Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.7: Знайдіть кратні та множники (частина 1)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57829

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання
    • Визначте кратні чисел
    • Використовуйте загальні тести на подільність
    • Знайти всі фактори числа
    • Визначення простих і складених чисел
    Будьте готові!

    Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

    1. Які з перерахованих нижче чисел підраховують числа (натуральні числа)? \(0, 4, 215\)Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 1.1.1.
    2. Знайти суму\(3\)\(5\), і\(7\). Якщо ви пропустили проблему, перегляньте розділ 2.1.

    Визначте кратні чисел

    Енні рахує взуття у своїй шафі. Взуття підібрані парами, тому їй не доведеться рахувати кожну з них. Вона рахує по два:\(2, 4, 6, 8, 10, 12\). У неї в шафі\(12\) взуття.

    Числа\(2, 4, 6, 8, 10, 12\) називаються кратними\(2\). Кратні\(2\) можуть бути записані як добуток рахункового числа і\(2\). Перші шість кратних\(2\) множників наведені нижче.

    \[\begin{split} 1 \cdot 2 & = 2 \\ 2 \cdot 2 & = 4 \\ 3 \cdot 2 & = 6 \\ 4 \cdot 2 & = 8 \\ 5 \cdot 2 & = 10 \\ 6 \cdot 2 &= 12 \end{split} \nonumber \]

    Кратне числу - це добуток числа і лічильного числа. Таким чином, кратне\(3\) буде добутком числа підрахунку і\(3\). Нижче наведено перші шість кратних\(3\).

    \[\begin{split} 1 \cdot 3 & = 3 \\ 2 \cdot 3 & = 6 \\ 3 \cdot 3 & = 9 \\ 4 \cdot 3 & = 12 \\ 5 \cdot 3 & = 15 \\ 6 \cdot 3 &= 18 \end{split} \nonumber \]

    Ми можемо знайти кратні будь-якому числу, продовжуючи цей процес. Таблиця\(\PageIndex{1}\) показує кратні\(2\) через\(9\) для перших дванадцяти чисел підрахунку.

    Таблиця\(\PageIndex{1}\)
    Кількість підрахунку 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    Кратні 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
    Кратні 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36
    Кратні 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
    Кратні 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
    Кратні 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72
    Кратні 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84
    Кратні 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96
    Кратні 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108
    Визначення: Кратне числу

    Число кратне,\(n\) якщо воно є добутком лічильного числа і\(n\).

    Розпізнавання шаблонів для кратних\(2\)\(5\)\(10\), і\(3\) буде корисним для вас, як ви продовжуєте цей курс.

    \(\PageIndex{1}\)На малюнку показані підрахунок чисел від\(1\) до\(50\). Кратні\(2\) виділені. Ви помічаєте закономірність?

    На зображенні показана діаграма з п'ятьма рядками і десятьма стовпцями. У першому рядку перераховані цифри від 1 до 10. У другому рядку перераховані цифри від 11 до 20. У третьому рядку перераховані цифри від 21 до 30. У четвертому ряду перераховані цифри від 31 і 40. У п'ятому рядку перераховані цифри від 41 до 50. Всі фактори 2 виділені синім кольором.

    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Кратні 2 між 1 і 50

    Остання цифра кожного виділеного числа на малюнку\(\PageIndex{1}\) є або\(0\)\(2\),\(4\),\(6\), або\(8\). Це справедливо для добутку\(2\) і будь-якого підрахунку числа. Таким чином, щоб сказати, якщо будь-яке число є кратним\(2\) погляду на останню цифру. Якщо це\(0\),\(2\)\(4\),\(6\), або\(8\), то число кратне\(2\).

    Приклад\(\PageIndex{1}\): multiples of \(2\)

    Визначте, чи кожне з наведених нижче параметрів є кратним\(2\):

    1. \(489\)
    2. \(3,714\)

    Рішення

    Чи є 489 кратним 2?  
    Остання цифра 0, 2, 4, 6 або 8? Ні.
      489 не кратна 2.
    Чи є 3,714 кратним 2?  
    Остання цифра 0, 2, 4, 6 або 8? Так.
      3,714 є кратним 2.
    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Визначте, чи кожне число кратне\(2\):

    1. \(678\)
    2. \(21,493\)
    Відповідь на

    так

    Відповідь б

    ні

    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    Визначте, чи кожне число кратне\(2\):

    1. \(979\)
    2. \(17,780\)
    Відповідь на

    ні

    Відповідь б

    так

    Тепер давайте розглянемо кратні\(5\). Малюнок\(\PageIndex{2}\) виділяє всі кратні\(5\) між\(1\) і\(50\). Що ви помічаєте про кратні\(5\)?

