2.1: Використовуйте мову алгебри (частина 1)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57819

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Використання змінних та алгебраїчних символів
Визначте вирази та рівняння
Спрощення виразів за допомогою експонентів
Спрощення виразів за допомогою порядку операцій

Будьте готові!

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

Додати:$43 + 69$. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 1.2.8.
Помножити:$(896)201$. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 1.4.11.
Розділити:$7,263 ÷ 9$. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 1.5.8.

Використовувати змінні та алгебраїчні символи

Грег і Алекс мають один і той же день народження, але народилися вони в різні роки. Цього року Грегу$20$ років, а Алексу -$23$, тому Алекс на$3$ роки старший за Грега. Коли Грег був$12$, Алекс був$15$. Коли Грег буде$35$, Алекс буде$38$. Незалежно від віку Грега, вік Алекса завжди буде$3$ років більше, правда?

Мовою алгебри ми говоримо, що вік Грега і вік Алекса мінливі, а три - константа. Віки змінюються або змінюються, тому вік є змінним. $3$Роки між ними завжди залишаються однаковими, тому різниця у віці є постійною.

В алгебрі літери алфавіту використовуються для представлення змінних. Припустимо, ми називаємо вік Грега$g$. Тоді ми могли б використовувати$g + 3$, щоб представити вік Алекса. Див$\PageIndex{1}$. Таблицю.

Таблиця$\PageIndex{1}$
Вік Грега	вік Алекса
12	15
20	23
35	38
г	г + 3

Букви використовуються для представлення змінних. Букви, які часто використовуються для змінних, є$x, y, a, b,$ і$c$.

Визначення: Змінні та константи

Змінна - це буква, яка представляє число або кількість, значення якої може змінюватися.

Константа - це число, значення якого завжди залишається однаковим.

Щоб писати алгебраїчно, нам потрібні деякі символи, а також числа та змінні. Є кілька типів символів, які ми будемо використовувати. У Whole Numbers ми ввели символи для чотирьох основних арифметичних операцій: додавання, віднімання, множення та ділення. Ми підсумуємо їх тут, разом зі словами, які ми використовуємо для операцій і результату.

Таблиця$\PageIndex{2}$
Операція	Позначення	Скажіть:	Результат - це...
Додавання	а + б	а плюс б	сума a і b
Віднімання	a − b	а мінус б	різниця a і b
множення	а • б, (а) (б), (а) б, а (б)	в раз б	добуток a і b
Відділ	а ÷ б, а/б$\dfrac{a}{b}$,$b \overline{)a}$	a ділиться на b	частка a і b

В алгебрі символ хреста не використовується для показу множення$×$, оскільки цей символ може спричинити плутанину. Чи$3xy$ означає$3 × y$ (тричі$y$) або$3 • x • y$ (три$x$ рази$y$)? Щоб було зрозуміло, використовуйте$•$ або дужки для множення.

Виконуємо ці операції над двома числами. При перекладі з символічної форми в слова, або від слів до символічної форми зверніть увагу на слова або і щоб допомогти вам знайти числа.

Сума$5$ і$3$ означає додати$5$ плюс$3$, який ми пишемо як$5 + 3$.

Різниця$9$ і$2$ означає віднімаємо$9$ мінус$2$, який пишемо як$9 − 2$.

Твір$4$ і$8$ означає множити$4$ раз$8$, який ми можемо записати як$4 • 8$.

Коефіцієнт$20$ і$5$ означає ділити$20$ на$5$, який ми можемо написати як$20 ÷ 5$.

Приклад$\PageIndex{1}$: translate to words

Перекласти з алгебри на слова:

$12 + 14$
$(30)(5)$
$64 ÷ 8$
$x − y$

Рішення

12 + 14

12 плюс 14

сума дванадцяти і чотирнадцять

(30) (5)

30 разів 5

твір тридцяти і п'яти

64 ÷ 8

64 поділено на 8

частка шістдесят чотири і вісім

x − y

х мінус у

різниця x і y

вправа$\PageIndex{1}$

Перекладіть з алгебри на слова.

$18 + 11$
$(27)(9)$
$84 ÷ 7$
$p − q$

Відповідь на: $18$плюс$11$; сума вісімнадцяти і одинадцяти
Відповідь б: $27$раз$9$; твір двадцять сім і дев'ять
Відповідь c: $84$розділений на$7$; частка вісімдесяти чотирьох і семи
Відповідь d: $p$мінус$q$; різниця$p$ і$q$

вправа$\PageIndex{2}$

Перекладіть з алгебри на слова.

