1.7: Множення цілих чисел (частина 1)
- Page ID
- 57760
- Використовувати позначення множення
- Модельне множення цілих чисел
- Множення цілих чисел
- Перекладіть словосполучення на математичні позначення
- Множення цілих чисел у додатках
Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.
- Додайте:\(1,683 + 479\). Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 1.2.10.
- Відніміть:\(605 − 321\). Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 1.3.4.
Використовувати позначення множення
Припустимо, вас попросили порахувати всі ці копійки, показані на малюнку\(\PageIndex{1}\).
Малюнок\(\PageIndex{1}\)
Ви б порахували копійки окремо? Або ви б порахували кількість копійок у кожному рядку і додали це число\(3\) разів.
\[8 + 8 + 8 \nonumber\]
Множення - це спосіб представлення повторного додавання. Таким чином, замість того, щоб додати\(8\) три рази, ми могли б написати вираз множення.
\[3 \times 8 \nonumber \]
Ми називаємо кожне множиться число коефіцієнтом, а результат - твором. Читаємо\(3 × 8\) як три рази вісім, так і результат як твір три і вісім.
Існує кілька символів, які представляють множення. До них відносяться символ ×, а також крапка, • та дужки ().
Для опису множення ми можемо використовувати символи і слова.
| Операція | Позначення | Вираз | Читати як | Результат |
|---|---|---|---|---|
| множення | × | 3 × 8 | три рази вісім | твір 3 і 8 |
| • | 3 • 8 | |||
| () | 3 (8) |
Перекласти з математичних позначень на слова:
- \(7 × 6\)
- \(12 · 14\)
- \(6(13)\)
Рішення
- Ми читаємо це як сім разів шість, і результат - добуток семи і шести.
- Ми читаємо це як дванадцять разів чотирнадцять і результат - твір дванадцяти і чотирнадцяти.
- Ми читаємо це як шість разів тринадцять і результат - добуток шести і тринадцяти.
Перекласти з математичних позначень на слова:
- \(8 × 7\)
- \(18 • 11\)
- Відповідь
-
вісім разів сім; твір вісім і сім
- Відповідь б
-
вісімнадцять разів одинадцять; твір вісімнадцять і одинадцять
Перекласти з математичних позначень на слова:
- \((13)(7)\)
- \(5(16)\)
- Відповідь
-
тринадцять разів сім; твір тринадцять і сім
- Відповідь б
-
п'ять разів шістнадцять; твір п'ять і шістнадцять
Модельне множення цілих чисел
Існує багато способів моделювання множення. На відміну від попередніх розділів, де ми використовували base-\(10\) blocks, тут ми будемо використовувати лічильники, які допоможуть нам зрозуміти сенс множення. Лічильник - це будь-який об'єкт, який можна використовувати для підрахунку. Ми будемо використовувати круглі сині лічильники.
Модель:\(3 × 8\).
Рішення
Щоб змоделювати виріб\(3 × 8\), почнемо з ряду\(8\) лічильників.
Інший фактор\(3\), так що ми будемо робити\(3\) рядки\(8\) лічильників.
Тепер ми можемо порахувати результат. \(24\)Лічильники є у всіх.
\[3 \times 8 = 24 \nonumber \]
Якщо ви подивитеся на лічильники збоку, ви побачите, що ми могли б також зробити\(8\) рядки\(3\) лічильників. Продукт був би таким же. Ми повернемося до цієї ідеї пізніше.
Моделюйте кожне множення:\(4 × 6\).
- Відповідь
-
Моделюйте кожне множення:\(5 × 7\).
- Відповідь
-
Множення цілих чисел
Для того щоб множити без використання моделей, потрібно знати всі однозначні факти множення. Переконайтеся, що ви знаєте їх вільно, перш ніж перейти до цього розділу. Таблиця\(\PageIndex{2}\) показує факти множення. Кожне поле показує добуток числа вниз по лівому стовпчику та номер у верхньому рядку. Якщо ви не впевнені в продукті, змоделюйте його. Важливо, щоб ви запам'ятали будь-яку кількість фактів, які ви ще не знаєте, тому ви будете готові помножити більші числа.
| × | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 |
| 4 | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 |
| 5 | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
| 6 | 0 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 |
| 7 | 0 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 |
| 8 | 0 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 |
| 9 | 0 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 |
Що відбувається при множенні числа на нуль? Ви можете бачити, що добуток будь-якого числа і нуля дорівнює нулю. Це називається властивістю множення нуля.
Твір будь-якого числа і\(0\) є\(0\).
\[a \cdot 0 = 0\]
\[0 \cdot a = 0\]
Помножити:
- \(0 • 11\)
- \((42)0\)
Рішення
| Добуток будь-якого числа і нуля дорівнює нулю. | 0 • 11 = 0 |
| Множення на нуль призводить до нуля. | (42) 0 = 0 |
Знайдіть кожен товар:
- \(0 • 19\)
- \((39)0\)
- Відповідь
-
\(0\)
- Відповідь б
-
\(0\)
Знайдіть кожен товар:
- \(0 • 24\)
- \((57)0\)
- Відповідь
-
\(0\)
- Відповідь б
-
\(0\)
Що відбувається, коли ви множите число на одиницю? Множення числа на одиницю не змінює його значення. Ми називаємо цей факт властивістю ідентичності множення, і\(1\) називається мультиплікативною ідентичністю.