    На зображенні показана діаграма з п'ятьма рядками і десятьма стовпцями. У першому рядку перераховані цифри від 1 до 10. У другому рядку перераховані цифри від 11 до 20. У третьому рядку перераховані цифри від 21 до 30. У четвертому ряду перераховані цифри від 31 і 40. У п'ятому рядку перераховані цифри від 41 до 50. Всі фактори 5 виділені синім кольором.

    Малюнок\(\PageIndex{2}\): Кратні 5 між 1 і 50

    Усі кратні\(5\) закінчуються\(5\) або\(0\). Так само, як ми ідентифікуємо кратні, дивлячись на останню цифру, ми можемо визначити кратні, дивлячись\(5\) на останню цифру.\(2\)

    Приклад\(\PageIndex{2}\): multiples of \(5\)

    Визначте, чи кожне з наведених нижче параметрів є кратним\(5\):

    1. \(579\)
    2. \(880\)

    Рішення

    579 кратний 5?  
    Остання цифра 5 або 0? Ні.
      579 не кратна 5.
    Чи є 880 кратним 5?  
    Остання цифра 5 або 0? Так.
      880 не кратна 5.
    Вправа\(\PageIndex{3}\)

    Визначте, чи кожне число кратне\(5\).

    1. \(675\)
    2. \(1,578\)
    Відповідь на

    так

    Відповідь б

    ні

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Визначте, чи кожне число кратне\(5\).

    1. \(421\)
    2. \(2,690\)
    Відповідь на

    ні

    Відповідь б

    так

    Малюнок\(\PageIndex{3}\) виділяє кратні\(10\) між\(1\) і\(50\). Усі кратні\(10\) всіх закінчуються нулем.

    На зображенні показана діаграма з п'ятьма рядками і десятьма стовпцями. У першому рядку перераховані цифри від 1 до 10. У другому рядку перераховані цифри від 11 до 20. У третьому рядку перераховані цифри від 21 до 30. У четвертому ряду перераховані цифри від 31 і 40. У п'ятому рядку перераховані цифри від 41 до 50. Всі фактори 10 виділені синім кольором.

    Малюнок\(\PageIndex{3}\): Кратні 10 між 1 і 50

    Приклад\(\PageIndex{3}\): multiples of \(10\)

    Визначте, чи кожне з наведених нижче параметрів є кратним\(10\):

    1. \(425\)
    2. \(350\)

    Рішення

    Чи є 425 кратним 10?  
    Остання цифра нуль? Ні.
      425 не кратна 10.
    350 кратна 10?  
    Остання цифра нуль? Так.
      350 кратна 10.
    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Визначте, чи кожне число кратне\(10\):

    1. \(179\)
    2. \(3,540\)
    Відповідь на

    ні

    Відповідь б

    так

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Визначте, чи кожне число кратне\(10\):

    1. \(110\)
    2. \(7,595\)
    Відповідь на

    так

    Відповідь б

    ні

    Малюнок\(\PageIndex{4}\) виділяє кратні\(3\). Візерунок для кратних не\(3\) настільки очевидний, як шаблони для кратних\(2\)\(5\), і\(10\).

    На зображенні показана діаграма з п'ятьма рядками і десятьма стовпцями. У першому рядку перераховані цифри від 1 до 10. У другому рядку перераховані цифри від 11 до 20. У третьому рядку перераховані цифри від 21 до 30. У четвертому ряду перераховані цифри від 31 і 40. У п'ятому рядку перераховані цифри від 41 до 50. Всі фактори 3 виділені синім кольором.

    Малюнок\(\PageIndex{4}\): Кратні 3 між 1 і 50

    На відміну від інших моделей, які ми розглядали досі, ця модель не включає останню цифру. Візерунок для кратних складається на основі суми цифр.\(3\) Якщо сума цифр числа кратна\(3\), то саме число кратне\(3\). Див\(\PageIndex{2}\). Таблицю.