$47 − 19$
$72 ÷ 9$
$m + n$
$(13)(7)$

Відповідь на: $47$мінус$19$; різниця сорок сім і дев'ятнадцять
Відповідь б: $72$розділений на$9$; частка сімдесяти двох і дев'яти
Відповідь c: $m$плюс$n$; сума$m$ і$n$
Відповідь d: $13$раз$7$; твір тринадцяти і сім

Коли дві величини мають однакове значення, ми говоримо, що вони рівні і з'єднуємо їх знаком рівності.

Визначення: Символ рівності

$a = b$$a$читається дорівнює$b$

Символ$=$ називається знаком рівності.

Нерівність використовується в алгебрі для порівняння двох величин, які можуть мати різні значення. Числовий рядок може допомогти вам зрозуміти нерівності. Пам'ятайте, що на числовому рядку числа стають більшими, коли вони йдуть зліва направо. Так що, якщо ми знаємо, що$b$ більше$a$, це означає, що$b$ праворуч від$a$ на числовому рядку. Використовуємо символи "$<$" і "$>$" для нерівностей.

Визначення: Нерівність

$a < b$$a$читається менше$b$

$a$знаходиться$b$ ліворуч від числового рядка

$На малюнку показана горизонтальна цифрова лінія, яка починається з літери a зліва, потім літера b праворуч.$

$a > b$$a$читається більше, ніж$b$

$a$знаходиться праворуч від$b$ числового рядка

$На малюнку показана горизонтальна цифрова лінія, яка починається з літери b зліва, потім літера а праворуч.$

Вирази$a < b$ і$a > b$ можуть бути прочитані зліва направо або справа наліво, хоча в англійській мові ми зазвичай читаємо зліва направо. Загалом,$a < b$ рівнозначний$b > a$. Наприклад,$7 < 11$ еквівалентний$11 > 7$. $a > b$еквівалентний$b < a$. Наприклад,$17 > 4$ еквівалентний$4 < 17$.

Коли ми пишемо символ нерівності з лінією під ним, наприклад$a ≤ b$, це означає$a < b$ або$a = b$. Читаємо$a$ це менше або дорівнює$b$. Також, якщо ми ставимо косу риску через знак рівності$≠$, то це означає не дорівнює.

Узагальнюємо символи рівності і нерівності в табл$\PageIndex{3}$.

Таблиця$\PageIndex{3}$
Алгебраїчні позначення	Скажи
а = б	a дорівнює b
a ≠ б	a не дорівнює b
a < b	a менше b
а > б	a більше, ніж b
a ≤ b	a менше або дорівнює b
а ≥ б	a більше або дорівнює b

Визначення: Символи$<$ and $>$

Символи$<$ і$>$ кожен з них мають меншу сторону і більшу сторону.

менша сторона$<$ більша сторона

більша сторона$>$ менша сторона

Менша сторона символу звернена до меншого числа, а більша грань - більша кількість.

Приклад$\PageIndex{2}$: translate to words

Перекласти з алгебри на слова:

$20 ≤ 35$
$11 ≠ 15 − 3$
$9 > 10 ÷ 2$
$x + 2 < 10$

Рішення

20 ≤ 35

20 менше або дорівнює 35

11 ≠ 15 − 3

11 не дорівнює 15 мінус 3

9 > 10 ÷ 2

9 більше 10 ділиться на 2

х + 2 < 10

x плюс 2 менше 10

вправа$\PageIndex{3}$

Перекладіть з алгебри на слова.

$14 ≤ 27$
$19 − 2 ≠ 8$
$12 > 4 ÷ 2$
$x − 7 < 1$

Відповідь на: чотирнадцять менше або дорівнює двадцяти семи
Відповідь б: дев'ятнадцять мінус два не дорівнює восьми
Відповідь c: дванадцять більше чотирьох, розділених на два
Відповідь d: $x$мінус сім менше одиниці

вправа$\PageIndex{4}$

Перекладіть з алгебри на слова.

