8.1: Оцінка за округленням

Цілі навчання

• зрозуміти причину оцінки
• вміти оцінювати результат додавання, множення, віднімання або ділення за допомогою техніки округлення

Починаючи обчислення, цінно мати уявлення про те, яке значення очікувати для результату. Коли обчислення завершено, цінно знати, чи є результат розумним.

В процесі округлення важливо відзначити два факти:

1. Округлення, яке виконується при оцінці, не завжди відповідає правилам округлення, розглянутим у [link] (Округлення цілих чисел). Оскільки оцінка стосується очікуваного значення обчислення, округлення здійснюється за допомогою зручності як керівництва, а не за допомогою жорстких і швидких правил округлення. Наприклад, при бажанні оцінити результат поділу\(80 \div 26\) зручно розділити на 20, ніж на 30.
2. Оскільки округлення може відбуватися з зручності, і різні люди мають різні уявлення про те, що може бути зручним, результати оцінки, зробленої шляхом округлення, можуть відрізнятися. Для конкретного обчислення різні люди можуть отримати різні оціночні результати. Результати можуть відрізнятися.

Визначення: Оцінка

Оцінка - це процес визначення очікуваного значення обчислення.

Загальні слова, що використовуються в оцінці, приблизно, поруч і між ними.

Оцінка за округленням

Метод округлення оцінює результат обчислення шляхом округлення чисел, що беруть участь у обчисленні, до однієї або двох ненульових цифр.

Набір зразків A

Оцініть суму:\(2,357 + 6,106\).

Рішення

Зверніть увагу, що близько 2,357\(\underbrace{2,400}_{\text{two nonzero digits}}\) і що 6,106 близько\(\underbrace{6,100}_{\text{two nonzero digits}}\)

Суму можна оцінити по\(2,400 + 6,100 = 8,500\). (Це швидко і легко додати 24 і 61.)

Таким чином,\(2,357 + 6,106\) становить близько 8400. Насправді,\(2,357 + 6,106 = 8,463\).

Практика Set A

Оцініть суму:\(4,216 + 3,942\).

Відповідь

\(4,216 + 3,942: 4,200 + 3,900\). Близько 8,100. Насправді 8,158.

Практика Set A

Оцініть суму:\(812 + 514\).

Відповідь

\(812 + 514: 800 + 500\). Близько 1300. Насправді, 1 326.

Практика Set A

Оцініть суму:\(43,892 + 92,106\).

Відповідь

\(43,892 + 92,106: 44,000 + 92,000\). Близько 136 000. Насправді, 135 998.

Набір зразків B

Оцініть різницю:\(5,203 - 3,015\).

Рішення

Зверніть увагу, що близько 5,203\(\underbrace{5,200}_{\text{two nonzero digits}}\) і що 3,015 близько\(\underbrace{3,000}_{\text{one nonzero digit}}\)

Різницю можна оцінити по\(5,200 - 3,000 = 2,200\).

Таким чином,\(5,203 - 3,015\) становить близько 2200. Насправді,\(5,203 - 3,015 = 2,188\).

Ми могли б зробити менш точну оцінку, спостерігаючи, що 5,203 близько 5000. Число 5000 має лише одну ненульову цифру, а не дві (як це робить 5200). Цей факт робить оцінку швидшою (але трохи менш точною). Потім ми оцінюємо різницю на\(5,000 - 3,000 =2,000\). І робимо висновок, що\(5,203 - 3,015\) це близько 2000. Ось чому ми говоримо, що «відповіді можуть відрізнятися».

Практика Set B

Оцініть різницю:\(628 - 413\).

Відповідь

628 − 413:600 − 400. Близько 200. Насправді, 215.

Практика Set B

Оцініть різницю:\(7,842 - 5,209\).

Відповідь

7 842 - 5209:7 800 - 5200. Близько 2600. Насправді, 2 633.

Практика Set B

Оцініть різницю:\(73,812 - 28,492\).

Відповідь

73 812 — 28 492:74 000 − 28 000. Близько 46 000. Насправді, 45 320.

Набір зразків C

Оцініть товар:\(73 \cdot 46\).

Рішення

Зверніть увагу, що 73 поруч\(\underbrace{70}_{\text{one nonzero digit}}\) і що 46 поруч\(\underbrace{50}_{\text{one nonzero digit}}\).

Продукт можна оцінити по\(70 \cdot 50 = 3,500\). (Нагадаємо, що для множення чисел, що закінчуються нулями, множимо ненульові цифри і проставляємо до цього добутку загальну кількість кінцевих нулів в множниках. Див. [посилання] для огляду цієї техніки.)

Таким чином,\(73 \cdot 46\) становить близько 3500. Насправді,\(73 \cdot 46 = 3,358\).

Набір зразків C

Оцініть товар:\(87 \cdot 4,316\).

Рішення

Зверніть увагу, що 87 знаходиться поруч\(\underbrace{90}_{\text{one nonzero digit}}\) і що 4,316 поруч\(\underbrace{4,000}_{\text{one nonzero digit}}\).

Продукт можна оцінити по\(90 \cdot 4,000 = 360,000\).