    Таблиця\(\PageIndex{2}\)
    Кратна 3 3 6 9 12 15 18 21 24
    Сума цифр 3 6 9

    1 + 2

    3

    1 + 5

    6

    1 + 8

    9

    2 + 1

    3

    2 + 4

    6

    Розглянемо число\(42\). Цифри -\(4\) і\(2\), а їх сума дорівнює\(4 + 2 = 6\). Оскільки\(6\) це кратне\(3\), ми знаємо, що також\(42\) є кратним\(3\).

    Приклад\(\PageIndex{4}\): multiples of \(3\)

    Визначте, чи кожне з заданих чисел кратне\(3\):

    1. \(645\)
    2. \(10,519\)

    Рішення

    1. Є\(645\) кратним\(3\)?
    Знайти суму цифр. 6 + 4 + 5 = 15
    Чи є 15 кратним 3? Так.
    Якщо ми не впевнені, ми могли б додати його цифри, щоб дізнатися. Ми можемо перевірити це, розділивши 645 на 3. 645 ÷ 3
    Коефіцієнт - 215. 3 • 215 = 645
    1. Є\(10,519\) кратним\(3\)?
    Знайти суму цифр. 1 + 0 + 5 + 1 + 9 = 16
    Чи є 15 кратним 3? Ні.
    Таким чином, 10,519 не кратна 3 або.. 645 ÷ 3
    Ми можемо перевірити це, розділивши на 10,519 на 3.

    Коли ми ділимо\(10,519\) на\(3\), ми не отримуємо лічильне число, тому не\(10,519\) є добутком рахункового числа і\(3\). Це не кратна\(3\).

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Визначте, чи кожне число кратне\(3\):

    1. \(954\)
    2. \(3,742\)
    Відповідь на

    так

    Відповідь б

    ні

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Визначте, чи кожне число кратне\(3\):

    1. \(643\)
    2. \(8,379\)
    Відповідь на

    ні

    Відповідь б

    так

    Подивіться назад на діаграми, де ви виділили кратні\(2\), з\(5\), і з\(10\). Зверніть увагу, що\(10\) кратні числа числа, кратні обох\(2\) і\(5\). Це тому, що\(10 = 2 • 5\). Так само\(6 = 2 • 3\), оскільки\(6\) кратні числа - це числа, кратні обом\(2\) і\(3\).

    Використання загальних тестів на подільність

    Інший спосіб сказати, що\(375\) є кратним,\(5\) це сказати,\(375\) що ділиться на\(5\). Насправді,\(375 ÷ 5\) є\(75\), так і\(375\) є\(5 • 75\). Зверніть увагу в прикладі\(\PageIndex{4}\), що не\(10,519\) є кратним\(3\). Коли ми ділилися\(10,519\) на\(3\) ми не отримали рахункове число,\(10,519\) тому не ділиться на\(3\).

    Визначення: Подільність

    Якщо число\(m\) кратне\(n\), то ми говоримо,\(m\) що ділиться на\(n\).

    Оскільки множення та ділення є оберненими операціями, шаблони кратних, які ми знайшли, можуть бути використані як тести на подільність. Таблиця\(\PageIndex{3}\) підсумовує тести на подільність для деяких чисел підрахунку від одного до десяти.

    Таблиця\(\PageIndex{3}\): Тести на подільність
    Число ділиться на
    2 якщо остання цифра дорівнює 0, 2, 4, 6 або 8
    3 якщо сума цифр ділиться на 3
    5 якщо остання цифра 5 або 0
    6 якщо ділиться як на 2, так і на 3
    10 якщо остання цифра дорівнює 0
    Приклад\(\PageIndex{5}\): divisibility

    \(1,290\)Визначте, чи ділиться на\(2\)\(3\),,\(5\), і\(10\).

    Рішення

    Таблиця\(\PageIndex{4}\) застосовує тести на подільність\(1,290\). У крайньому правому стовпці ми перевіряємо результати тестів подільності, бачачи, чи частка є цілим числом.

    Таблиця\(\PageIndex{4}\)
    Ділиться на...? Тест Ділимо? Перевірити
    2 Остання цифра 0, 2, 4, 6 або 8? так 1290 ÷ 2 = 645
    3

    Чи сума цифр ділиться на 3?

