Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.5: Розв'язування рівнянь з використанням цілих чисел II

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    57267

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Повертаємося до розв'язування рівнянь за участю цілих чисел, тільки на цей раз рівняння будуть трохи більш просунутими, вимагаючи використання розподільної властивості і навички в комбінуванні подібних термінів. Почнемо.

    Приклад 1

    Розв'яжіть для x: 7 x − 11 x = 12.

    Рішення

    Поєднуйте подібні терміни.

    \[ \begin{aligned} 7x-11x=12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ =4x=12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Combine like terms: } 7x-11x=-4x.} \end{aligned}\nonumber \]

    Щоб скасувати ефект множення на −4, розділіть обидві сторони останнього рівняння на −4.

    \[ \begin{aligned} \frac{-4x}{-4} = \frac{12}{-4} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by } -4.} \\ x = -3 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify: } 12/(-4) = -3.} \end{aligned}\nonumber \]

    Перевірити

    Замініть −3 для x у вихідному рівнянні.

    \[ \begin{aligned} 7x-11x = 12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ 7(-3)-11(-3)=12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute } -3 \text{ for } x.} \\ -21 + 33 = 12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ On the left, multiply first.}} \\ 12 = 12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ On the left, add.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Оскільки останній рядок перевірки є твердженням true, −3 є розв'язком вихідного рівняння.

    Вправа

    Розв'язувати для x: −6 x − 5 x = 22.

    Відповідь

    х = −2

    Приклад 2

    Розв'яжіть для x: 12 = 5 x − (4 + х).

    Рішення

    Щоб взяти негатив суми, змініть кожен член в сумі (змініть кожен член на протилежний). Таким чином, − (4+ x) = −4 − x.

    \[ \begin{aligned} 12 = 5x - (4+x) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ 12 = 5x - 4 - x ~ & \textcolor{red}{-(4+x)=-4-x.} \\ 12 = 4x-4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Combine like terms: } 5x - x = 4x.} \end{aligned}\nonumber \]

    Щоб скасувати ефект віднімання 4, додайте 4 до обох сторін останнього рівняння.

    \[ \begin{aligned} 12 + 4 = 4x-4+4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add 4 to both sides.}} \\ 16 = 4x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify both sides.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Щоб скасувати ефект множення на 4, розділіть обидві сторони останнього рівняння на 4.

    \ [\ begin {вирівняний}\ розрив {16} {4} =\ frac {4x} {4} ~ &\ textcolor {червоний} {\ текст {Розділити обидві сторони на 4.}}\\ 4 = x ~ &\ textcolor {червоний} {\ текст {Спростити: 16/4=4.} \ end {вирівняний}]

    Перевірити

    Замініть 4 для x у вихідному рівнянні.

    \[ \begin{aligned} 12 = 5x - (4+x) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ 12 = 5(4) - (4+4) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute 4 for } x.} \\ 12 = 20 - 8 ~ & \textcolor{red}{ \text{ On the right, 5(4) = 20 and evaluate}} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ parentheses: } 4+4=8.} \\ 12 = 12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Оскільки останній рядок перевірки є істинним твердженням, 4 є розв'язком вихідного рівняння.

    Вправа

    Вирішити для x: 11 = 3 x − (1 − x)

    Відповідь

    х = 3

    Змінні з обох сторін

    Змінні можуть зустрічатися з обох сторін рівняння.

    Мета

    Виділіть терміни, що містять змінну, для якої ви розв'язуєте, на одній стороні рівняння.

    Приклад 3

    Розв'яжіть для x: 5 x = 3 x − 18.

    Рішення

    Щоб виділити змінні з одного боку рівняння, відніміть 3 х з обох сторін рівняння і спростіть.

    \[ \begin{aligned} 5x = 3x-18 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ 5x-3x=3x-18-3x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Subtract } 3x \text{ from both sides.}} \\ 2x = -18 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Combine like terms: } 5x - 3x = 2x } \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ and } 3x - 3x = 0.} \end{aligned}\nonumber \]

    Зверніть увагу, що змінна тепер ізольована на лівій стороні рівняння. Щоб скасувати ефект множення на 2, розділіть обидві сторони останнього рівняння на 2.

    \[ \begin{aligned} \frac{2x}{2} = \frac{-18}{2} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by 2.}} \\ x = -9 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify: } -18/2 = =-9.} \end{aligned}\nonumber \]

    Перевірити

    Замініть −9 для x у вихідному рівнянні.

    \[ \begin{aligned} 5x = 3x - 18 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ 5(-9) = 3(-9)-18 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute } -9 \text{ for } x.} \\ -45 = -27-18 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply first on both sides.}} \\ -45 = -45 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Subtract on the right: } -27 - 18 = -45.} \end{aligned}\nonumber \]

    Оскільки останній рядок перевірки є твердженням true, −9 є розв'язком вихідного рівняння.

    Вправа

    Вирішити для x: 4 x − 3 = x

    Відповідь

    х = 1

    Приклад 4

    Вирішити для х: 5 х =3+6 х.

