2.5: Розв'язування рівнянь з використанням властивостей віднімання та додавання рівності (частина 1)
- Page ID
- 57835
- Визначте, чи є число розв'язком рівняння
- Модель віднімання властивості рівності
- Розв'язуйте рівняння за допомогою властивості віднімання рівності
- Розв'язуйте рівняння за допомогою властивості додавання рівності
- Перекладіть словосполучення на алгебраїчні рівняння
- Перевести на рівняння і вирішити
Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.
- Оцініть\(x + 8\), коли\(x = 11\). Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.2.1.
- Оцініть\(5x − 3\), коли\(x = 9\). Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.2.2.
- Перевести на алгебру: різниця\(x\) і\(8\). Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.2.11.
Коли деякі люди чують слово алгебра, вони думають про рішення рівнянь. Застосування рішення рівнянь безмежні і поширюються на всі кар'єри та галузі. У цьому розділі ми почнемо розв'язувати рівняння. Ми почнемо з вирішення основних рівнянь, а потім, продовжуючи курс, ми будемо розвивати наші навички, щоб охопити багато різних форм рівнянь.
Визначте, чи є число розв'язком рівняння
Вирішення рівняння - це все одно, що виявити відповідь на головоломку. Алгебраїчне рівняння стверджує, що два алгебраїчні вирази рівні. Вирішити рівняння - це визначити значення змінної, які роблять рівняння істинним твердженням. Будь-яке число, яке робить рівняння істинним, називається розв'язком рівняння. Це відповідь на головоломку!
Рішення рівняння - це значення змінної, яка робить істинний твердження при підстановці в рівняння. Процес знаходження рішення рівняння називається вирішенням рівняння.
Знайти рішення рівняння означає знайти значення змінної, яка робить рівняння істинним. Чи можете ви розпізнати рішення\(x + 2 = 7\)? Якщо ви сказали\(5\), ви маєте рацію! Ми говоримо\(5\), що це рішення рівняння,\(x + 2 = 7\) тому що коли ми\(5\) підставляємо результуючий оператор істинно.\(x\)
\[\begin{split} x + 2 & = 7 \\ 5 + 2 & \stackrel{?}{=} 7 \\ 7 & = 7 \; \checkmark \end{split} \nonumber \]
Оскільки\(5 + 2 = 7\) це справжнє твердження, ми знаємо, що\(5\) це дійсно рішення рівняння. Символ\(\stackrel{?}{=}\) запитує, чи дорівнює ліва частина рівняння правій. Як тільки ми дізнаємось, ми можемо змінити на знак рівності (\(=\)) або знак нерівності (\(≠\)).
Крок 1. Підставляємо число для змінної в рівняння.
Крок 2. Спростіть вирази з обох сторін рівняння.
Крок 3. Визначте, чи істинно отримане рівняння.
- Якщо це правда, число - це рішення.
- Якщо це не відповідає дійсності, число не є рішенням.
\(x = 5\)Визначте, чи є рішення\(6x − 17 = 16\).
Рішення
| \(6x − 17 = 16\) | |
| \(\textcolor{red}{5}\)Замінюємо x. | \(6 \cdot \textcolor{red}{5} - 17 \stackrel{?}{=} 16\) |
| Помножити. | \(30 - 17 \stackrel{?}{=} 16\) |
| Відняти | \(13 \neq 16\) |
Так що\(x = 5\) це не рішення рівняння\(6x − 17 = 16\).
Чи\(x = 3\) є рішенням\(4x − 7 = 16\)?
- Відповідь
-
ні
Чи\(x = 2\) є рішенням\(6x − 2 = 10\)?
- Відповідь
-
так
\(y = 2\)Визначте, чи є рішення\(6y − 4 = 5y − 2\).
Рішення
Тут змінна з'являється по обидва боки рівняння. Ми повинні замінити\(2\) кожного\(y\).
| \(6y − 4 = 5y − 2\) | |
| \(\textcolor{red}{2}\)Замінник у. | \(6(\textcolor{red}{2}) - 4 \stackrel{?}{=} 5(\textcolor{red}{2}) - 2\) |
| Помножити. | \(12 - 4 \stackrel{?}{=} 10 - 2\) |
| Відняти | \(8 = 8 \; \checkmark\) |
Оскільки\(y = 2\) призводить до істинного рівняння, ми знаємо, що\(2\) це рішення рівняння\(6y − 4 = 5y − 2\).
Чи\(y = 3\) є рішенням\(9y − 2 = 8y + 1\)?
- Відповідь
-
так
Чи\(y = 4\) є рішенням\(5y − 3 = 3y + 5\)?
- Відповідь
-
так
Модель віднімання властивості рівності
Ми будемо використовувати модель, щоб допомогти вам зрозуміти, як процес розв'язання рівняння схожий на вирішення головоломки. Конверт представляє змінну - оскільки її вміст невідомий - і кожен лічильник представляє одну.
