1.7: Розв'язування рівнянь шляхом множення та ділення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57239

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У розділі 1.6 ми заявили, що два рівняння, які мають однакові розв'язки, еквівалентні. Крім того, ми побачили, що додавання одного і того ж числа до обох сторін рівняння призвело до еквівалентного рівняння. Аналогічно, віднімання одного і того ж числа з обох сторін рівняння також створює еквівалентне рівняння. Ми можемо робити подібні твердження для множення і ділення.

Множення обох сторін рівняння на однакову величину

Множення обох сторін рівняння на однакову величину не змінює множини розв'язків. Тобто, якщо

\[ a = b\nonumber \]

потім множення обох сторін рівняння на c дає еквівалентне рівняння

\[ a \cdot c = b \cdot c\nonumber \]

за умови c ≠ 0.

Аналогічне твердження можна зробити і про поділ.

Ділення обох сторін рівняння на однакову величину

Розділення обох сторін рівняння на однакову величину не змінює множини розв'язків. Тобто, якщо

\[ a = b\nonumber \]

потім діливши обидві сторони рівняння на c, виходить еквівалентне рівняння

\[ \frac{a}{c} = \frac{b}{c},\nonumber \]

за умови c ≠ 0.

У розділі 1.6 ми побачили, що додавання та віднімання були оберненими операціями. Якщо ви починаєте з числа, додайте 4 і відніміть 4, ви повернетеся до початкового числа. Це поняття також працює для множення і ділення.

Множення та ділення як обернені операції

Два надзвичайно важливих спостереження:

Обернене множення - ділення. Якщо ми починаємо з числа x і помножимо на число a, то ділення результату на число a повертає нас до вихідного числа x. В символах,

\[ \frac{a \cdot x}{a} = x.\nonumber \]

Обернене ділення - множення. Якщо ми починаємо з числа x і ділимо на число a, то множення результату на число a повертає нас до вихідного числа x. В символах,

\[ a \cdot \frac{x}{a} = x.\nonumber \]

Давайте втілимо ці ідеї в роботу.

Приклад 1

Розв'яжіть рівняння 3 х = 24 для х.

Рішення

Щоб скасувати ефекти множення на 3, розділимо обидві сторони рівняння на 3.

\[ \begin{aligned} 3x= 24 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ \frac{3x}{3} = \frac{24}{3} ~ & \textcolor{red}{ \text{Divide both sides of the equation by 3.}} \\ x = 8 ~ & \textcolor{red}{ \text{ On the left, dividing by 3 "undoes" the effect}} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ of multiplying by 3 and returns to } x. \text{ On the right,}} \\ ~ & \textcolor{red}{ 24/3 = 8.} \end{aligned}\nonumber \]

Для перевірки підставляємо розчин 8 в вихідне рівняння.

\[ \begin{aligned} 3x = 24 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ 3(8) = 24 ~ & \textcolor{red}{ \text{Substitute 8 for } x.} \\ 24 = 24 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify both sides.}} \end{aligned}\nonumber \]

Той факт, що останній рядок нашої перевірки є істинним твердженням гарантує, що 8 - це рішення 3х = 24.

Вправа

Вирішити для х: 5 х = 120.

Відповідь: 24

Приклад 2

Розв'яжіть наступне рівняння для x.

\[ \frac{x}{7} = 12\nonumber \]

Рішення

Щоб скасувати ефекти ділення на 7, множимо обидві сторони рівняння на 7.

\[ \begin{aligned} \frac{x}{7} = 12 ~ & \textcolor{red}{ \text{Original equation.}} \\ \frac{84}{7} = 12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply both sides of the equation by 7.}} \\ x = 84 ~ & \textcolor{red}{ \text{ On the left, multiplying by 7 "undoes" the effect}} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ of dividing by 7 and returns to } x. \text{ On the right,}} \\ ~ & \textcolor{red}{ 7 \cdot 12 = 84.} \end{aligned}\nonumber \]

Для перевірки підставляємо розчин 84 в вихідне рівняння.

\[ \begin{aligned} \frac{x}{7} = 12 & \textcolor{red}{ \text{ Original equation.}} \\ \frac{84}{7} = 12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute 84 for } x.} \\ 12 = 12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify both sides.}} \end{aligned}\nonumber \]

Той факт, що останній рядок нашої перевірки є істинним твердженням гарантує, що 84 - це рішення х /7 = 12.