    Рішення

    Щоб виділити змінні з одного боку рівняння, відніміть 6 х з обох сторін рівняння і спростіть.

    \[ \begin{aligned} 5x = 3+6x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ 5x - 6x = 3+6x - 6x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Subtract } 6x \text{ from both sides.}} \\ -x=3 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Combine like terms: } 5x - 6x = -x} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ and } 6x - 6x = 0.} \end{aligned}\nonumber \]

    Зверніть увагу, що змінна тепер ізольована на лівій стороні рівняння.

    Є кілька способів, якими ми можемо закінчити це рішення. Пам'ятайте, що − x збігається з (−1) x, тому ми можемо скасувати ефекти множення на −1, діливши обидві сторони рівняння на −1. Помноження обох сторін рівняння на −1 буде працювати однаково добре. Але, мабуть, найпростіший спосіб продовжити - просто звести нанівець обидві сторони рівняння.

    \[ \begin{aligned} -(-x) = -3 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Negate both sides.}} \\ x = -3 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify: } -(-x) = x.} \end{aligned}\nonumber \]

    Перевірити

    Замініть −3 для x у вихідному рівнянні.

    \[ \begin{aligned} 5x = 3+6x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ 5(-3) = 3+6(-3) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute } -3 \text{ for } x.} \\ -15 = 3-18 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply first on both sides.}} \\ -15 = -15 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Subtract on the right: } 3 -8 = -15.} \end{aligned}\nonumber \]

    Оскільки останній рядок перевірки є твердженням true, −3 є розв'язком вихідного рівняння.

    Вправа

    Вирішити для х: 7 х = 18 + 9 х

    Відповідь

    х = −9

    Робота з −x.

    Якщо ваше рівняння має вигляд

    − х = c,

    де c - деяке ціле число, зауважте, що це еквівалентно рівнянню (−1) x = c. Отже, розділення обох сторін на −1 призведе до отримання розв'язку для x. Множення обох сторін на −1 працює однаково добре. Однак, мабуть, найпростіше зробити - це звести нанівець кожну сторону, виробляючи

    − (− x) = − c, що еквівалентно x = − c.

    Приклад 5

    Вирішити для х: 6x − 5 = 12x + 19.

    Рішення

    Щоб ізолювати змінні з одного боку рівняння, відніміть 12x з обох сторін рівняння і спростіть.

    \[ \begin{aligned} 6x-5 = 12x+19 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ 6x-5-12x = 12x + 19 - 12x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Subtract } 12x \text{ from both sides.}} \\ -6x - 5 = 19 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Combine like terms: } 6x-12x=-6x} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ and } 12x-12x = 0.} \end{aligned}\nonumber \]

    Зверніть увагу, що змінна тепер ізольована на лівій стороні рівняння. Далі, щоб «скасувати» віднімання 5, додайте 5 до обох сторін рівняння.

    \[ \begin{aligned} -6x -5+5 = 19+5 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add 5 to both sides.}} \\ -6x = 24 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify: } -5+5=0 \text{ and } 19+5 = 24.} \end{aligned}\nonumber \]

    Нарешті, щоб «скасувати» множення на −6, розділіть обидві сторони рівняння на −6.

    \[ \begin{aligned} \frac{-6x}{-6} = \frac{24}{-6} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by } -6.} \\ x = -4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify: } 24/(-6)=-4.} \end{aligned}\nonumber \]

    Перевірте. Заставити −4 для x у вихідному рівнянні

    \[ \begin{aligned} 6x-5=12x+19 ~ & \textcolor{red}{ Original equation.}} \\ 6(-4)-5 = 12(-4)+19 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute } -4 \text{ for } x.} \\ -24-5 = -48 + 19 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply first on both sides.}} \\ -29 = -29 ~ & \textcolor{red}{ Add: } -24 - 5 = -29 \text{ and } -48 + 19 = -29.} \end{aligned}\nonumber \]

    Оскільки останній рядок перевірки є твердженням true, −4 є розв'язком вихідного рівняння.

    Вправа

    Вирішити для х: 2 х + 3 = 18 − 3 х

    Відповідь

    х = 3

    Приклад 6

    Розв'яжіть для x: 2 (3 x + 2) − 3 (4 − х) = x + 8.

    Рішення

    Використовуйте властивість distributive для видалення дужок у лівій частині рівняння.

    \[ \begin{aligned} 2(3x+2)-3(4-x)=x+8 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ 6x+4 - 12 + 3x = x + 8 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Use the distributive property.}} \\ 9x - 8 = x + 8 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Combine like terms: } 6x + 3x = 9x} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ and } 4-12 = -8.} \end{aligned}\nonumber \]

    Ізолюйте змінні зліва, віднімаючи x з обох сторін рівняння

    \[ \begin{aligned} 9x-8 -x = x + 8 - x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Subtract } x \text{ from both sides.}} \\ 8x - 8 = 8 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Combine like terms: } 9x-x = 8x} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ and } x-x=0.} \end{aligned}\nonumber \]