Добуток будь-якого числа і\(1\) є числом.
\[1 \cdot a = a\]
\[a \cdot 1 = a\]
Помножити:
- \((11)1\)
- \(1 • 42\)
Рішення
| Добуток будь-якого числа і одиниці - це число. | (11) 1 = 11 |
| Множення на одиницю не змінює значення. | 1 • 42 = 42 |
Знайдіть кожен товар:
- \((19)1\)
- \(1 • 39\)
- Відповідь
-
\(19\)
- Відповідь б
-
\(39\)
Знайдіть кожен товар:
- \((24)(1)\)
- \(1 × 57\)
- Відповідь
-
\(24\)
- Відповідь б
-
\(57\)
Раніше в цьому розділі ми дізналися, що Комутативне властивість додавання говорить, що зміна порядку додавання не змінює суму. Ми побачили, що\(8 + 9 = 17\) таке ж, як\(9 + 8 = 17\).
Чи вірно це і для множення? Давайте розглянемо кілька пар факторів.
\[\begin{split} 4 \cdot 7 & = 28 \qquad 7 \cdot 4 = 28 \\ 9 \cdot 7 & = 63 \qquad 7 \cdot 9 = 63 \\ 8 \cdot 9 & = 72 \qquad 9 \cdot 8 = 72 \end{split}\]
Коли порядок факторів змінюється, товар не змінюється. Це називається Комутативне властивість множення.
Зміна порядку чинників не змінює їх продукт.
\[a \cdot b = b \cdot a\]
Помножити:
- \(8 • 7\)
- \(7 • 8\)
Рішення
| Помножити. | 8 • 7 = 56 |
| Помножити. | 7 • 8 = 56 |
Зміна порядку чинників не змінює продукт.
Помножити:
- \(9 • 6\)
- \(6 • 9\)
- Відповідь
-
\(54\)
- Відповідь б
-
\(54\)
Помножити:
- \(8 • 6\)
- \(6 • 8\)
- Відповідь
-
\(48\)
- Відповідь б
-
\(48\)
Щоб помножити числа з більш ніж однією цифрою, зазвичай простіше писати цифри вертикально в стовпцях так само, як ми робили для додавання та віднімання.
Починаємо з множення\(3\) на\(7\).
\[3 \times 7 = 21 \nonumber \]
Записуємо\(1\) в ті місця вироби. Проводимо\(2\) десятки, написавши\(2\) вище десятка місця.
Потім множимо\(3\) на\(2\), і додаємо\(2\) вищевказані десятки місце до виробу. Отже\(3 × 2 = 6\), і\(6 + 2 = 8\). Напишіть\(8\) в десятках місце виробу.
Продукт є\(81\).
Коли ми множимо два числа з різною кількістю цифр, зазвичай простіше написати меншу цифру внизу. Ви могли б написати його і іншим способом, але з цим способом легше працювати.
Помножити:\(15 • 4\).
Рішення
| Напишіть цифри так, щоб цифри 5 і 4 вибудовувалися вертикально. |  |
| Помножте 4 на цифру в тих місцях 15. 4 • 5 = 20. | |
| Напишіть 0 в місці виробу і перенесіть 2 десятки. |  |
| Помножте 4 на цифру в десятках місці 15. 4 ⋅ 1 = 4. Додаємо 2 десятки, які ми провели. 4 + 2 = 6. | |
| Напишіть 6 в десятках місця вироби. |  |
Помножити:\(64 • 8\).
- Відповідь
-
\(512\)
Помножити:\(57 • 6\).
- Відповідь
-
\(342\)
Помножити:\(286 • 5\).
Рішення
| Напишіть цифри так, щоб цифри 5 і 6 вибудовувалися вертикально. |  |
| Помножте 5 на цифру в ті місця 286. 5 • 6 = 30. | |
| Запишіть 0 в місці виробу і перенесіть 3 до місця десятки. Помножте 5 на цифру в десятках місці 286. 5 • 8 = 40. |  |
| Додаємо 3 десятки, які ми провели, щоб отримати 40 + 3 = 43. Напишіть 3 в десятках місце продукту і перенесіть 4 до місця сотні. |  |
| Помножте 5 на цифру в місці сотні 286. 5 • 2 = 10. Додайте 4 сотні, які ми провели, щоб отримати 10 + 4 = 14. Напишіть 4 в сотнях місце продукту і 1 до тисячі місце. |  |
Помножити:\(347 • 5\).
- Відповідь
-
\(1,735\)
Помножити:\(462 • 7\).
