2.3: Оцінювання, спрощення та переклад виразів (частина 1)
- Page ID
- 57863
- Оцінити алгебраїчні вирази
- Визначте терміни, коефіцієнти тощо
- Спростіть вирази, комбінуючи подібні терміни
- Перекладіть словосполучення на алгебраїчні вирази
Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.
- Це\(n ÷ 5\) вираз або рівняння? Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.1.4.
- Спростити\(4^5\). Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.1.6.
- Спростити\(1 + 8 • 9\). Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.1.8.
Оцінити алгебраїчні вирази
В останньому розділі ми спростили вирази, використовуючи порядок операцій. У цьому розділі ми будемо оцінювати вирази - знову слідуючи порядку операцій.
Оцінити алгебраїчний вираз означає знайти значення виразу при заміні змінної на задане число. Для оцінки виразу підставляємо задане число для змінної у виразі, а потім спрощуємо вираз, використовуючи порядок операцій.
Оцініть\(x + 7\), коли
- \(x = 3\)
- \(x = 12\)
Рішення
- Щоб оцінити, підставити\(3\)\(x\) в вираз, а потім спростити.
| \(x + 7\) | |
| Замінник. | \(\textcolor{red}{3} + 7\) |
| Додати. | \(10\) |
Коли\(x = 3\), вираз\(x + 7\) має значення\(10\).
- Щоб оцінити, підставити\(12\)\(x\) в вираз, а потім спростити.
| \(x + 7\) | |
| Замінник. | \(\textcolor{red}{12} + 7\) |
| Додати. | \(19\) |
Коли\(x = 12\), вираз\(x + 7\) має значення\(19\). Зверніть увагу, що ми отримали різні результати для частин (a) і (b), хоча ми почали з того ж виразу. Це пов'язано з тим, що значення, що використовуються для\(x\) були різними. Коли ми оцінюємо вираз, значення змінюється в залежності від значення, яке використовується для змінної.
Оцініть:\(y + 4\) коли
- \(y = 6\)
- \(y = 15\)
- Відповідь на
-
\(10\)
- Відповідь б
-
\(19\)
Оцініть:\(a − 5\) коли
- \(a = 9\)
- \(a = 17\)
- Відповідь на
-
\(4\)
- Відповідь б
-
\(12\)
Оцініть\(9x − 2\), коли
- \(x = 5\)
- \(x = 1\)
Рішення
Запам'ятайте\(ab\) означає\(a\) часи\(b\),\(9x\) значить,\(9\) часи\(x\).
- Щоб оцінити вираз коли\(x = 5\),\(5\) підставляємо\(x\), а потім спрощуємо.
| \(9x - 2\) | |
| \(\textcolor{red}{5}\)Замінюємо x. | \(9 \cdot \textcolor{red}{5} - 2\) |
| Помножити. | \(45 - 2\) |
| Відніміть. | \(43\) |
- Щоб оцінити вираз коли\(x = 1\),\(1\) підставляємо\(x\), а потім спрощуємо.
| \(9x - 2\) | |
| \(\textcolor{red}{1}\)Замінюємо x. | \(9 \cdot \textcolor{red}{1} - 2\) |
| Помножити. | \(9 - 2\) |
| Відніміть. | \(7\) |
Зверніть увагу, що в частині (а) що ми написали\(9 • 5\) і в частині (б) ми писали\(9(1)\). І точка, і дужки говорять нам про множення.
Оцінити:\(8x − 3\), коли
- \(x = 2\)
- \(x = 1\)
- Відповідь на
-
\(13\)
- Відповідь б
-
\(5\)
Оцінити:\(4y − 4\), коли
- \(y = 3\)
- \(y = 5\)
- Відповідь на
-
\(8\)
- Відповідь б
-
\(16\)
Оцініть\(x^2\), коли\(x = 10\).
