2.2: Використовуйте мову алгебри (частина 2)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57846

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Спрощення виразів за допомогою порядку операцій

Ми ввели більшість символів і позначень, що використовуються в алгебрі, але тепер нам потрібно уточнити порядок операцій. В іншому випадку вирази можуть мати різне значення, і вони можуть привести до різних значень. Для прикладу розглянемо вираз:\[4 + 3 \cdot 7 \nonumber\]

Деякі студенти кажуть, що це спрощує	49	Деякі студенти кажуть, що це спрощує	25
Так як 4 + 3 дає 7.	4 + 3 • 7 = 7 • 7	З 3 • 7 дорівнює 21.	4 + 3 • 7 = 4 + 21
А 7 • 7 - 49.	7 • 7 = 49	А 21 + 4 робить 25.	4 + 21 = 25

Уявіть собі плутанину, яка могла б спричинити, якби кожна проблема мала кілька різних правильних відповідей. Один і той же вираз має дати той же результат. Так математики встановили деякі орієнтири, які називаються порядком операцій, які окреслюють порядок, в якому частини виразу повинні бути спрощені.

Визначення: Порядок операцій

При спрощенні математичних виразів виконуйте операції в наступному порядку:

P арентези та інші угруповання символів

Спростіть усі вирази всередині дужок або інших символів групування, спочатку працюючи над самими внутрішніми дужками.

Е-компоненти

Спростити всі вирази з показниками.

Мультиплікація та 3D поділ

Виконайте все множення і ділення по порядку зліва направо. Ці операції мають однаковий пріоритет.

Додавання і віднімання S

Виконайте всі додавання і віднімання по порядку зліва направо. Ці операції мають однаковий пріоритет.

Студенти часто запитують: «Як я запам'ятаю наказ?» Ось спосіб допомогти вам запам'ятати: візьміть першу літеру кожного ключового слова і підмініть дурну фразу. П, будь ласка, вибачте мене, мій D, рік A одиниця S союзника.

Таблиця\(\PageIndex{8}\)
Порядок операцій
П лізинг	P арентези
E обвинування	Е-компоненти
Мій мій D рік	Мультиплікація та 3D поділ
Союз одиниці США	Додавання і віднімання S

Добре, що «M y D ear» йде разом, оскільки це нагадує нам, що моє множення та поділ D мають однаковий пріоритет. Ми не завжди робимо множення перед діленням або завжди робимо ділення перед множенням. Робимо їх по порядку зліва направо.

Аналогічно, «Unit S союзник» йде разом і так нагадує нам, що додавання та віднімання також мають однаковий пріоритет, і ми робимо їх у порядку зліва направо.

Приклад\(\PageIndex{8}\): simplify

Спростіть вирази:

\(4 + 3 • 7\)
\((4 + 3) • 7\)

Рішення

Чи є круглі дужки? Ні. Чи є якісь експоненти? Ні. Чи є множення або ділення? Так.	\(4 + 3 \cdot 7\)
Першим помножте.	\(4 + \textcolor{red}{3 \cdot 7}\)
Додати.	\(4 + 21\)
	\(25\)

Чи є круглі дужки? Так.	\((4 + 3) \cdot 7\)
Спростити всередині дужок.	\(\textcolor{red}{(4 + 3)} \cdot 7\)
Чи є якісь експоненти? Ні. Чи є множення або ділення? Так.	\((7)7\)
Помножити.	\(49\)

вправа\(\PageIndex{15}\)

Спростіть вирази:

\(12 − 5 • 2\)
\((12 − 5) • 2\)

Відповідь на: \(2\)
Відповідь б: \(14\)

вправа\(\PageIndex{16}\)

Спростіть вирази:

\(8 + 3 • 9\)
\((8 + 3) • 9\)

Відповідь на: \(35\)
Відповідь б: \(99\)

Приклад\(\PageIndex{9}\): simplify

Спростити:

\(18 ÷ 9 • 2\)
\(18 • 9 ÷ 2\)

Рішення

Чи є круглі дужки? Ні. Чи є якісь експоненти? Ні. Чи є множення або ділення? Так.	\(18 \div 9 \cdot 2\)
Множимо і ділимо зліва направо. Розділити.	\(\textcolor{red}{2} \cdot 2\)
Помножити.	\(4\)

Чи є круглі дужки? Ні. Чи є якісь експоненти? Ні. Чи є множення або ділення? Так.	\(18 \cdot 9 \div 2\)
Множимо і ділимо зліва направо. Помножити.	\(\textcolor{red}{162} \div 2\)
Розділити.	\(81\)

вправа\(\PageIndex{17}\)

Спростити:\(42 ÷ 7 • 3\)

Відповідь: \(18\)

вправа\(\PageIndex{18}\)

Спростити:\(12 • 3 ÷ 4\)

Відповідь: \(9\)

Приклад\(\PageIndex{10}\): simplify

Спростити:\(18 ÷ 6 + 4(5 − 2)\).

Рішення

Дужки? Так, спочатку відніміть.	\(18 \div 6 + 4(5-2)\)
Показники? Ні. Множення або ділення? Так.	\(18 \div 6 + 4(\textcolor{red}{3})\)
Ділимо спочатку, тому що множимо і ділимо зліва направо.	\(\textcolor{red}{3} + 4(3)\)
Будь-яке інше множення або ділення? Так. Помножити.	\(3 + \textcolor{red}{12}\)
Будь-яке інше множення або ділення? Ні. Будь-яке додавання або віднімання? Так	\(15\)

вправа\(\PageIndex{19}\)

Спростити:\(30 ÷ 5 + 10(3 − 2)\)

Відповідь: \(16\)

вправа\(\PageIndex{20}\)

Спростити:\(70 ÷ 10 + 4(6 − 2)\)

Відповідь: \(23\)

Коли є кілька символів групування, ми спочатку спрощуємо внутрішні дужки і працюємо назовні.

Приклад\(\PageIndex{11}\): simplify

Спростити:\(5 + 2^3 + 3[6 − 3(4 − 2)]\).

Рішення

Чи є круглі дужки (або інший символ групування)? Так.	\(5 + 2^{3} + 3[6-3(4-2)]\)
Зосередьтеся на дужках, які знаходяться всередині дужок.	\(5 + 2^{3} + 3[6-3 \textcolor{red}{(4-2)}]\)
Відніміть.	\(5 + 2^{3} + 3[6- \textcolor{red}{3(2)}]\)
Продовжуйте всередині дужок і множте.	\(5 + 2^{3} + 3[6- \textcolor{red}{6}]\)
Продовжуйте всередині дужок і відніміть.	\(5 + 2^{3} + 3[\textcolor{red}{0}]\)
Вираз всередині дужок не вимагає подальшого спрощення.
Чи є якісь експоненти? Так.	\(5 + \textcolor{red}{2^{3}} + 3[0]\)
Спрощення експонентів.	\(5 + \textcolor{red}{8} + 3[0]\)
Чи є множення або ділення? Так.	\(5 + 8 + \textcolor{red}{3[0]}\)
Помножити.	\(5 + 8 + \textcolor{red}{0}\)
Чи є додавання або віднімання? Так.	\(textcolor{red}{5+8+0}\)
Додати.	\(\textcolor{red}{13} + 0\)
Додати.	\(13\)

вправа\(\PageIndex{21}\)

Спростити:\(9 + 5^3 − [4(9 + 3)]\)

Відповідь: \(86\)

вправа\(\PageIndex{22}\)

Спростити:\(7^2 − 2[4(5 + 1)]\)

Відповідь: \(1\)

Приклад\(\PageIndex{12}\): simplify

Спростити:\(2^3 + 34 ÷ 3 − 5^2\).