- Відповідь
-
\(3,234\)
Коли ми множимо на число з двома і більше цифрами, множимо на кожну з цифр окремо, працюючи справа наліво. Кожен окремий твір цифр називається частковим твором. Коли ми пишемо часткові продукти, ми повинні переконатися, що вирівнюємо значення місця.
Крок 1. Запишіть числа так, щоб кожне місце значення вибудовувалося вертикально.
Крок 2. Помножте цифри в кожному місці значення.
- Працюйте справа наліво, починаючи з тих, що розміщуються в нижньому номері.
- Помножте нижнє число на цифру одиниць у верхньому числі, потім на цифру десятків і так далі.
- Якщо товар в місці значення більше 9, перенесіть на наступне місце значення.
- Напишіть часткові вироби, вибудовуючи цифри в значення місця з цифрами вище.
- Повторіть для десятків місце в нижньому числі, сотні місце і так далі.
- Вставте нуль як заповнювач з кожним додатковим частковим твором.
Крок 3. Додайте часткові продукти.
Помножити:\(62(87)\).
Рішення
| Напишіть числа так, щоб кожне місце вибудовувалося вертикально |  |
| Почніть з множення 7 на 62. Помножте 7 на цифру в тих місцях 62. 7 • 2 = 14. Запишіть 4 в місці виробу і віднесіть 1 до місця десятки. |  |
| Помножте 7 на цифру в десятках місці 62. 7 • 6 = 42. Додаємо 1 десятку, яку ми провели. 42 + 1 = 43. Напишіть 3 в десятках місце продукту і 4 в сотні місце. |  |
| Перший частковий твір - 434. | |
| Тепер напишіть 0 під 4 в ті місця наступного часткового добутку як заповнювач, оскільки тепер ми помножимо цифру в десятках місце 87 на 62. Помножте 8 на цифру в тих місцях 62. 8 • 2 = 16. Запишіть 6 на наступному місці вироби, яке є десятками місце. Віднесіть 1 до місця десятки. |  |
| Множимо 8 на 6, цифру в десятках місце 62, потім складаємо 1 десять, яку ми провели, щоб отримати 49. Напишіть 9 в сотнях місце продукту і 4 в тисячах місце. |  |
| Другий частковий твір - 4960. Додайте часткові продукти. |  |
Продукт є\(5,394\).
Помножити:\(43(78)\).
- Відповідь
-
\(3,354\)
Помножити:\(64(59)\).
- Відповідь
-
\(3,776\)
Помножити:
- \(47 • 10\)
- \(47 • 100\)
Рішення
| (а) 47 • 10 |  |
| (б) 47 • 100 |  |
Коли ми множили\(47\) раз\(10\), продукт був\(470\). Зверніть увагу, що\(10\) має один нуль, і ми ставимо один нуль після,\(47\) щоб отримати продукт. Коли ми множили\(47\) раз\(100\), продукт був\(4,700\). Зверніть увагу, що\(100\) має два нулі, і ми ставимо два нулі після,\(47\) щоб отримати продукт.
Ви бачите візерунок? Якщо ми помножили\(47\) раз\(10,000\), який має чотири нулі, ми б поставили чотири нулі після,\(47\) щоб отримати добуток\(470,000\).
Помножити:
- \(54 • 10\)
- \(54 • 100\)
- Відповідь
-
\(540\)
- Відповідь б
-
\(5,400\)
Помножити:
- \(75 • 10\)
- \(75 • 100\)
- Відповідь
-
\(750\)
- Відповідь
-
\(7,500\)
Помножити:\(354(438)\).
Рішення
У факторах три цифри, тому будуть\(3\) часткові продукти. Нам не потрібно писати\(0\) як заповнювач до тих пір, поки ми пишемо кожен частковий продукт у правильному місці.
Помножити:\(265(483)\).
- Відповідь
-
\(127,995\)
Помножити:\(823(794)\).
- Відповідь
-
\(653,462\)
Помножити:\(896(201)\).
Рішення
Повинні бути\(3\) часткові продукти. Другий частковий твір буде результатом множення\(896\) на\(0\).
Зверніть увагу, що другий частковий добуток усіх нулів насправді не впливає на результат. Ми можемо помістити нуль як заповнювач у десятках місце, а потім приступити безпосередньо до множення на місце\(2\) в сотнях, як показано.
Помножте на\(10\), але вставте лише один нуль як заповнювач у десятках. Помножте на\(200\), поклавши\(2\) від\(12\). \(2 • 6 = 12\)в сотні місць.
Помножити:\((718)509\).
- Відповідь
-
\(365,462\)
Помножити:\((627)804\).
- Відповідь
-
\(504,108\)
Коли є три і більше факторів, ми множимо перші два, а потім множимо їх добуток на наступний коефіцієнт. Наприклад:
| примножити | 8 • 3 • 2 |
| спочатку множимо 8 • 3 | 24 • 2 |
| потім множимо 24 • 2 | 48 |