Рішення
\(10\)Підставляємо\(x\), а потім спрощуємо вираз.
| \(x^{2}\) | |
| \(\textcolor{red}{10}\)Замінюємо x. | \(\textcolor{red}{10}^{2}\) |
| Скористайтеся визначенням показника. | \(10 \cdot 10\) |
| Помножити | \(100\) |
Коли\(x = 10\), вираз\(x^2\) має значення\(100\).
Оцініть:\(x^2\) коли\(x = 8\).
- Відповідь
-
\(64\)
Оцініть:\(x^3\) коли\(x = 6\).
- Відповідь
-
\(216\)
Оцініть\(2^x\), коли\(x = 5\).
Рішення
У цьому виразі змінна є показником.
| \(2^{x}\) | |
| \(\textcolor{red}{5}\)Замінюємо x. | \(2^{\textcolor{red}{5}}\) |
| Скористайтеся визначенням показника. | \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\) |
| Помножити | \(32\) |
Коли\(x = 5\), вираз\(2^x\) має значення\(32\).
Оцініть:\(2^x\) коли\(x = 6\).
- Відповідь
-
\(64\)
Оцініть:\(3^x\) коли\(x = 4\).
- Відповідь
-
\(81\)
Оцініть\(3x + 4y − 6\), коли\(x = 10\) і\(y = 2\).
Рішення
Цей вираз містить дві змінні, тому ми повинні зробити дві заміни.
| \(3x + 4y − 6\) | |
| \(\textcolor{red}{10}\)Замініть x і\(\textcolor{blue}{2}\) на y. | \(3(\textcolor{red}{10}) + 4(\textcolor{blue}{2}) − 6\) |
| Помножити. | \(30 + 8 - 6\) |
| Додавання і віднімання зліва направо. | \(32\) |
Коли\(x = 10\) і\(y = 2\), вираз\(3x + 4y − 6\) має значення\(32\).
Оцініть:\(2x + 5y − 4\) коли\(x = 11\) і\(y = 3\)
- Відповідь
-
\(33\)
Оцініть:\(5x − 2y − 9\) коли\(x = 7\) і\(y = 8\)
- Відповідь
-
\(10\)
Оцініть\(2x^2 + 3x + 8\), коли\(x = 4\).
Рішення
Ми повинні бути обережними, коли вираз має змінну з показником. У цьому виразі\(2x^2\) означає\(2 • x • x\) і відрізняється від виразу\((2x)^2\), що означає\(2x • 2x\).
| \(2x^{2} + 3x + 8\) | |
| \(\textcolor{red}{4}\)Замінюємо для кожного х. | \(2(\textcolor{red}{4})^{2} + 3(\textcolor{red}{4}) + 8\) |
| Спрощення 4 2. | \(2(16) + 3(4) + 8\) |
| Помножити. | \(32 + 12 + 8\) |
| Додати. | \(52\) |
Оцініть:\(3x^2 + 4x + 1\) коли\(x = 3\).
- Відповідь
-
\(40\)
Оцініть:\(6x^2 − 4x − 7\) коли\(x = 2\).
- Відповідь
-
\(9\)
Визначте терміни, коефіцієнти та подібні терміни
Алгебраїчні вирази складаються з термінів. Термін - це константа або добуток константи і однієї або декількох змінних. Деякі приклади термінів є\(7\),\(y\),\(5x^2\),\(9a\), і\(13xy\).
Константа, яка множить змінну (и) в термін, називається коефіцієнтом. Ми можемо думати про коефіцієнт як число перед змінною. Коефіцієнт терміну\(3x\) дорівнює\(3\). Коли ми пишемо\(x\), коефіцієнт є\(1\), так як\(x = 1 • x\). Таблиця\(\PageIndex{1}\) дає коефіцієнти для кожного з термінів в лівій колонці.
| Термін | Коефіцієнт |
|---|---|
| 7 | 7 |
| 9а | 9 |
| у | 1 |
| 5х 2 | 5 |
Алгебраїчний вираз може складатися з одного або декількох доданих або відніманих термінів. У цьому розділі ми будемо працювати тільки з термінами, які складаються разом. У таблиці\(\PageIndex{2}\) наведено деякі приклади алгебраїчних виразів з різною кількістю термінів. Зверніть увагу, що ми включаємо операцію до терміну з нею.