Вправа

Вирішити для х: x/2 = 19

Відповідь: 38

Проблеми зі словами

У розділі 1.6 ми представили Вимоги до вирішення проблем Word. Ці вимоги будуть суворо дотримуватися в цьому розділі.

Приклад 3

П'ятнадцять разів певне число дорівнює 45. Знайдіть невідомий номер.

Рішення

У нашому рішенні ми ретельно розглянемо кожен крок Вимоги до вирішення проблем Word.

1. Налаштуйте словник змінних. Ми можемо задовольнити цю вимогу, просто заявивши «Нехай х представляє певне число».

2. Налаштуйте рівняння. «П'ятнадцять разів певне число 45» стає

\[ \begin{array}{c c c c} \colorbox{cyan}{15} & \text{times} & \colorbox{cyan}{a certain number} & \text{is} & \colorbox{cyan}{45} \\ 15 & \cdot & x & = & 45 \end{array}\nonumber \]

3. Розв'яжіть рівняння. Щоб «скасувати» множення на 15, розділіть обидві сторони рівняння на 15.

\[ \begin{aligned} 15x = 45 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original equation. Write 15 } \cdot x \text{ as 15}x} \\ \frac{15x}{15} = \frac{45}{15} ~& \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides of the equation by 15.}} \\ x = 3 ~ & \textcolor{red}{ \text{ On the left, dividing by 15 "undoes" the effect}} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ of multiplying by 15 and returns to } x. \text{ On the right,}} \\ ~ & \textcolor{red}{45/15 = 3.} \end{aligned}\nonumber \]

4. Дайте відповідь на питання. Невідоме число - 3.

5. Озирніться назад. Чи задовольняє рішення 3 словами початкової задачі? Нам сказали, що «15 разів певна кількість дорівнює 45». Ну, 15 разів 3 це 45, тому наше рішення правильне.

Вправа

Сім разів певне число - сто п'ять. Знайдіть невідомий номер.

Відповідь: 15

Приклад 4

Площа прямокутника становить 120 квадратних футів. Якщо довжина прямокутника становить 12 футів, знайдіть ширину прямокутника.

Рішення

У нашому рішенні ми ретельно розглянемо кожен крок Вимоги до вирішення проблем Word.

1. Налаштуйте словник змінних. Коли задіяна геометрія, ми можемо створити наш словник змінних, позначивши ретельно побудовану діаграму. Маючи на увазі цю думку, ми малюємо прямокутник, потім позначаємо його довжину, ширину і площу.

$Знімок екрана 2019-08-12 о 5.22.30 PM.png$

Малюнок дає зрозуміти, що W являє собою ширину прямокутника. На малюнку також узагальнено інформацію, необхідну для вирішення.

2. Налаштуйте рівняння. Ми знаємо, що площа прямокутника знаходиться шляхом множення його довжини і ширини; в символах,

\[ A = LW.\nonumber \]

Ми отримали площа A = 120 футів ² і довжина L = 12 футів. Підставляємо ці числа в формулу площі (1.1), щоб отримати

\[120 = 12W.\nonumber \]

3. Розв'яжіть рівняння. Щоб «скасувати» множення на 12, розділіть обидві сторони рівняння на 12.

\[ \begin{aligned} 120 = 12W ~ & \textcolor{red}{ \text{ Our equation.}} \\ \frac{120}{12} = \frac{12W}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Divide both sides of the equation by 12.}} \\ 10 = W ~ & \textcolor{red}{ \text{ On the right, dividing by 12 "undoes" the effect}} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ of multiplying by 12 and returns to } W. \text{ On the left,}} \\ ~ & \textcolor{red}{120/12 = 10.} \end{aligned}\nonumber \]

4. Дайте відповідь на питання. Ширина - 10 футів.