    Зверніть увагу, що змінна тепер ізольована на лівій стороні рівняння. Далі, щоб «скасувати» віднімання 8, додайте 8 до обох сторін рівняння.

    \[ \begin{aligned} 8x-8+8=8+8 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add 8 to both sides.}} \\ 8x = 16 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify: } -8+8=0 \text{ and } 8+8 = 16.} \end{aligned}\nonumber \]

    Нарешті, щоб «скасувати» множення на 8, розділіть обидві сторони рівняння на 8.

    \[ \begin{aligned} \frac{8x}{8} = \frac{16}{8} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides by 8.}} \\ x = 2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify: } 16/8=2.} \end{aligned}\nonumber \]

    Перевірте. Замініть 2 для x у вихідному рівнянні.

    \[ \begin{aligned} \end{aligned}\nonumber \]

    Оскільки останній рядок перевірки є істинним твердженням, 2 є розв'язком вихідного рівняння.

    Вправа

    Вирішити для x: 3 (2 x − 4) − 2 (5 − х) = 18

    Відповідь

    х = 5

    Вправи

    У вправах 1-16 розв'яжіть рівняння.

    1. −9х + х = −8

    2. 4х − 5х = −3

    3. −4=3x − 4x

    4. −6 = −5х+ 7х

    5. 27х + 51 = −84

    6. −20х + 46 = 26

    7. 9=5х + 9 − 6х

    8. −6 = х + 3 − 4х

    9. 0= −18х + 18

    10. 0= −х + 71

    11. 41 = 28х + 97

    12. −65 = −х − 35

    13. 8х − 8 − 9х = −3

    14. 6х+ 7 − 9х = 4

    15. −85х + 85 = 0

    16. 17х − 17 = 0

    У вправах 17-34 розв'яжіть рівняння.

    17. −6х = −5х − 9

    18. −5х = −3х − 2

    19. 6х − 7=5х

    20. 3х +8= −5х

    21. 4x − 3=5x − 1

    22. x − 2=9x − 2

    23. −3х +5=3х − 1

    24. −5х +9= −4х − 3

    25. −5х = −3х + 6

    26. 3х = 4х − 6

    27. 2х − 2=4х

    28. 6х − 4=2х

    29. −6х +8= −2х

    30. 4x − 9=3x

    31. 6х = 4х − 4

    32. −8х = −6х + 8

    33. −8х +2= −6х+ 6

    34. −3х +6= −2х − 5

    У вправах 35-52 розв'яжіть рівняння.

    35. 1 − (x − 2) = −3

    36. 1 − 8 (x − 8) = 17

    37. −7х + 6 (х + 8) = −2

    38. −8х + 4 (х + 7) = −12

    39. 8 (−6х − 1) = −8

    40. −7 (−2х − 4) = −14

    41. −7 (−4х − 6) = −14

    42. −2 (2х+ 8) = −8

    43. 2 − 9 (x − 5) = −16

    44. 7 − 2 (х + 4) = −1

    45. 7х+ 2 (х + 9) = −9

    46. −8х + 7 (х − 2) = −14

    47. 2 (−х + 8) = 10

    48. 2 (−х − 2) = 10

    49. 8+ 2 (x − 5) = −4

    50. −5 + 2 (х + 5) = −5

    51. 9х − 2 (х + 5) = −10

    52. −8x − 5 (x − 3) = 15

    У вправах 53-68 розв'яжіть рівняння.

    53. 4 (−7х + 5) + 8 = 3 (−9х − 1) − 2

    54. −4 (−x + 9) + 5 = − (−5x − 4) − 2

    55. −8 (−2x − 6) = 7 (5x − 1) − 2

    56. 5 (−4х − 8) = −9 (−6х+ 4) − 4

    57. 2 (2x − 9) + 5 = −7 (−х − 8)

    58. −6 (−4x − 9) + 4 = −2 (−9x − 8)

    59. 6 (−3х + 4) − 6 = −8 (2х+ 2) − 8

    60. −5 (5x − 9) − 3 = −4 (2х+ 5) − 6

    61. 2 (−2x − 3) = 3 (−х + 2)

    62. −2 (7х + 1) = −2 (3х − 7)

    63. −5 (−9x + 7) + 7 = − (−9x − 8)

    64. 7 (−2х − 6) + 1 = 9 (−2х+ 7)

    65. 5 (5х − 2) = 4 (8х + 1)

    66. 5 (−x − 4) = − (−x + 8)

    67. −7 (9х − 6) = 7 (5х+ 7) − 7

    68. −8 (2х+ 1) = 2 (−9х + 8) − 2

    Відповіді

    1. 1

    3. 4

    5. −5

    7. 0

    9. 1

    11. −2

    13. −5

    15. 1

    17. 9

    19. 7

    21. −2

    23. 1

    25. −3

    27. −1

    29. 2

    31. −2

    33. −2

    35. 6

    37. 50

    39. 0

    41. −2

    43. 7

    45. −3

    47. 3

    49. −1

    51. 0

    53. 33

    55. 3

    57. −23

    59. 21

    61. −12

    63. 1

    65. −2

    67. 0