| Вираз | Терміни |
|---|---|
| 7 | 7 |
| у | у |
| х + 7 | х, 7 |
| 2х + 7 років + 4 | 2х, 7й, 4 |
| 3х 2 + 4х 2 + 5у + 3 | 3х 2, 4х 2, 5г, 3 |
Визначте кожен термін у виразі\(9b + 15x^2 + a + 6\). Потім визначте коефіцієнт кожного члена.
Рішення
Вираз має чотири терміни. Вони є\(9b\),\(15x^2\),\(a\), і\(6\).
Коефіцієнт\(9b\) становить\(9\).
Коефіцієнт\(15x^2\) становить\(15\).
Пам'ятайте, що якщо перед змінною не записано число, коефіцієнт є\(1\). Отже, коефіцієнт а є\(1\).
Коефіцієнт константи є постійною, тому коефіцієнт\(6\) є\(6\).
Визначте всі терміни в даному виразі, і їх коефіцієнти:\(4x + 3b + 2\)
- Відповідь
-
Терміни є\(4x, 3b,\) і\(2\). Коефіцієнти\(4, 3,\) становлять і\(2\).
Визначте всі терміни в даному виразі, і їх коефіцієнти:\(9a + 13a^2 + a^3\)
- Відповідь
-
Умови є\(9a, 13a^2,\) і\(a^3\), Коефіцієнти є\(9, 13,\) і\(1\).
Деякі терміни мають спільні риси. Подивіться на наступні терміни. Які з них, здається, мають спільні риси?
\(5x, 7, n^{2}, 4, 3x, 9n^{2}\)
Які з цих термінів схожі на терміни?
- Терміни\(7\) і\(4\) є одночасно постійними термінами.
- Терміни\(5x\) і\(3x\) є обома термінами с\(x\).
- Терміни\(n^2\) і\(9n^2\) обидва мають\(n^2\).
Терміни називаються як терміни, якщо вони мають однакові змінні та показники. Всі постійні терміни теж схожі на терміни. Так що серед термінів\(5x, 7, n^2, 4, 3x, 9n^2, 7\) і\(4\) є як терміни,\(5x\) і\(3x\) схожі на терміни,\(n^2\) і\(9n^2\) схожі на терміни.
Терміни, які є або константами, або мають однакові змінні з однаковими показниками, схожі на терміни.
Визначте подібні терміни:
- \(y^3, 7x^2, 14, 23, 4y^3, 9x, 5x^2\)
- \(4x^2 + 2x + 5x^2 + 6x + 40x + 8xy\)
Рішення
- \(y^3, 7x^2, 14, 23, 4y^3, 9x, 5x^2\)
Подивіться на змінні та показники. Вираз містить\(y^3, x^2, x\), і константи. Терміни\(y^3\) і\(4y^3\) схожі на терміни, тому що вони обидва мають\(y^3\). Терміни\(7x^2\) і\(5x^2\) схожі на терміни, тому що вони обидва мають\(x^2\). Терміни\(14\) і\(23\) схожі на терміни, тому що вони обидва константи. Термін\(9x\) не має жодних подібних термінів у цьому списку, оскільки жодні інші терміни не мають змінної,\(x\) піднятої до влади\(1\).
- \(4x^2 + 2x + 5x^2 + 6x + 40x + 8xy\)
Подивіться на змінні та показники. Вираз містить терміни\(4x^2, 2x, 5x^2, 6x, 40x\), а Терміни\(4x^2\) і\(5x^2\) схожі\(8xy\) на терміни, тому що вони обидва мають\(x^2\). Терміни\(2x, 6x\), і\(40x\) схожі на терміни, тому що всі вони мають\(x\). Термін не\(8xy\) має подібних термінів у даному виразі, оскільки жодні інші терміни не містять двох змінних\(xy\).