$19 ≥ 15$
$7 = 12 − 5$
$15 ÷ 3 < 8$
$y - 3 > 6$

Відповідь на: дев'ятнадцять більше або дорівнює п'ятнадцяти
Відповідь б: сім дорівнює дванадцяти мінус п'ять
Відповідь c: п'ятнадцять ділиться на три менше восьми
Відповідь d: $y$мінус три більше шести

Приклад$\PageIndex{3}$: translate

Інформація на малюнку$\PageIndex{1}$ порівнює економію палива в милях-галон (mpg) декількох автомобілів. Напишіть відповідний символ =, в кожному виразі для порівняння паливної економії автомобілів.

$Ця таблиця має два рядки і шість стовпців. Перший стовпець є колонкою заголовка, і він позначає кожен рядок Перший рядок позначений «Автомобіль», а другий «Економія палива (mpg)». Праворуч від рядка «Автомобіль» розташовані мітки: «Пріус», «Міні Купер», «Тойота Королла», «Верса», «Хонда Фіт». Кожен з цих стовпців містить зображення маркованої моделі автомобіля. Праворуч від рядка «Економія палива (mpg)» - алгебраїчні рівняння: буква р, символ дорівнює, число сорок вісім; буква m, символ дорівнює, число двадцять сім; буква c, символ дорівнює, число двадцять вісім; буква v, символ дорівнює, число двадцять шість; і буква f, символ дорівнює, число двадцять сім.$

Малюнок$\PageIndex{1}$: (кредит: модифікація роботи Бернарда Голдбаха, Wikimedia Commons)

MPG Prius _____ MPG Міні Купер
MPG Верса _____ MPG придатності
MPG Міні Купер _____ MPG або Fit
MPG віночка _____ MPG Верса
MPG Королла_____ MPG Пріуса

Рішення

	MPG або Prius____MPG Міні Купер
Знайдіть значення на графіку.	48____27
Порівняти.	48 > 27
	MPG або Prius > MPG Міні Купер

	MPG Верса____MPG придатності
Знайдіть значення на графіку.	26____27
Порівняти.	26 < 27
	MPG Верса < MPG придатності

	MPG міні-купер____MPG або Fit
Знайдіть значення на графіку.	27____27
Порівняти.	27 = 27
	MPG Міні Купер = MPG придатності

	MPG віночка ____MPG Верса
Знайдіть значення на графіку.	28____26
Порівняти.	28 > 26
	MPG віночка > MPG Верса

	MPG віночка ____MPG Пріуса
Знайдіть значення на графіку.	28____48
Порівняти.	28 < 48
	MPG віночка < MPG Пріуса

вправа$\PageIndex{5}$

Використовуйте Figure$\PageIndex{1}$ для заповнення відповідного символу$=$,$<$, або$>$.

MPG з Prius_____mpg Верса
MPG міні-купер_____ MPG віночка

Відповідь на: $>$
Відповідь б: $<$

вправа$\PageIndex{6}$

Використовуйте Figure$\PageIndex{1}$ для заповнення відповідного символу$=$,$<$, або$>$.

MPG Fit_____ MPG або Prius
MPG віночка _____ MPG придатності

Відповідь на: $<$
Відповідь б: $<$

Угруповання символів в алгебрі багато в чому схожі на коми, двокрапки та інші розділові знаки в письмовій мові. Вони вказують, які вирази слід зберігати разом і відокремлювати від інших виразів. У таблиці$\PageIndex{4}$ наведено три найбільш часто використовуваних угруповання символів в алгебрі.

Таблиця$\PageIndex{4}$
Загальні символи групування
круглі дужки	()
кронштейни	[]
брекети	{}

Ось кілька прикладів виразів, які містять символи групування. Ми спростимо вирази, подібні до цих, пізніше в цьому розділі.

\[8(14 - 8) \qquad 21 - 3[2 + 4(9 - 8)] \qquad 24 \div {13 - 2[1(6 - 5) + 4]} \nonumber\]

Визначте вирази та рівняння

Яка різниця в англійській мові між фразою і реченням? Фраза виражає єдину думку, яка сама по собі неповна, але речення робить повне твердження. «Біг дуже швидко» - це фраза, але «Футболіст біг дуже швидко» - це речення. У реченні є підмет і дієслово.

