7.3: Застосування пропорцій

Цілі навчання

• вирішувати задачі пропорцій за допомогою п'ятикрокового методу

П'ятиступінчастий метод

У [link] ми відзначили, що багато практичних проблем можна вирішити шляхом написання даної інформації у вигляді пропорцій. Такі пропорції будуть складатися з трьох заданих цифр і одного невідомого числа, представленого буквою.

Перша і найважливіша частина вирішення проблеми пропорцій - це визначити, уважно прочитавши, що таке невідома кількість, і представити її якоюсь літерою.

П'ятикроковий метод
П'ятиступінчастий метод розв'язання пропорційних задач:

1. Уважно прочитавши, визначте, що таке невідома величина, і уявляйте її якоюсь літерою. У проблемі буде тільки один невідомий.
2. Визначте три зазначені цифри.
3. Визначте, які порівняння потрібно зробити, і встановіть пропорцію.
4. Вирішити пропорцію (використовуючи методи [посилання]).
5. Тлумачити і написати висновок в реченні з відповідними одиницями виміру.

Крок 1 вкрай важливий. Багато проблем залишаються невирішеними, оскільки не потрібен час, щоб встановити, яку кількість потрібно знайти.

При вирішенні прикладної задачі завжди починайте з визначення невідомої величини і представлення її буквою.

Вирішення проблем

Набір зразків A

На карті 2 дюйми означають 25 миль. Скільки миль представлено 8 дюймами?

Рішення

Крок 1: Невідома кількість - милі.
Нехай\(x =\) кількість миль, представлених 8 дюймів

Крок 2: Три зазначені цифри -
2 дюйми
25 миль
8 дюймів

Крок 3: Порівняння
2 дюймів до 25 миль\(\to \dfrac{\text{2 inches}}{\text{25 miles}}\)
8 дюймів до\(x\) миль\(\to \dfrac{\text{8 inches}}{\text{x miles}}\)
Пропорції за участю співвідношення і ставки більш легко вирішуються шляхом призупинення одиниць під час виконання обчислень. \(\dfrac{2}{25} = \dfrac{8}{x}\)

Крок 4:\(\dfrac{2}{25} = \dfrac{8}{x}\) Виконайте перехресне множення.
\(\begin{array} {rcl} {2 \cdot x} & = & {8 \cdot 25} \\ {2 \cdot x} & = & {200 \ \ \ \ \ \ \ \text{Divide 200 by 2.}} \\ {x} & = & {\dfrac{200}{2}} \\ {x} & = & {100} \end{array}\)
На кроці 1 ми дозволяємо\(x\) представляти кількість миль. Отже,\(x\) являє собою 100 миль.

Крок 5: Якщо 2 дюйми представляють 25 миль, то 8 дюймів представляють 100 миль.

Набір зразків A

Кислотний розчин складається з 7 частин води на 2 частини кислоти. Скільки частин води знаходиться в розчині, що складається з 20 частин кислоти?

Рішення

Крок 1: Невідома кількість - це кількість частин води.
Нехай\(x =\) кількість частин води.

Крок 2: Три зазначені числа -
7 частин води,
2 частини кислоти,
20 частин кислоти.

Крок 3: Порівняння
7 частин води до 2 частин кислоти\(\to \dfrac{7}{2}\)
\(n\) частин води до 20 частин кислоти\(\to \dfrac{n}{20}\)
\(\dfrac{7}{2} = \dfrac{n}{20}\)

Крок 4:\(\dfrac{7}{2} = \dfrac{n}{20}\) Виконайте перехресне множення.
\(\begin{array} {rcl} {7 \cdot 20} & = & {2 \cdot n} \\ {140} & = & {2 \cdot n \ \ \ \text{Divide 140 by 2.}} \\ {\dfrac{140}{2}} & = & {n} \\ {70} & = & {n} \end{array}\)
На кроці 1 ми дозволимо\(n\) представляти кількість частин води. Отже,\(n\) являє собою 70 частин води.

Крок 5: На 7 частин води на 2 частини кислоти вказується 70 частин води на 20 частин кислоти.

Набір зразків A

5-футова дівчина кидає тінь для\(3 \dfrac{1}{3}\) ніг в певний час доби. Наскільки висока людина, яка відкидає 3-футову тінь в один і той же час доби?