Припустимо, письмовий стіл має уявну лінію, що розділяє його навпіл. Розміщуємо три прилавки і конверт на лівій стороні столу, а вісім лічильників на правій стороні столу, як на малюнку\(\PageIndex{1}\). Обидві сторони письмового столу мають однакову кількість прилавків, але деякі лічильники заховані в конверті. Чи можете ви сказати, скільки лічильників в конверті?
Малюнок\(\PageIndex{1}\)
Які кроки ви приймаєте в своєму розумі, щоб з'ясувати, скільки лічильників в конверті? Можливо, ви думаєте: «Мені потрібно прибрати\(3\) лічильники з лівого боку, щоб конверт вийшов сам по собі. Ці\(3\) лічильники зліва збігаються з\(3\) праворуч, так що я можу забрати їх з обох сторін. Це залишає п'ять лічильників праворуч, тому в конверті повинні бути\(5\) лічильники». Малюнок\(\PageIndex{2}\) показує цей процес.
Малюнок\(\PageIndex{2}\)
Яке алгебраїчне рівняння моделюється цією ситуацією? Кожна сторона письмового столу являє собою вираз, а центральна лінія займає місце знака рівності. Ми будемо називати вміст конверта\(x\), тому кількість лічильників з лівого боку письмового столу дорівнює\(x + 3\). З правого боку від письмового столу стоять\(8\) лічильники. Нам кажуть, що\(x + 3\) дорівнює\(8\) тому наше рівняння\(x + 3 = 8\).
Малюнок\(\PageIndex{3}\)
\(x + 3 = 8\)
Давайте напишемо алгебраїчно кроки, які ми зробили, щоб виявити, скільки лічильників було в конверті.
| \(x + 3 = 8\) | |
| Спочатку ми відняли по три з кожного боку. | \(x + 3 \textcolor{red}{-3} = 8 \textcolor{red}{-3}\) |
| Тоді нас залишилося з п'ятьма. | \(x = 5\) |
Тепер давайте перевіримо наше рішення. Ми\(5\) підставляємо\(x\) в вихідне рівняння і дивимося, чи отримаємо ми справжнє твердження.
\[\begin{split} x + 3 & = 8 \\ \textcolor{red}{5} + 3 & \stackrel{?}{=} 8 \\ 8 & = 8 \; \checkmark \end{split} \nonumber \]
Наше рішення правильне. П'ять лічильників в конверті плюс ще три дорівнює восьми
Напишіть рівняння, змодельоване конвертами і лічильниками, а потім вирішіть рівняння:
Малюнок\(\PageIndex{4}\)
Рішення
| Зліва пишемо х для вмісту конверта, додаємо 4 лічильника, так що у нас є х + 4. | х + 4 |
| Праворуч є 5 лічильників. | 5 |
| Дві сторони рівні. | х + 4 = 5 |
| Вирішіть рівняння, віднімаючи 4 лічильника з кожного боку. |
Малюнок\(\PageIndex{5}\)
Ми бачимо, що в конверті є один лічильник. Це може бути показано алгебраїчно як:
\[\begin{split} x + 4 & = 5 \\ x + 4 \textcolor{red}{-4} & = 5 \textcolor{red}{-4} \\ x & = 1 \end{split} \nonumber \]
\(1\)\(x\)Замінюємо в рівняння для перевірки.
\[\begin{split} x + 4 & = 5 \\ \textcolor{red}{1} + 4 & \stackrel{?}{=} 5 \\ 5 & = 5 \; \checkmark \end{split} \nonumber \]
Оскільки твердження\(x = 1\) робить правдивим, ми знаємо, що\(1\) це дійсно рішення.
Напишіть рівняння, змодельоване конвертами і лічильниками, а потім вирішіть рівняння:
Малюнок\(\PageIndex{6}\)
- Відповідь
-
\(x + 1 = 7; x = 6\)
Напишіть рівняння, змодельоване конвертами і лічильниками, а потім вирішіть рівняння:
Малюнок\(\PageIndex{7}\)
- Відповідь
-
\(x + 3 = 4; x = 1\)
Розв'язуйте рівняння з використанням властивості віднімання рівності
Наша головоломка дала нам уявлення про те, що нам потрібно зробити, щоб вирішити рівняння. Мета полягає в тому, щоб виділити змінну сама по собі на одній стороні рівнянь. У попередніх прикладах ми використовували властивість віднімання рівності, яка стверджує, що коли ми віднімаємо однакову величину з обох сторін рівняння, ми все ще маємо рівність.
Для будь-яких чисел\(a\)\(b\), і\(c\), якщо\(a = b\) тоді\(a − c = b − c\)
Подумайте про братів-близнюків Енді і Боббі. Їм\(17\) років. Скільки років Енді було\(3\) років тому? Він був\(3\) років менше\(17\), тому його вік був\(17 − 3\), або\(14\). А як щодо віку Боббі\(3\) років тому? Звичайно, він\(14\) теж був. Їх вік зараз рівний, і віднімання однакової кількості з обох призвело до рівного віку\(3\) років тому.
\[\begin{split} a & = b \\ a - 3 & = b - 3 \end{split} \nonumber \]
Крок 1. Використовуйте властивість віднімання рівності, щоб ізолювати змінну.