Визначте подібні терміни в списку або виразі:\(9, 2x^3, y^2, 8x^3, 15, 9y, 11y^2\)
- Відповідь
-
\(9, 15\);\(2x^3\) і\(8x^3\),\(y^2\), і\(11y^2\)
Визначте подібні терміни в списку або виразі:\(4x^3 + 8x^2 + 19 + 3x^2 + 24 + 6x^3\)
- Відповідь
-
\(4x^3\)і\(6x^3\);\(8x^2\) і\(3x^2\);\(19\) і\(24\)
Спростіть вирази, поєднуючи подібні терміни
Ми можемо спростити вираз, об'єднавши подібні терміни. Як ви думаєте, що\(3x + 6x\) спростило б? Якби ви думали\(9x\), ви б мали рацію!
Ми можемо зрозуміти, чому це працює, написавши обидва терміни як проблеми додавання.
Складіть коефіцієнти і збережіть ту ж змінну. Не має значення, що\(x\) таке. Якщо у вас є\(3\) щось і додати\(6\) більше одного і того ж, результат -\(9\) з них. Наприклад,\(3\) апельсини плюс\(6\) апельсини - це\(9\) апельсини. Математичні властивості, що стоять за цим, ми обговоримо пізніше.
Вираз\(3x + 6x\) має всього два терміни. Коли вираз містить більше термінів, може бути корисним переставити терміни так, щоб подібні терміни були разом. Комутативне властивість додавання говорить, що ми можемо змінити порядок доповнення, не змінюючи суму. Таким чином, ми могли б переставити наступний вираз перед об'єднанням як терміни.
Тепер легше побачити подібні терміни, які потрібно комбінувати.
Крок 1. Визначте подібні терміни.
Крок 2. Перевпорядкуйте вираз так, як терміни разом.
Крок 3. Складіть коефіцієнти подібних термінів.
Спростити вираз:\(3x + 7 + 4x + 5\).
Рішення
| \(3x + 7 + 4x + 5\) | |
| Визначте подібні терміни | \(\textcolor{red}{3x} + \textcolor{blue}{7} + \textcolor{red}{4x} + \textcolor{blue}{5}\) |
| Перевпорядкуйте вираз, щоб подібні терміни були разом. | \(\textcolor{red}{3x} + \textcolor{red}{4x} + \textcolor{blue}{7} + \textcolor{blue}{5}\) |
| Складіть коефіцієнти подібних термінів. | \(\textcolor{red}{7x} + \textcolor{blue}{12}\) |
| Оригінальний вираз спрощено до... | \(7x + 12\) |
Спростити:\(7x + 9 + 9x + 8\)
- Відповідь
-
\(16x+17\)
Спростити:\(5y + 2 + 8y + 4y + 5\)
- Відповідь
-
\(17y+7\)
Спростити вираз:\(7x^2 + 8x + x^2 + 4x\).
Рішення
| \(7x^{2} + 8x + x^{2} + 4x\) | |
| Визначте подібні терміни. | \(\textcolor{red}{7x^{2}} + \textcolor{blue}{8x} + \textcolor{red}{x^{2}} + \textcolor{blue}{4x}\) |
| Перевпорядкуйте вираз так, як терміни разом. | \(\textcolor{red}{7x^{2}} + \textcolor{red}{x^{2}} + \textcolor{blue}{8x} + \textcolor{blue}{4x}\) |
| Складіть коефіцієнти подібних термінів. | \(\textcolor{red}{8x^{2}} + \textcolor{blue}{12x}\) |
Вони не схожі на терміни і не можуть бути об'єднані. Так\(8x^2 + 12x\) і в найпростішому вигляді.
Спростити:\(3x^2 + 9x + x^2 + 5x\)
- Відповідь
-
\(4x^2+14x\)
Спростити:\(11y^2 + 8y + y^2 + 7y\)
- Відповідь
-
\(12y^2+15y\)