5. Озирніться назад. Чи задовольняє знайдена ширина словами початкової задачі? Нам сказали, що площа 120 квадратних футів і довжина 12 футів. Площа знаходиться шляхом множення довжини і ширини, що дає нам 12 футів разів 10 футів, або 120 квадратних футів. Відповідь працює!

Вправа

Площа прямокутника становить 3500 квадратних метрів. Якщо ширина 50 метрів, знайдіть довжину.

Відповідь: 70 метрів

Приклад 5

Клас з 23 учнів в середньому набирав 76 балів на іспиті. Скільки сумарних балів було накопичено класом в цілому?

Рішення

У нашому рішенні ми уважно розглянемо кожен крок Вимоги до вирішення проблем Word. Налаштуйте словник змінних. Ми можемо налаштувати наш змінний словник, просто заявивши «Нехай T представляють загальну кількість балів, накопичених класом» 2. Налаштуйте рівняння. Щоб знайти середній бал на іспиті, візьміть загальну кількість балів, накопичених класом, потім розділіть на кількість учнів в класі. У словах і символах,

\[ \begin{array}{c c c c c} \colorbox{cyan}{Total Points} & \text{divided by} & \colorbox{cyan}{ Number of Students} & \text{equals} & \text{Average Score} \\ T & \div & 23 & = & 76 \end{array}\nonumber \]

Еквівалентним представленням є

\[ \frac{T}{23} = 76.\nonumber \]

3. Розв'яжіть рівняння. Щоб «скасувати» ділення на 23, помножте обидві сторони рівняння на 23.

\[ \begin{aligned} \frac{T}{23} = 76 & \textcolor{red}{ \text{ Our equation.}} \\ 23 \cdot \frac{T}{23} = 76 \cdot 23 & \textcolor{red}{ \text{ Multiply both sides of the equation by 23.}} \\ T = 1748 & \textcolor{red}{ \text{ On the left, multiplying by 23 "undoes" the effect}} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ of dividing by 23 and returns to } T. \text{ On the right, }} \\ ~ & \textcolor{red}{76 \cdot 23 = 1748.} \end{aligned}\nonumber \]

4. Дайте відповідь на питання. Загальна кількість балів, накопичених класом на іспиті, становить 1748.

5. Озирніться назад. Чи задовольняє рішення 1,748 слів оригінальної задачі? Щоб знайти середнє значення на іспиті, розділіть загальні бали 1,748 на 23, кількість учнів в класі. Зверніть увагу, що це дає середній бал 1748 ÷ 23 = 76. Відповідь працює!

Спробуйте!

Клас з 30 учнів в середньому набирав 75 балів на іспиті. Скільки сумарних балів було накопичено класом в цілому?

Відповідь: 2 250

Вправи

У вправах 1-12, які з чисел, що слідують за даним рівнянням, є розв'язками даного рівняння?

1. $\frac{x}{6} = 4$; 24, 25, 27, 31

2. $\frac{x}{7} = 6$; 49, 42, 43, 45

3. $\frac{x}{2} = 3$; 6, 9, 13, 7

4. $\frac{x}{9} = 5$; 45, 46, 48, 52

5. $5x = 10$; 9, 2, 3, 5

6. $4x = 36$; 12, 16, 9, 10

7. $5x = 25$; 5, 6, 8, 12

8. $3x = 3$; 1, 8, 4, 2

9. $2x = 2$; 4, 8, 1, 2

10. $3x = 6$; 2, 9, 5, 3

11. $\frac{x}{8} = 7$; 57, 59, 63, 56

12. $\frac{x}{3} = 7$; 24, 21, 28, 22

У вправах 13-36 розв'яжіть задане рівняння для x.