В алгебрі ми маємо вирази і рівняння. Вираз схоже на фразу. Ось кілька прикладів виразів і як вони співвідносяться зі словосполученнями:

Таблиця$\PageIndex{5}$
Вираз	Слова	Фраза
3 + 5	3 плюс 5	сума трьох і п'ять
п - 1	n мінус один	різниця n і одиниці
6 • 7	6 разів 7	твір шістьох і семи
$\dfrac{x}{y}$	x ділиться на y	частка від x та y

Зверніть увагу, що фрази не утворюють повного речення, оскільки фраза не має дієслова. Рівняння - це два вирази, пов'язані зі знаком рівності. Коли ви читаєте слова, які символи представляють у рівнянні, у вас є повне речення англійською мовою. Знак рівності дає дієслово. Ось кілька прикладів рівнянь:

Таблиця$\PageIndex{6}$
Рівняння	Вирок
3 + 5 = 8	Сума трьох і п'яти дорівнює восьми.
n − 1 = 14	n мінус один дорівнює чотирнадцяти.
6 • 7 = 42	Твір шести і семи дорівнює сороку двом.
х = 53	х дорівнює п'ятдесяти трьом.
у + 9 = 2y − 3	y плюс дев'ять дорівнює двом у мінус три.

Визначення: Вирази та рівняння

Вираз - це число, змінна або комбінація чисел і змінних і символів операції.

Рівняння складається з двох виразів, з'єднаних знаком рівності.

Приклад$\PageIndex{4}$: expression or equation

Визначте, чи є кожен виразом або рівнянням:

$16 − 6 = 10$
$4 • 2 + 1$
$x ÷ 25$
$y + 8 = 40$

Рішення

(а) 16 − 6 = 10	Це рівняння - два вирази пов'язані знаком рівності.
(б) 4 • 2 + 1	Це вираз - знак рівності немає.
(с) х ÷ 25	Це вираз - знак рівності немає.
(г) у + 8 = 40	Це рівняння - два вирази пов'язані знаком рівності.

вправа$\PageIndex{7}$

Визначте, чи є кожен виразом або рівнянням:

$23 + 6 = 29$
$7 • 3 − 7$

Відповідь на: рівняння
Відповідь б: вираз

вправа$\PageIndex{8}$

Визначте, чи є кожен виразом або рівнянням:

$y ÷ 14$
$x − 6 = 21$

Відповідь на: вираз
Відповідь б: рівняння

Спрощення виразів за допомогою експонентів

Спростити числовий вираз означає зробити всі математичні можливості. Наприклад, для спрощення$4 • 2 + 1$ ми спочатку помножимо,$4 • 2$ щоб отримати,$8$ а потім додати,$1$ щоб отримати$9$. Хороша звичка для розвитку - опрацювати сторінку, записуючи кожен крок процесу нижче попереднього кроку. Щойно описаний приклад виглядатиме наступним чином:

\[\begin{split} 4 \cdot 2 + &1 \\ 8 + &1 \\ &9 \end{split}\]

Припустимо, у нас є вираз$2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2$. Ми могли б написати це більш компактно, використовуючи експоненціальні позначення. Експоненціальне позначення використовується в алгебрі для представлення величини, помноженої на себе кілька разів. Пишемо$2 • 2 • 2$ як$2^3$ і$2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2$ як$2^9$. У таких виразах$2^3$, як,$2$ називається базовим і$3$ називається експонентою. Показник підказує нам, скільки факторів бази ми маємо помножити.

$На зображенні показано число два з цифрою три, у верхньому індексі, праворуч від двох. Число два позначено як «база», а цифра три позначена як «експонента».$

означає помножити три фактори$2$

Ми говоримо$2^3$, що знаходиться в експоненціальному позначенні і$2 • 2 • 2$ знаходиться в розширеному позначенні.

Визначення: Експоненціальне позначення

Для будь-якого виразу$a$ - множник$a^n$, помножений на сам$n$ раз, якщо$n$ є додатним цілим числом.

$У верхній частині зображення знаходиться буква a з літерою n, у верхньому індексі, праворуч від букви a. Буква a позначається як «base», а буква n позначена як «експонента». Нижче наведено букву a з літерою n, у верхньому індексі, праворуч від множини, що дорівнює n множникам a.$

Вираз$a^n$$a$ читається$n^{th}$ владі.

Для повноважень$n = 2$ і$n = 3$, у нас є спеціальні імена. $a^2$читається як "$a$квадрат»$a^3$ читається як "$a$куб» Таблиця$\PageIndex{7}$ перераховує деякі приклади виразів, написаних в експоненціальних позначеннях.