Рішення

Якщо вираз має кілька показників, їх можна спростити на одному кроці.	\(2^{3} + 3^{4} \div 3 - 5{2}\)
Спрощення експонентів.	\(\textcolor{red}{2^{3}} + \textcolor{red}{3^{4}} \div 3 - \textcolor{red}{5^{2}}\)
Розділити.	\(8 + \textcolor{red}{81 \div 3} - 25\)
Додати.	\(\textcolor{red}{8+27} - 25\)
Відніміть.	\(\textcolor{red}{35-25}\)
	\(10\)

вправа\(\PageIndex{23}\)

Спростити:\(3^2 + 2^4 ÷ 2 + 4^3\)

Відповідь: \(81\)

вправа\(\PageIndex{24}\)

Спростити:\(6^2 − 5^3 ÷ 5 + 8^2\)

Відповідь: \(75\)

Доступ до додаткових онлайн-ресурсів

Ключові поняття

Операція	Позначення	Результат -...
Додавання		сума
множення		Твір
Віднімання		різниця
Відділ	\(a\div b, a/b, \dfrac{a}{b}, a \overline{\smash{)}b}\)	Коефіцієнт

Символ рівності
- Символ\(=\) називається знаком рівності.
Нерівність
- \(a>b\)\(a\)читається більше, ніж\(b\)

Алгебраїчні позначення	Скажи




	менше або дорівнює
	більше або дорівнює

Експоненціальне позначення
- Для будь-якого виразу\(a^n\) - множник, помножений на сам
- Вираз

Порядок операцій При спрощенні математичних виразів виконуйте операції в наступному порядку:

Дужки та інші символи групування: Спростіть усі вирази всередині дужок або інших символів групування, спочатку працюючи над самими внутрішніми дужками.
Показники: спростити всі вирази з експонентами.
Множення і ділення: Виконайте все множення і ділення в порядку зліва направо. Ці операції мають однаковий пріоритет.
Додавання та віднімання: Виконайте всі додавання та віднімання в порядку зліва направо. Ці операції мають однаковий пріоритет.

Глосарій

виразів: Вираз - це число, змінна або комбінація чисел і змінних і символів операції.
рівняння: Рівняння складається з двох виразів, з'єднаних знаком рівності.

Практика робить досконалим

Використання змінних та алгебраїчних символів

У наступних вправах переводите з алгебраїчних позначень на слова.

16 − 9
25 − 7
5 • 6
3 • 9
28 ÷ 4
45 ÷ 5
х + 8
х + 11
(2) (7)
(4) (8)
14 < 21
17 < 35
36 ≥ 19
42 ≥ 27
3n = 24
6н = 36
y − 1 > 6
y − 4 > 8
2 ≤ 18 ÷ 6
3 ≤ 20 ÷ 4
a ≠ 7 • 4
a ≠ 1 • 12

Визначте вирази та рівняння

У наступних вправах визначте, чи є кожне виразом чи рівнянням.

9 • 6 = 54
7 • 9 = 63
5 • 4 + 3
6 • 3 + 5
х + 7
х + 9
y − 5 = 25
y − 8 = 32

Спрощення виразів за допомогою експонентів

У наступних вправах пишіть в експоненціальній формі.

3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3
4 • 4 • 4 • 4 • 4
х • х • х • х • х
у • у • у • у • у • у

У наступних вправах пишіть в розгорнутому вигляді.

5 ³
8 ³
2 ⁸
10 ⁵

Спрощення виразів за допомогою порядку операцій

У наступних вправах спростити.