Крок 2. Спростіть вирази з обох сторін рівняння.
Крок 3. Перевірте розчин.
Вирішити:\(x + 8 = 17\).
Рішення
Ми будемо використовувати властивість віднімання рівності для ізоляції\(x\).
| \(x + 8 = 17\) | |
| Відніміть 8 з обох сторін. | \(x + 8 \textcolor{red}{-8} = 17 \textcolor{red}{-8}\) |
| Спростити. | \(x = 9\) |
| Перевірте розчин. | \(\textcolor{red}{9} + 8 = 17\) |
| \(17 = 17 \; \checkmark\) |
Оскільки\(x = 9\) робить\(x + 8 = 17\) правдиве твердження, ми знаємо,\(9\) що це рішення рівняння.
Вирішити:\(x + 6 = 19\)
- Відповідь
-
\(x=13\)
Вирішити:\(x + 9 = 14\)
- Відповідь
-
\(x=5\)
Вирішити:\(100 = y + 74\).
Рішення
Щоб вирішити рівняння, ми завжди повинні ізолювати змінну - неважливо, на якій стороні вона знаходиться. Щоб виділити y, віднімемо\(74\) з обох сторін.
| \(100 = y + 74\) | |
| Відніміть 74 з обох сторін. | \(100 \textcolor{red}{-74} = y + 74 \textcolor{red}{-74}\) |
| Спростити. | \(26 = y\) |
| Замініть 26 на y, щоб перевірити | \(100 \stackrel{?}{=} \textcolor{red}{26} + 74\) |
| \(100 = 100 \; \checkmark\) |
Оскільки\(y = 26\) робить\(100 = y + 74\) правдиве твердження, ми знайшли рішення цього рівняння.
Вирішити:\(95 = y + 67\)
- Відповідь
-
\(y=28\)
Вирішити:\(91 = y + 45\)
- Відповідь
-
\(y=46\)
Розв'язуйте рівняння з використанням властивості додавання рівності
У всіх рівняннях, які ми розв'язали до цих пір, до змінної на одній стороні рівняння було додано число. Ми використовували віднімання для «скасування» додавання, щоб ізолювати змінну.
Але припустимо, що у нас є рівняння з числом віднімається від змінної, наприклад\(x − 5 = 8\). Ми хочемо ізолювати змінну, тому, щоб «скасувати» віднімання ми додамо число в обидві сторони.
Ми використовуємо властивість додавання рівності, яка говорить, що ми можемо додати одне і те ж число до обох сторін рівняння, не змінюючи рівності. Зверніть увагу, як він відображає властивість віднімання рівності.
Для будь-яких чисел\(a\)\(b\), і\(c\), якщо\(a = b\) тоді\(a + c = b + c\)
Пам'ятаєте\(17\) -річних близнюків, Енді та Боббі? Через десять років вік Енді все одно буде дорівнювати віку Боббі. Вони обидва будуть\(27\).
\[\begin{split} a & = b \\ a + 10 & = b + 10 \end{split} \nonumber \]
Ми можемо додати однакове число до обох сторін і все одно зберегти рівність.
Крок 1. Використовуйте властивість додавання рівності, щоб ізолювати змінну.
Крок 2. Спростіть вирази з обох сторін рівняння.
Крок 3. Перевірте розчин.
Вирішити:\(x − 5 = 8\).
Рішення
Ми будемо використовувати властивість додавання рівності, щоб ізолювати змінну.
| \(x − 5 = 8\) | |
| Додайте по 5 з обох сторін. | \(x − 5 \textcolor{red}{+5} = 8 \textcolor{red}{+5}\) |
| Спростити | \(x = 13\) |
| Тепер ми можемо перевірити. Нехай х =\(\textcolor{red}{13}\). | \(\textcolor{red}{13} - 5 \stackrel{?}{=} 8\) |
| \(8 = 8 \; \checkmark\) |
Вирішити:\(x − 9 = 13\)
- Відповідь
-
\(x=22\)
Вирішити:\(y − 1 = 3\)
- Відповідь
-
\(y=4\)
Вирішити:\(27 = a − 16\).
Рішення
Ми додамо\(16\) до кожної сторони, щоб ізолювати змінну.
| \(27 = a − 16\) | |
| Додайте по 16 в кожну сторону. | \(27 \textcolor{red}{+16} = a − 16 \textcolor{red}{+16}\) |
| Спростити. | \(43 = a\) |
| Тепер ми можемо перевірити. Нехай а =\(\textcolor{red}{43}\). | \(27 \stackrel{?}{=} \textcolor{red}{43} - 16\) |
| \(27 = 27 \; \checkmark\) |
Рішення\(27 = a − 16\) є\(a = 43\).
Вирішити:\(19 = a − 18\)
- Відповідь
-
\(a=37\)
Вирішити:\(27 = n − 14\)
- Відповідь
-
\(n=41\)