Рішення

Крок 1: Невідома кількість - це зростання людини.
Нехай\(h = \text{ height of the preson.}\)

Крок 2: Три вказані числа -
5 футів (висота дівчини)
3\(\dfrac{1}{3}\) фути (довжина тіні)
3 фути (довжина тіні)

Крок 3: Порівняння
5-футової дівчини - це тінь для\(3 \dfrac{1}{3}\)\(\to \dfrac{5}{3 \dfrac{1}{3}}\)
\(h\) ніг - це 3-футова тінь\(\to \dfrac{h}{3}\)
\(\dfrac{5}{3\dfrac{1}{3}} = \dfrac{h}{3}\)

Крок 4:

\(\begin{array} {rcl} {\dfrac{5}{3\dfrac{1}{3}}} & = & {\dfrac{h}{3}} \\ {5 \cdot 3} & = & {3 \dfrac{1}{3} \cdot h} \\ {15} & = & {\dfrac{10}{3} \cdot h \ \ \ \ \text{Divide 15 by } \dfrac{10}{3}} \\ {\dfrac{15}{\dfrac{10}{3}}} & = & {h} \\ {\dfrac{\begin{array} {c} {^3} \\ {\cancel{15}} \end{array}}{1} \cdot \dfrac{3}{\begin{array} {c} {\cancel{10}} \\ {^2} \end{array}}} & = & {h} \\ {\dfrac{9}{2}} & = & {h} \\ {h} & = & {4 \dfrac{1}{2}} \end{array}\)

Крок 5: Людина, яка кидає 3-футову тінь в цей конкретний час доби, має висоту\(4 \dfrac{1}{2}\) ноги.

Набір зразків A

Співвідношення чоловіків і жінок в конкретному містечку становить 3 до 5. Скільки жінок в місті, якщо в місті 19,200 чоловіків?

Рішення

Крок 1: Невідома кількість - це кількість жінок у місті.
Нехай\(x =\) кількість жінок у місті.

Крок 2: Три вказані числа -
3
5
19,200

Крок 3: Порівняння - 3 чоловіки до 5 жінок\(\to \dfrac{3}{5}\)
19 200 чоловіків до\(x\) жінок\(\to \dfrac{19,200}{x}\)
\(\dfrac{3}{5} = \dfrac{19,200}{x}\)

Крок 4:

\(\begin{array} {rcl} {\dfrac{3}{5}} & = & {\dfrac{19,200}{x}} \\ {3 \cdot x} & = & {19,200 \cdot 5} \\ {3 \cdot x} & = & {96,000} \\ {x} & = & {\dfrac{96,000}{3}} \\ {x} & = & {32,000} \end{array}\)

Крок 5: У місті проживає 32 000 жінок.

Набір зразків A

Норма виграшів до втрат конкретної бейсбольної команди становить\(\dfrac{9}{2}\). Скільки ігор ця команда програла, якщо виграла 63 гри?

Рішення

Крок 1: Невідома кількість - це кількість втрачених ігор.
Нехай\(n =\) кількість ігор програли.

Крок 2: Оскільки\(\dfrac{9}{2} \to\) означає 9 перемог до 2 програшів, три зазначені числа -
9 (виграші)
2 (поразки)
63 (перемоги)

Крок 3: Порівняння - це
9 перемог до 2 втрат\(\to \dfrac{9}{2}\)
63 перемоги до\(n\) програшів\(\to \dfrac{63}{n}\)
\(\dfrac{9}{2} = \dfrac{63}{n}\)

Крок 4:

\(\begin{array} {rcl} {\dfrac{9}{2}} & = & {\dfrac{63}{n}} \\ {9 \cdot n} & = & {2 \cdot 63} \\ {9 \cdot n} & = & {126} \\ {n} & = & {\dfrac{126}{9}} \\ {n} & = & {14} \end{array}\)

Крок 5: Ця команда мала 14 втрат.

Практика Set A

Вирішіть кожну проблему.

На карті 3 дюйми означають 100 миль. Скільки миль представлено 15 дюймами?

Крок 1:

Крок 2:

Крок 3:

Крок 4:

Крок 5:

Відповідь

500 миль

Практика Set A

Спиртовий розчин складається з 14 частин води на 3 частини спирту. Скільки частин спирту знаходиться в розчині, який складається з 112 частин води?

Крок 1:

Крок 2:

Крок 3:

Крок 4:

Крок 5:

Відповідь

24 частини спирту

Практика Set A

A\(5 \dfrac{1}{2}\) -foot жінка кидає 7-футову тінь в певний час доби. Як довго тіні кидає 3-футовий хлопчик в той же час доби?

Крок 1:

Крок 2:

Крок 3:

Крок 4:

Крок 5:

Відповідь

\(3 \dfrac{9}{11}\)ноги

Практика Set A

Норма кімнатних рослин на зовнішні рослини в розпліднику становить від 4 до 9. Якщо в розпліднику 384 кімнатних рослини, скільки зовнішніх рослин?

Крок 1:

Крок 2:

Крок 3:

Крок 4:

Крок 5:

Відповідь

864 зовнішні рослини

Практика Set A

Шанси на певну подію, що відбувається, становлять від 11 до 2. (За кожні 11 разів подія відбувається, вона не відбудеться 2 рази.) Скільки разів відбувається подія, якщо воно не відбувається 18 разів?

Крок 1:

Крок 2:

Крок 3:

Крок 4:

Крок 5:

Відповідь

Подія відбувається 99 разів.

Практика Set A

Швидкість проходження оцінок до невдалих класів в конкретному класі хімії становить 7272. Якщо є 21 прохідний бал, скільки є невдалих оцінок?