Таблиця$\PageIndex{7}$
Експоненціальне позначення	Словами
$7^2$	7 до другої потужності, або 7 в квадраті
$5^3$	5 до третьої потужності, або 5 кубічних
$9^4$	9 до четвертої потужності
$12^5$	12 до п'ятої влади

Приклад$\PageIndex{5}$: exponential form

Запишіть кожен вираз в експоненціальній формі:

$16 • 16 • 16 • 16 • 16 • 16 • 16$
$9 • 9 • 9 • 9 • 9$
$x • x • x • x$
$a • a • a • a • a • a • a • a$

Рішення

(а) База 16 є коефіцієнтом 7 разів.	$16^7$
(б) База 9 - це коефіцієнт 5 разів.	$9^5$
(c) База х - коефіцієнт 4 рази.	$x^4$
(d) База a - це коефіцієнт 8 разів.	$a^8$

вправа$\PageIndex{9}$

Запишіть кожен вираз в експоненціальній формі:$41 • 41 • 41 • 41 • 41$

Відповідь: $41^5$

вправа$\PageIndex{10}$

Запишіть кожен вираз в експоненціальній формі:$7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7$

Відповідь: $7^9$

Приклад$\PageIndex{6}$: expanded form

Запишіть кожне експоненціальне вираз у розгорнутому вигляді:

$8^6$
$x^5$

Рішення

База є$8$ і експонента є$6$, тому$8^6$ означає$8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8$
База є$x$ і експонента є$5$, тому$x^5$ означає$x • x • x • x • x$

вправа$\PageIndex{11}$

Запишіть кожне експоненціальне вираз у розгорнутому вигляді:

$4^8$
$a^7$

Відповідь на: $4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4$
Відповідь б: $a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a$

вправа$\PageIndex{12}$

Запишіть кожне експоненціальне вираз у розгорнутому вигляді:

$8^8$
$b^6$

Відповідь на: $8\cdot 8\cdot 8\cdot 8\cdot 8\cdot 8\cdot 8\cdot 8$
Відповідь б: $b\cdot b\cdot b\cdot b\cdot b\cdot b$

Щоб спростити експоненціальний вираз без використання калькулятора, запишемо його в розгорнутому вигляді і потім множимо множники.

Приклад$\PageIndex{7}$: simplify

Спростити:$3^4$.

Рішення

Розгорніть вираз.	3 ⁴ = 3 • 3 • 3
Множимо зліва направо.	9 • 3 • 3 = 27 • 3
Помножити.	81

вправа$\PageIndex{13}$

Спростити:

$5^3$
$1^7$

Відповідь на: $125$
Відповідь б: $1$

вправа$\PageIndex{14}$

Спростити:

$7^2$
$0^5$

Відповідь на: $49$
Відповідь б: $0$

Дописувачі та атрибуція

Template:ContribElementaryAlgebraOpenStax

Визначення: Змінні та константи

Приклад\(\PageIndex{1}\): translate to words

вправа\(\PageIndex{1}\)

вправа\(\PageIndex{2}\)

Визначення: Символ рівності

Визначення: Нерівність

Визначення: Символи\(<\) and \(>\)

Приклад\(\PageIndex{2}\): translate to words

вправа\(\PageIndex{3}\)

вправа\(\PageIndex{4}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\): translate

вправа\(\PageIndex{5}\)

вправа\(\PageIndex{6}\)

Визначення: Вирази та рівняння

Приклад\(\PageIndex{4}\): expression or equation

вправа\(\PageIndex{7}\)

вправа\(\PageIndex{8}\)

Визначення: Експоненціальне позначення

Приклад\(\PageIndex{5}\): exponential form

вправа\(\PageIndex{9}\)

вправа\(\PageIndex{10}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\): expanded form

вправа\(\PageIndex{11}\)

вправа\(\PageIndex{12}\)

Приклад\(\PageIndex{7}\): simplify

вправа\(\PageIndex{13}\)

вправа\(\PageIndex{14}\)

Експоненціальне позначення	Словами
\(7^2\)	7 до другої потужності, або 7 в квадраті
\(5^3\)	5 до третьої потужності, або 5 кубічних
\(9^4\)	9 до четвертої потужності
\(12^5\)	12 до п'ятої влади

(а) База 16 є коефіцієнтом 7 разів.	\(16^7\)
(б) База 9 - це коефіцієнт 5 разів.	\(9^5\)
(c) База х - коефіцієнт 4 рази.	\(x^4\)
(d) База a - це коефіцієнт 8 разів.	\(a^8\)