Таким чином,\(87 \cdot 4,316\) становить близько 360 000. Насправді,\(87 \cdot 4,316 = 375,492\).

Практика Set C

Оцініть товар:\(31 \cdot 87\).

Відповідь

\(31 \cdot 87 : 30 \cdot 90\). Близько 2700. Насправді, 2 697.

Практика Set C

Оцініть товар:\(18 \cdot 42\).

Відповідь

\(18 \cdot 42 : 20 \cdot 40\). Близько 800. Насправді, 756.

Практика Set C

Оцініть товар:\(16 \cdot 94\).

Відповідь

\(16 \cdot 94 : 15 \cdot 100\). Близько 1500. Насправді 1,504.

Набір зразків D

Оцініть коефіцієнт:\(153 \div 17\).

Рішення

Зверніть увагу, що 153 близький до\(\underbrace{150}_{\text{two nonzero digits}}\) і що 17 близький до\(\underbrace{15}_{\text{two nonzero digits}}\).

Коефіцієнт можна оцінити по\(150 \div 15 = 10\).

Таким чином,\(153 \div 17\) становить близько 10. Насправді,\(153 \div 17 = 9\).

Набір зразків D

Оцініть коефіцієнт:\(742,000 \div 2,400\).

Рішення

Зверніть увагу, що 742 000 близький до\(\underbrace{700,000}_{\text{one nonzero digit}}\) і що 2400 близький до\(\underbrace{2,000}_{\text{one nonzero digit}}\).

Коефіцієнт можна оцінити по\(700,000 \div 2,000 = 350\).

Таким чином,\(742,000 \div 2,400\) становить близько 350. Насправді,\(742,000 \div 2,400 = 309.1\overline{6}\).

Практика Set D

Оцініть коефіцієнт:\(221 \div 18\).

Відповідь

\(221 \div 18: 200 \div 20\). Близько 10. Насправді, 12.27.

Практика Set D

Оцініть коефіцієнт:\(4,079 \div 381\).

Відповідь

\(4,079 \div 381: 4,000 \div 400\). Близько 10. Насправді, 10.70603675...

Практика Set D

Оцініть коефіцієнт:\(609,000 \div 16,000\).

Відповідь

\(609,000 \div 16,000: 600,000 \div 15,000\). Близько 10. Насправді 38.0625.

Набір зразків E

Оцініть суму:\(53.82 \div 41.6\).

Рішення

Зверніть увагу, що 53.82 близький до\(\underbrace{54}_{\text{two nonzero digits}}\) і що 41.6 близький до\(\underbrace{42}_{\text{two nonzero digits}}\).

Коефіцієнт можна оцінити по\(54 + 42 = 96\).

Таким чином,\(53.82 + 41.6\) становить близько 96. Насправді,\(53.82 + 41.6 = 95.42\).

Практика Set E

Оцініть суму:\(61.02 + 26.8\).

Відповідь

\(61.02 + 26.8 : 61 + 27\). Близько 88. Насправді, 87.82.

Практика Set E

Оцініть суму:\(109.12 + 137.88\).

Відповідь

\(109.12 + 137.88 : 110 + 138\). Близько 248. Насправді, 247. Ми могли б оцінити 137,88 з 140. Тоді\(110 + 140\) є легким психічним доповненням. Тоді ми б зробили висновок, що\(109.12 + 137.88\) це близько 250.

Набір зразків F

Оцінка продукту: (31.28) (14.2).

Рішення

Зверніть увагу, що 31.28 близький до\(\underbrace{30}_{\text{one nonzero digit}}\) і що 14.2 близький до\(\underbrace{15}_{\text{two nonzero digits}}\).

Продукт можна оцінити по\(30 \cdot 15 = 450\). (\(3 \cdot 15 = 45\), потім проставте один нуль.)

Таким чином, (31.28) (14.2) становить близько 450. Насправді,\(31.28)(14.2) = 444.176\).

Набір зразків F

Оцініть 21% від 5,42.

Рішення

Зверніть увагу, що\(21\% = .21\) як десяткова, і що .21 близький до\(\underbrace{.2}_{\text{one nonzero digit}}\)

Зверніть увагу також, що 5.42 близький до\(\underbrace{5.}_{\text{one nonzero digit}}\).

Тоді 21% з 5,42 можна оцінити по\((.2)(5) = 1\).

Таким чином, 21% з 5,42 становить близько 1. Фактично 21% з 5,42 становить 1,1382.

Практика Set F

Оцініть товар: (47.8) (21.1).

Відповідь

(47.8) (21.1): (50) (20). Близько 1000. Насправді, 1 008.58.

Практика Set F

Оцінка 32% від 14,88.

Відповідь

32% з 14,88: (.3) (15). Близько 4.5. Насправді, 4.7616.

