вгорі. Дві гілки розщеплюються з-під 36. Права гілка має цифру 3 на кінці з окружністю навколо неї. Ліва гілка має в кінці цифру 12.

    Коефіцієнт\(3\) простий, тому ми обводимо його. Фактор\(12\) є складовим, тому потрібно знайти його фактори. Давайте використовувати\(3\) і\(4\). Пишемо ці фактори на дереві під\(12\).

    На малюнку показано дерево факторів з цифрою 36 вгорі. Дві гілки розщеплюються з-під 36. Права гілка має цифру 3 на кінці з окружністю навколо неї. Ліва гілка має в кінці цифру 12. Ще дві гілки розщеплюються з-під 12. Права гілка має номер 4 на кінці, а ліва - номер 3 в кінці.

    Коефіцієнт\(3\) простий, тому ми обводимо його. Фактор\(4\) є складовим, і він впливає на\(2 • 2\). Ми пишемо ці фактори під\(4\). Оскільки\(2\) є простим, ми обводимо обидва\(2s\).

    На малюнку показано дерево факторів з цифрою 36 вгорі. Дві гілки розщеплюються з-під 36. Права гілка має цифру 3 на кінці з окружністю навколо неї. Ліва гілка має в кінці цифру 12. Ще дві гілки розщеплюються з-під 12. Права гілка має цифру 4 на кінці, а ліва гілка має цифру 3 в кінці з колом навколо нього. Ще дві гілки розщеплюються з-під 4. І ліва, і права гілки мають на кінці цифру 2 з колом навколо нього.

    Просте факторизація - це добуток обведених простих чисел. Ми зазвичай пишемо просте факторизацію в порядку від найменшого до найбільшого.

    \(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3\)

    У таких випадках, коли деякі прості множники повторюються, ми можемо написати просту факторизацію в експоненціальній формі.

    \(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3\)

    \(2^{2} \cdot 3^{2}\)

    Зауважте, що ми могли б почати наше дерево факторів з будь-якої пари факторів\(36\). Ми вибрали\(12\) і\(3\), але той же результат був би таким же, якби ми почали з\(2\) і\(18\),\(4\) і\(9\), або\(6\) і\(6\).

    ЯК: ЗНАЙТИ ПРОСТУ ФАКТОРИЗАЦІЮ СКЛАДЕНОГО ЧИСЛА МЕТОДОМ ДЕРЕВА
    • Крок 1. Знайдіть будь-яку пару множників заданого числа і використовуйте ці числа для створення двох гілок.
    • Крок 2. Якщо коефіцієнт є простим, ця гілка завершена. Обведіть просте.
    • Крок 3. Якщо коефіцієнт не є простим, запишіть його як добуток пари факторів і продовжуйте процес.
    • Крок 4. Запишіть складене число як добуток всіх обведених простих чисел.
    Приклад\(\PageIndex{1}\): prime factors

    Знайдіть просту факторизацію\(48\) за допомогою методу дерева факторів.

    Рішення

    Ми можемо почати наше дерево, використовуючи будь-яку пару факторів 48. Давайте використаємо 2 і 24. Ми обводимо 2, тому що він простий і так, що гілка завершена.
    Зараз ми зробимо коефіцієнт 24. Давайте використаємо 4 і 6.

    Жоден фактор не є простим, тому ми також не обводимо. Ми коефіцієнт 4, використовуючи 2 і 2. Ми коефіцієнт 6, використовуючи 2 і 3.

    Ми обводимо 2s і 3, оскільки вони прості. Тепер всі гілки закінчуються в розквіт.
    Напишіть добуток обведених чисел. 2 • 2 • 2 • 2 • 3
    Пишіть в експоненціальній формі. 2 4 • 3

    Перевірте це самостійно, помноживши всі коефіцієнти разом. Результат повинен бути\(48\).

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Знайдіть просту факторизацію за допомогою методу дерева факторів:\(80\)

    Відповідь

    \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5, \text { or } 2^4 \cdot 5\)

    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    Знайдіть просту факторизацію за допомогою методу дерева факторів:\(60\)

    Відповідь

    \(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5, \text { or } 2^2 \cdot 3 \cdot 5\)

    Приклад\(\PageIndex{2}\): prime factors

    Знайдіть просту факторизацію\(84\) за допомогою методу дерева факторів.

    Рішення

    Почнемо з факторної пари 4 і 21. Жоден фактор не є простим, тому ми враховуємо їх далі.
    Тепер коефіцієнти всі прості, тому ми обводимо їх.
    Потім записуємо 84 як добуток всіх обведених простих чисел. 2 • 2 • 3 • 7 = 2 2 • 3 • 7

    Намалюйте дерево факторів\(84\).