13. $\frac{x}{6} = 7$

14. $\frac{x}{8} = 6$

15. $2x = 16$

16. $2x = 10$

17. $2x = 18$

18. $2x = 0$

19. $4x = 24$

20. $2x = 4$

21. $ \frac{x}{4} = 9$

22. $ \frac{x}{5} = 6$

23. $5x = 5$

24. $3x = 15$

25. $5x = 30$

26. $4x = 28$

27. $ \frac{x}{3} = 4$

28. $ \frac{x}{9} = 4$

29. $ \frac{x}{8} = 9$

30. $ \frac{x}{8} = 2$

31. $ \frac{x}{7} = 8$

32. $ \frac{x}{4} = 6$

33. $2x = 8$

34. $3x = 9$

35. $ \frac{x}{8} = 5$

36. $\frac{x}{5} = 4$

37. Ціна однієї книжкової шафи - 370 доларів. Благодійна організація закуповує невідому кількість книжкових шаф і загальна вартість покупки становить 4810 доларів. Знайдіть кількість придбаних книжкових шаф.

38. Ціна одного комп'ютера - 330 доларів. Благодійна організація закуповує невідому кількість комп'ютерів і загальна вартість покупки становить 3300 доларів. Знайдіть кількість придбаних комп'ютерів.

39. Коли невідоме число ділиться на 3, результат дорівнює 2. Знайдіть невідомий номер.

40. Коли невідоме число ділиться на 8, результат дорівнює 3. Знайдіть невідомий номер.

41. Клас з 29 учнів в середньому набирав 80 балів на іспиті. Скільки сумарних балів було накопичено класом в цілому?

42. Клас з 44 учнів в середньому набирав 87 балів на іспиті. Скільки сумарних балів було накопичено класом в цілому?

43. Коли невідоме число ділиться на 9, результат дорівнює 5. Знайдіть невідомий номер.

44. Коли невідоме число ділиться на 9, результат дорівнює 2. Знайдіть невідомий номер.

45. Площа прямокутника - 16 квадратних см. Якщо довжина прямокутника дорівнює 2 см, знайдіть ширину прямокутника.

46. Площа прямокутника становить 77 квадратних футів. Якщо довжина прямокутника дорівнює 7 футам, знайдіть ширину прямокутника.

47. Площа прямокутника - 56 квадратних см. Якщо довжина прямокутника дорівнює 8 см, знайдіть ширину прямокутника.

48. Площа прямокутника - 55 квадратних см. Якщо довжина прямокутника дорівнює 5 см, знайдіть ширину прямокутника.

49. Ціна однієї стереосистеми становить 430 доларів. Благодійна організація купує невідому кількість стереосистем, а загальна вартість покупки становить 6 020 доларів. Знайдіть кількість придбаних стереосистем.

50. Ціна одного комп'ютера - 490 доларів. Благодійна організація закуповує невідому кількість комп'ютерів і загальна вартість покупки становить 5 880 доларів. Знайдіть кількість придбаних комп'ютерів.

51. Клас з 35 студентів в середньому набирав 74 бали на іспиті. Скільки сумарних балів було накопичено класом в цілому?

52. Клас з 44 учнів в середньому набирав 88 балів на іспиті. Скільки сумарних балів було накопичено класом в цілому?

53. 5 разів невідоме число дорівнює 20. Знайдіть невідомий номер.

54. 5 разів невідоме число - 35. Знайдіть невідомий номер.

55. 3 рази невідоме число дорівнює 21. Знайдіть невідомий номер.

56. 2 рази невідоме число - 10. Знайдіть невідомий номер.

Відповіді

1. 24

3. 6

5. 2

7. 5

9. 1

11. 56

13. 42

15. 8

17. 9

19. 6

21. 36

23. 1

25. 6

27. 12

29. 72

31. 56

33. 4

35. 40

37. 13

39. 6

41. 2 320

43. 45

45. 8 см

47. 7 см

49. 14

51. 2 590

53. 4

55. 7