    1 + 2 + 9 + 0 = 12

    		 так 1290 ÷ 3 = 430
    5 Остання цифра 5 або 0? так 1290 ÷ 5 = 258
    10 Остання цифра 0? так 1290 ÷ 10 = 129

    Таким чином,\(1,290\) ділиться на\(2\),\(3\),\(5\), і\(10\).

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    Визначте, чи ділиться дане число на\(2\),\(3\),\(5\), і\(10\).

    \(6240\)

    Відповідь

    Ділиться на\(2\)\(3\),\(5\), і\(10\)

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    Визначте, чи ділиться дане число на\(2\),\(3\),\(5\), і\(10\).

    \(7248\)

    Відповідь

    Ділиться на\(2\) і\(3\), не\(5\) або\(10\)

    Приклад\(\PageIndex{6}\): divisibility

    \(5,625\)Визначте, чи ділиться на\(2\)\(3\),,\(5\), і\(10\).

    Рішення

    Таблиця\(\PageIndex{5}\) застосовує тести на подільність\(5,625\) і перевіряє результати шляхом знаходження коефіцієнтів.

    Таблиця\(\PageIndex{5}\)
    Ділиться на...? Тест Ділимо? Перевірити
    2 Остання цифра 0, 2, 4, 6 або 8? ні 5625 ÷ 2 = 2812,5
    3

    Чи сума цифр ділиться на 3?

    5 + 6 + 2 + 5 = 18

    		 так 5625 ÷ 3 = 1875
    5 Остання цифра 5 або 0? так 5625 ÷ 5 = 1125
    10 Остання цифра 0? ні 5625 ÷ 10 = 562,5

    Таким чином,\(5,625\) ділиться на\(3\) і\(5\), але ні\(2\), або\(10\).

    Вправа\(\PageIndex{11}\)

    Визначте, чи ділиться дане число на\(2\),\(3\),\(5\), і\(10\).

    \(4962\)

    Відповідь

    Ділиться на\(2\),\(3\), не\(5\) або\(10\)

    Вправа\(\PageIndex{12}\)

    Визначте, чи ділиться дане число на\(2\),\(3\),\(5\), і\(10\).

    \(3765\)

    Відповідь

    Ділиться на\(3\) і\(5\)

    Знайти всі фактори числа

    Часто існує кілька способів говорити про одну і ту ж ідею. Поки що ми бачили, що якщо\(m\) є кратним\(n\), ми можемо сказати,\(m\) що ділиться на\(n\). Ми знаємо, що\(72\) це продукт\(8\) і\(9\), так що ми можемо сказати,\(72\) є кратним\(8\) і\(72\) є кратним\(9\). Можна також сказати,\(72\) що ділиться на\(8\) і на\(9\). Ще один спосіб говорити про це - сказати, що\(8\) і\(9\) є факторами\(72\). Коли ми\(72 = 8 ⋅ 9\) пишемо, ми можемо сказати, що ми врахували\(72\).

    На зображенні показано рівняння 8 разів 9 дорівнює 72. 8 і 9 позначені як фактори, а 72 - маркований продукт.

    Визначення: Фактори

    Якщо\(a • b = m\), то\(a\) і\(b\) є чинниками\(m\), і\(m\) є продуктом\(a\) і\(b\).

    В алгебрі може бути корисно визначити всі фактори числа. Це називається факторингом числа, і це може допомогти нам вирішити багато видів проблем.

    Наприклад, припустимо, хореограф планує танець для балетного концерту. Є 24 танцюристи, і для певної сцени хореограф хоче розташувати танцюристів в групи рівних розмірів на сцені.

    Скільки способів танцюристів можна розкласти в групи однакового розміру? Відповісти на це питання так само, як і виявлення факторів\(24\). Таблиця\(\PageIndex{6}\) підсумовує різні способи, якими хореограф може влаштувати танцюристів.