    Вправа\(\PageIndex{3}\)

    Знайдіть просту факторизацію за допомогою методу дерева факторів:\(126\)

    Відповідь

    \(2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7, \text { or } 2 \cdot 3^2 \cdot 7\)

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Знайдіть просту факторизацію за допомогою методу дерева факторів:\(294\)

    Відповідь

    \(2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7, \text { or } 2 \cdot 3 \cdot 7^2\)

    Основна факторизація за допомогою методу сходів

    Метод сходів - ще один спосіб знайти прості множники складеного числа. Це призводить до того ж результату, що і метод дерева факторів. Деякі люди вважають за краще сходовий метод методу дерева фактора, і навпаки.

    Щоб почати будувати «сходи», розділіть дане число на її найменший простий коефіцієнт. Наприклад, щоб почати сходи для\(36\), ділимо\(36\) на\(2\), найменший простий коефіцієнт\(36\).

    На зображенні показано поділ 2 на 36, щоб отримати частку 18. Цей поділ представлений за допомогою ділення кронштейна з 2 на зовнішній лівій стороні кронштейна, 36 всередині кронштейна і 18 над 36, поза кронштейном.

    Щоб додати «сходинку» до сходів, продовжуємо ділити тим же грунтом, поки вона більше не розділиться рівномірно.

    На зображенні показано поділ 2 на 36, щоб отримати частку 18. Цей поділ представлений за допомогою ділення кронштейна з 2 на зовнішній лівій стороні кронштейна, 36 всередині кронштейна і 18 над 36, поза кронштейном. Інший поділ кронштейн написаний навколо 18 з 2 на зовнішній лівій стороні кронштейна і 9 над 18, зовні кронштейна.

    Потім ділимо на наступний простий; так ділимо\(9\) на\(3\).

    На зображенні показано поділ 2 на 36, щоб отримати частку 18. Цей поділ представлений за допомогою ділення кронштейна з 2 на зовнішній лівій стороні кронштейна, 36 всередині кронштейна і 18 над 36, поза кронштейном. Інший поділ кронштейн написаний навколо 18 з 2 на зовнішній лівій стороні кронштейна і 9 над 18, зовні кронштейна. Інший поділ кронштейн написаний навколо 9 з 3 на зовнішній лівій стороні кронштейна і 3 над 9, зовні кронштейна.

    Продовжуємо ділити вгору по сходах таким чином, поки частка не стане простим. Оскільки частка,, є\(3\) простим, ми зупиняємося тут. Розумієте, чому сходовий метод іноді називають покладеним поділом?

    Першочергова факторизація - це твір всіх простих чисел з боків і верху сходів.

    \(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3\)

    \(2^{2} \cdot 3^{2}\)

    Зверніть увагу, що результат такий же, як ми отримали за допомогою методу дерева факторів.

    ЯК: ЗНАЙТИ ПРОСТУ ФАКТОРИЗАЦІЮ СКЛАДНОГО ЧИСЛА МЕТОДОМ СХОДИ

    Крок 1. Розділіть число на найменший простий.

    Крок 2. Продовжуйте ділити на цей прайм, поки він більше не розділиться рівномірно.

    Крок 3. Розділіть на наступний прайм, поки він більше не розділиться рівномірно.

    Крок 4. Продовжуйте, поки частка не стане простим.

    Крок 5. Напишіть складене число як добуток всіх простих чисел з боків і верху сходів.

    Приклад\(\PageIndex{3}\): prime factors

    Знайдіть просте факторизацію\(120\) за допомогою методу сходів.

    Рішення

    Розділіть число на найменший простий, який дорівнює 2.
    Продовжуйте ділити на 2, поки він більше не розділиться рівномірно.
    Ділимо на наступний простий, 3.
    Коефіцієнт, 5, є простим, тому сходи завершена. Напишіть просте факторизацію 120.

    2 • 2 • 2 • 3 • 5

    2 3 • 3 • 5

    Перевірте це самостійно, множивши коефіцієнти. Результат повинен бути\(120\).

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Знайдіть просту факторизацію за допомогою методу сходів:\(80\)

    Відповідь

    \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5, \text { or } 2^4 \cdot 5\)

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Знайдіть просту факторизацію за допомогою методу сходів:\(60\)

    Відповідь

    \(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5, \text { or } 2^2 \cdot 3 \cdot 5\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\): prime factors

    Знайдіть просте факторизацію\(48\) за допомогою методу сходів.

    Рішення

    Розділіть число на найменший простий, 2.
    Продовжуйте ділити на 2, поки він більше не розділиться рівномірно.
    Коефіцієнт, 3, є простим, тому сходи завершена. Напишіть просте факторизацію 48.

    \(2 • 2 • 2 • 2 • 3\)

    \(2^4 • 3\)
    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Знайдіть просту факторизацію за допомогою методу сходів:\(126\)

    Відповідь

    \(2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7, \text { or } 2 \cdot 3^2 \cdot 7\)

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Знайдіть просту факторизацію за допомогою методу сходів:\(294\)

    Відповідь

    \(2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7, \text { or } 2 \cdot 3 \cdot 7^2\)

    Автори та атрибуція