Вправи

Оцініть кожен розрахунок, використовуючи метод округлення. Після того, як ви зробили оцінку, знайдіть точне значення і порівняйте це з розрахунковим результатом, щоб побачити, чи є ваша оцінена вартість розумною. Результати можуть відрізнятися.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

\(1,402 + 2,198\)

Відповідь

близько 3600; насправді 3600

Вправа\(\PageIndex{2}\)

\(3,481 + 4,216\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

\(921 + 796\)

Відповідь

близько 1700; насправді 1,717

Вправа\(\PageIndex{4}\)

\(611 + 806\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

\(4,681 + 9,325\)

Відповідь

близько 14 000; насправді 14 006

Вправа\(\PageIndex{6}\)

\(6,476 + 7,814\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

\(7,805 - 4,266\)

Відповідь

близько 3500; насправді 3 539

Вправа\(\PageIndex{8}\)

\(8,427 - 5,342\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

\(14,106 - 8,412\)

Відповідь

близько 5700; насправді 5 694

Вправа\(\PageIndex{10}\)

\(26,486 - 18,931\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

\(32 \cdot 53\)

Відповідь

близько 1500; насправді 1,696

Вправа\(\PageIndex{12}\)

\(67 \cdot 42\)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

\(628 \cdot 891\)

Відповідь

близько 540 000; насправді 559 548

Вправа\(\PageIndex{14}\)

\(426 \cdot 741\)

Вправа\(\PageIndex{15}\)

\(18,012 \cdot 32,416\)

Відповідь

близько 583 200 000; насправді 583 876 992

Вправа\(\PageIndex{16}\)

\(22,481 \cdot 51,076\)

Вправа\(\PageIndex{17}\)

\(287 \div 19\)

Відповідь

близько 15; насправді 15.11

Вправа\(\PageIndex{18}\)

\(884 \div 33\)

Вправа\(\PageIndex{19}\)

\(1,254 \div 57\)

Відповідь

близько 20; насправді 22

Вправа\(\PageIndex{20}\)

\(2,189 \div 42\)

Вправа\(\PageIndex{21}\)

\(8,092 \div 239\)

Відповідь

близько 33; насправді 33,86

Вправа\(\PageIndex{22}\)

\(2,688 \div 48\)

Вправа\(\PageIndex{23}\)

\(72.14 + 21.08\)

Відповідь

близько 93,2; насправді 93,22

Вправа\(\PageIndex{24}\)

\(43.016 + 47.58\)

Вправа\(\PageIndex{25}\)

\(96.53 - 26.91\)

Відповідь

близько 70; насправді 69,62

Вправа\(\PageIndex{26}\)

\(115.0012 - 25.018\)

Вправа\(\PageIndex{27}\)

\(206.19 + 142.38\)

Відповідь

близько 348,6; насправді 348,57

Вправа\(\PageIndex{28}\)

\(592.131 + 211.6\)

Вправа\(\PageIndex{29}\)

\((32.12)(48.7)\)

Відповідь

близько 1 568,0; насправді 1 564,244

Вправа\(\PageIndex{30}\)

\((87.013)(21.07)\)

Вправа\(\PageIndex{31}\)

\((3.003)(16.52)\)

Відповідь

близько 49,5; насправді 49,60956

Вправа\(\PageIndex{32}\)

\((6.032)(14.091)\)

Вправа\(\PageIndex{33}\)

\((114.06)(384.3)\)

Відповідь

близько 43 776; насправді 43 833,258

Вправа\(\PageIndex{34}\)

\((5,137.118)(263.56)\)

Вправа\(\PageIndex{35}\)

\((6.92)(0.88)\)

Відповідь

близько 6,21; насправді 6.0896

Вправа\(\PageIndex{36}\)

\((83.04)(1.03)\)

Вправа\(\PageIndex{37}\)

\((17.31)(.003)\)

Відповідь

близько 0,0519; насправді 0,05193

Вправа\(\PageIndex{38}\)

\((14.016)(.016)\)

Вправа\(\PageIndex{39}\)

93% із 7.01

Відповідь

близько 6,3; насправді 6.5193

Вправа\(\PageIndex{40}\)

107% із 12,6

Вправа\(\PageIndex{41}\)

32% із 15,3

Відповідь

близько 4,5; насправді 4,896

Вправа\(\PageIndex{42}\)

74% із 21.93

Вправа\(\PageIndex{43}\)

18% із 4.118

Відповідь

близько 0,8; насправді 0,74124

Вправа\(\PageIndex{44}\)

4% з 8.63

Вправа\(\PageIndex{45}\)

2% із 0039

Відповідь

близько 0,00008; насправді 0,000078

Вправи для рецензування

Вправа\(\PageIndex{46}\)

Знайдіть різницю:\(\dfrac{7}{10} - \dfrac{5}{16}\).

Вправа\(\PageIndex{47}\)

Знайдіть значення\(\dfrac{6 - \dfrac{1}{4}}{6 + \dfrac{1}{4}}\).

Відповідь

\(\dfrac{23}{25}\)

Вправа\(\PageIndex{48}\)

Перетворіть складне десяткове число\(1.11\dfrac{1}{4}\) в десяткове.

Вправа\(\PageIndex{49}\)

Жінка заввишки 5 футів кидає 8-футову тінь в певний час доби. Наскільки високе дерево, яке відкидає 96-футову тінь в один і той же час доби?

Відповідь

60 футів заввишки

Вправа\(\PageIndex{50}\)

11.62 це 83% від якого числа?