Крок 1:

Крок 2:

Крок 3:

Крок 4:

Крок 5:

Відповідь

6 невдалі оцінки

Вправи

Для наступних 20 проблем використовуйте п'ятикроковий метод для вирішення кожної проблеми.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

На карті 4 дюйми представляють 50 миль. Скільки дюймів представляють 300 миль?

Відповідь

24

Вправа\(\PageIndex{2}\)

На кресленні для будинку 2 дюйми представляють 3 фути. Скільки дюймів представляють 10 футів?

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Модель побудована в\(\dfrac{2}{15}\) масштабі. Якщо конкретна частина моделі вимірює 6 дюймів, як довго це фактична структура?

Відповідь

45 дюймів

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Кислотний розчин складається з 5 частин кислоти на 9 частин води. Скільки частин кислоти знаходиться в розчині, який містить 108 частин води?

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Сплав містить 3 частини нікелю до 4 частин срібла. Скільки нікелю в сплаві, який містить 44 частини срібла?

Відповідь

33 частини

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Співвідношення води і солі в пробірці становить 5 до 2. Скільки солі в пробірці, яка містить 35 мл води?

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Співвідношення сірки до повітря в ємності становить\(\dfrac{4}{45}\). Скільки мл повітря знаходиться в ємності, яка містить 207 мл сірки?

Відповідь

2328.75

Вправа\(\PageIndex{8}\)

6-футовий чоловік кидає 4-футову тінь в певний час доби. Наскільки висока людина, яка кидає 3-футову тінь в той же час доби?

Вправа\(\PageIndex{9}\)

A\(5\dfrac{1}{2}\) -foot жінка кидає тінь\(1\dfrac{1}{2}\) -foot в певний час доби. Як довго тінь\(3\dfrac{1}{2}\) кидає її племінниця в один і той же час дня?

Відповідь

\(\dfrac{21}{22}\)ноги

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Чоловік, який має висоту 6 футів, кидає 7-футову тінь в певний час доби. Наскільки високе дерево, яке кидає 84-футову тінь в той же час доби?

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Співвідношення книг до полиць в книжковому магазині становить 350 до 3. Скільки книг є в магазині, який має 105 полиць?

Відповідь

12 250

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Співвідношення класів алгебри до класів геометрії в конкретному коледжі громади становить 13 до 2. Скільки класів геометрії пропонує цей коледж, якщо він пропонує 13 класів алгебри?

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Шанси на певну подію, що відбудеться, становлять від 16 до 3. Якщо ця подія відбувається 64 рази, скільки разів ви б прогнозували, що вона не відбудеться?

Відповідь

12

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Шанси проти певної події, що відбувається, становлять від 8 до 3. Якщо ця подія відбудеться 64 рази, скільки разів ви б прогнозували, що вона не відбудеться?

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Власник канцелярського магазину знає, що 1-дюймова стопка паперу містить 300 аркушів. Власник бажає укладати папір одиницями по 550 аркушів. Скільки дюймів заввишки повинен бути кожен стек?

Відповідь

\(1\dfrac{5}{6}\)

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Рецепт, який вимагає 6 чашок цукру на 15 порцій, слід використовувати для приготування 45 порцій. Скільки знадобиться цукру?

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Ставок втрачає\(7\dfrac{1}{2}\) галони води кожні 2 дні через випаровування. Скільки галонів води втрачається через випаровування в\(\dfrac{1}{2}\) день?

Відповідь

\(1\dfrac{7}{8}\)

Вправа\(\PageIndex{18}\)

Фотографію, яка вимірює 3 дюйми в ширину і\(4\dfrac{1}{2}\) дюйми у висоту, повинна бути збільшена так, щоб вона була шириною 5 дюймів. Наскільки високо це буде?

Вправа\(\PageIndex{19}\)

Якщо 25 фунтів добрив покриває 400 квадратних футів трави, скільки фунтів знадобиться, щоб покрити 500 квадратних футів трави?

Відповідь

\(31 \dfrac{1}{4}\)

Вправа\(\PageIndex{20}\)

Кожна\(\dfrac{1}{2}\) чайна ложка певного багаторазового вітаміну, в гранульованому вигляді, містить 0,65 мінімальної добової потреби вітаміну С. Скільки чайних ложок цього вітаміну потрібно для забезпечення 1,25 мінімальної добової потреби?

Вправи для огляду

Вправа\(\PageIndex{21}\)

Знайдіть товар,\(818 \cdot 0\).

Відповідь

0

Вправа\(\PageIndex{22}\)

Визначаємо відсутній чисельник:\(\dfrac{8}{15} = \dfrac{N}{90}\).

Вправа\(\PageIndex{23}\)

Знайдіть значення\(\dfrac{\dfrac{3}{10} + \dfrac{4}{12}}{\dfrac{19}{20}}\).

Відповідь

\(\dfrac{2}{3}\)

Вправа\(\PageIndex{24}\)

Відніміть 0,249 з суми 0,344 і 0,612.

Вправа\(\PageIndex{25}\)

Вирішіть пропорції:\(\dfrac{6}{x} = \dfrac{36}{30}\).

Відповідь

5