(а) 3 + 8 • 5 (б) (3+8) • 5
(а) 2 + 6 • 3 (б) (2+6) • 3
2 ³ − 12 ÷ (9 − 5)
3 ² − 18 ÷ (11 − 5)
3 • 8 + 5 • 2
4 • 7 + 3 • 5
2 + 8 (6 + 1)
4 + 6 (3 + 6)
4 • 12/8
2 • 36/6
6 + 10/2 + 2
9 + 12/3 + 4
(6 + 10) ÷ (2 + 2)
(9 + 12) ÷ (3 + 4)
20 ÷ 4 + 6 • 5
33 ÷ 3 + 8 • 2
20 ÷ (4 + 6) • 5
33 ÷ (3 + 8) • 2
4 ² + 5 ²
3 ² + 7 ²
(4 + ⁵²)
(3 + ⁷²)
3 (1+ 9 • 6) − 4 ²
5 (2+ 8 • 4) − 7 ²
2 [1 + 3 (10 − 2)]
5 [2 + 4 (3 − 2)]

Щоденна математика

Баскетбол У 2014 НБА плей-офф, San Antonio Spurs обіграв Майамі Хіт. У таблиці нижче показані висоти стартерів по кожній команді. Використовуйте цю таблицю, щоб заповнити відповідний символ (=, <, >).

Шпори	Висота	Тепло	Висота
Тім Дункан	83 ″	Рашар Льюїс	82"
Борис Діав	80"	Леброн Джеймс	80"
Каухі Леонард	79"	Кріс Бош	83"
Тоні Паркер	74"	Дуейн Уейд	76"
Денні Грін	78"	Рей Аллен	77"

Висота Тіма Дункан____Висота Рашара Льюїса
Висота Бориса Діава ____Висота Леброна Джеймса
Висота Каухи Леонарда____Висота Кріса Боша
Висота Тоні Паркер____Висота Дуейна Уейда
Висота Денні Грін____Висота Рея Аллена

Висота У Колорадо є понад 50 гір з висотою понад 14,000 футів. У таблиці вказані десять найвищих. Використовуйте цю таблицю для заповнення відповідного символу нерівності.

Гірський	Висота
Mt. Елберт	14,433′
Mt. Масивні	14,421′
Mt. Гарвардський	14,420′
Бланка Пік	14,345′
Ла-Плата Пік	14,336′
Роз'єм Пік	14,309′
Крестоун Пік	14,294′
Mt. Лінкольн	14,286′
Сірий Пік	14,270′
Mt. Антеро	14,269′

Висота піку Ла-Плата ________Висота гори. Антеро
Висота піку Бланка____Висота гори. Елберт
Висота піку Грея ____Висота гори. Лінкольн
Висота гори. Масивна ____Височина Крестоун-Пік
Висота гори. Гарвард____Висота піку Uncompahgre

Письмові вправи

Поясніть різницю між виразом і рівнянням.
Чому важливо використовувати порядок операцій для спрощення виразу?

Самостійна перевірка

(а) Після виконання вправ використовуйте цей контрольний список, щоб оцінити своє володіння цілями цього розділу.

(b) Якщо більшість ваших перевірок були:

... впевнено. Вітаємо! Ви досягли цілей у цьому розділі. Подумайте про навички навчання, які ви використовували, щоб ви могли продовжувати їх використовувати. Що ви зробили, щоб стати впевненим у своїй здатності робити ці речі? Будьте конкретні.

... з деякою допомогою. Це потрібно вирішувати швидко, оскільки теми, які ви не освоюєте, стають вибоїнами на вашому шляху до успіху. У математиці кожна тема будується на попередній роботі. Важливо переконатися, що у вас міцний фундамент, перш ніж рухатися далі. До кого можна звернутися за допомогою? Ваші колеги-однокласники та інструктор - хороші ресурси. Чи є в кампусі місце, де доступні репетитори з математики? Чи можна вдосконалити свої навички навчання?

... Ні—я цього не розумію! Це попереджувальний знак, і ви не повинні його ігнорувати. Ви повинні отримати допомогу відразу ж, інакше ви швидко будете перевантажені. Зверніться до інструктора, як тільки зможете обговорити вашу ситуацію. Разом ви можете придумати план, щоб отримати вам необхідну допомогу.

Дописувачі та атрибуція

Template:ContribElementaryAlgebraOpenStax