    Таблиця\(\PageIndex{6}\)
    Кількість груп Танцюристи за групою Всього танцюристів
    1 24 1 • 24 = 24
    2 12 2 • 12 = 24
    3 8 3 • 8 = 24
    4 6 4 • 6 = 24
    6 4 6 • 4 = 24
    8 3 8 • 3= 24
    12 2 12 • 2= 24
    24 1 24 • 1 = 24

    Які закономірності ви бачите в таблиці\(\PageIndex{6}\)? Ви помітили, що кількість груп разів перевищує кількість танцюристів у групі завжди\(24\)? Це має сенс, так як\(24\) танцюристи завжди є.

    Ви можете помітити ще один візерунок, якщо уважно подивитися на перші два стовпчики. Ці два стовпці містять однаковий набір чисел, але в зворотному порядку. Вони являють собою дзеркала один одного, і насправді в обох колонках перераховані всі фактори\(24\), якими є:

    \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\)

    Ми можемо знайти всі фактори будь-якого підрахунку числа, систематично діливши число на кожне рахувальне число, починаючи з\(1\). Якщо частка також є рахунковим числом, то дільник і частка - множники числа. Ми можемо зупинитися, коли частка стає меншою, ніж дільник.

    ЯК: ЗНАЙТИ ВСІ ФАКТОРИ РАХУНКОВОГО ЧИСЛА.

    Крок 1. Розділіть число на кожне з рахункових чисел, по порядку, поки частка не стане менше дільника.

    • Якщо частка є рахунковим числом, дільник і частка є парою множників.
    • Якщо частка не є рахунковим числом, дільник не є коефіцієнтом.

    Крок 2. Перелічити всі пари факторів.

    Крок 3. Напишіть всі фактори по порядку від найменшого до найбільшого.

    Приклад\(\PageIndex{7}\): factors

    Знайдіть всі фактори\(72\).

    Рішення

    Розділіть\(72\) на кожне з рахункових чисел, що починаються з\(1\). Якщо частка є цілим числом, дільник і частка є парою множників.

    На малюнку представлена таблиця з десятьма рядками і чотирма стовпцями. Перший рядок є рядком заголовка і позначає рядки «Дивіденд», «Дільник», «Частка» та «Фактори». У стовпці «Дивіденди» всі рядки показують число 72. У другому рядку стовпчик «Дільник» дорівнює 1, стовпчик «Коефіцієнт» - 72, а стовпець «Фактори» - 1 та 72. У третьому рядку стовпець «Дільник» дорівнює 2, стовпець «Коефіцієнт» - 36, а стовпець «Фактори» - 2 та 36. У четвертому рядку стовпець «Дільник» дорівнює 3, стовпець «Коефіцієнт» - 24, а стовпець «Фактори» - 3 та 24. У п'ятому рядку стовпець «Дільник» дорівнює 4, стовпчик «Коефіцієнт» - 18, а стовпець «Фактори» - 4 та 18. У шостому рядку стовпчик «Дільник» дорівнює 5, стовпець «Коефіцієнт» - 14,4, а стовпець «Фактори» порожній. У сьомому рядку стовпчик «Дільник» дорівнює 6, стовпець «Коефіцієнт» - 12, а стовпець «Фактори» - 6 і 12. У восьмому рядку стовпчик «Дільник» дорівнює 7, стовпець «Коефіцієнт» - близько 10,29, а стовпець «Фактори» порожній. У дев'ятому рядку стовпець «Дільник» дорівнює 8, стовпець «Коефіцієнт» - 9, а стовпець «Фактори» - 8 та 9. У десятому рядку стовпець «Дільник» дорівнює 9, стовпець «Коефіцієнт» - 8, а стовпець «Фактори» - 9 та 8.

    Наступний рядок буде мати дільник\(9\) і частка від\(8\). Частка буде менше, ніж дільник, тому ми зупиняємося. Якби ми продовжили, ми б в кінцевому підсумку перерахували лише ті самі фактори знову у зворотному порядку. Перераховуючи всі фактори від найменших до найбільших, ми маємо\(1\),\(2\),\(3\),\(4\),\(6\),\(8\),,\(9\),\(12\),\(18\),\(24\),\(36\),, і\(72\).

    Вправа\(\PageIndex{13}\)

    Знайдіть всі фактори даного числа:\(96\)

    Відповідь

    \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96\)

    Вправа\(\PageIndex{14}\)

    Знайдіть всі фактори даного числа:\(80\)

    Відповідь

    \(1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80\)

    Автори та авторства