7.2: Пропорції

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57296

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

вміти описувати пропорції і знаходити відсутній фактор в пропорції
вміти працювати з пропорціями за участю ставок

Коефіцієнти, ставки та пропорції

Визначення: Співвідношення, Ставка

Ми визначили співвідношення як порівняння, шляхом ділення, двох чистих чисел або двох подібних номінальних чисел. Ми визначили швидкість як порівняння, шляхом ділення, двох, відмінних від номінальних чисел.

Визначення: Пропорція

Пропорція - це твердження про те, що два співвідношення або ставки рівні. Наступні два приклади показують, як читати пропорції.

$Три четверті дорівнює шести восьмих. 3 до чотирьох, як шість до восьми. 25 миль розділений на 1 галон дорівнює 50 миль розділений на 2 галони. 25 миль - це 1 галон, як 50 миль до 2 галонів.$

Набір зразків A

Напишіть або прочитайте кожну пропорцію.

$\dfrac{3}{5} = \dfrac{12}{20}$

Рішення

3 до 5, як 12 до 20

Набір зразків A

$\dfrac{\text{10 items}}{\text{5 dollars}} = \dfrac{\text{2 items}}{\text{1 dollar}}$

Рішення

10 предметів - до 5 доларів, як 2 елементи - 1 долар

Набір зразків A

8 до 12, як 16 до 24.

Рішення

$\dfrac{8}{12} = \dfrac{16}{24}$

Набір зразків A

50 міліграмів вітаміну С - це 1 таблетка, оскільки 300 міліграм вітаміну С - до 6 таблеток.

Рішення

$\dfrac{50}{1} = \dfrac{300}{6}$

Практика Set A

Напишіть або прочитайте кожну пропорцію.

$\dfrac{3}{8} = \dfrac{6}{16}$

Відповідь: 3 до 8, як 6 до 16

Практика Set A

$\dfrac{\text{2 people}}{\text{1 window}} = \dfrac{\text{10 people}}{\text{5 windows}}$

Відповідь: 2 людини до 1 вікна, як 10 осіб до 5 вікон

Практика Set A

15 до 4, як 75 до 20.

Відповідь: $\dfrac{15}{4} = \dfrac{75}{20}$

Практика Set A

2 пластини - до 1 лотка, оскільки 20 пластин - до 10 лотків.

Відповідь: \ (\ dfrac {\ текст {2 пластини}} {\ текст {1 лоток}} =\ dfrac {\ текст {20 пластин}} {\ текст {10 лотків}}

Пошук відсутнього фактора в пропорції

Багато практичні проблеми можна вирішити, написавши задану інформацію у вигляді пропорцій. Такі пропорції будуть складатися з трьох заданих чисел і одного невідомого числа. Прийнято дозволяти букві, наприклад$x$, являти собою невідоме число. Прикладом такої пропорції є

$\dfrac{x}{4} = \dfrac{20}{16}$

Ця пропорція$x$ читається як "до 4 як 20 до 16».

Існує метод вирішення цих пропорцій, який заснований на рівності дробів. Нагадаємо, що дві фракції еквівалентні тоді і тільки тоді, коли їх перехресні продукти рівні. Наприклад,

$Три четверті дорівнює шести восьмим. Поруч з цим рівнянням знаходяться ті ж два дроби, зі стрілками, що вказують від знаменників до чисельника протилежного дробу, що позначають перехресний добуток. Перехресний твір 3 рази 8 дорівнює 6 разів 4, або 24 дорівнює 24.$

Зверніть увагу, що в пропорції, яка містить три вказані цифри та букву, що представляє невідому величину, що незалежно від того, де з'являється буква, завжди виникає наступна ситуація.

$\underbrace{(\text{number}) \cdot (\text{letter}) = (\text{number}) \cdot (\text{number})}_{}$

Ми визнаємо це як твердження множення. Зокрема, це відсутність фактора. (Див. [посилання] для обговорення тверджень множення.) Наприклад,

$\begin{array} {ll} {\dfrac{x}{4} = \dfrac{20}{16}} & {\text{ means that } 16 \cdot x = 4 \cdot 20} \\ {\dfrac{4}{x} = \dfrac{16}{20}} & {\text{ means that } 4 \cdot 20 = 16 \cdot x} \\ {\dfrac{5}{4} = \dfrac{x}{16}} & {\text{ means that } 5 \cdot 16 = 4 \cdot x} \\ {\dfrac{5}{4} = \dfrac{20}{x}} & {\text{ means that } 5 \cdot x = 4 \cdot 20} \end{array}$

Кожен з цих тверджень є оператором множення. Зокрема, кожен з них є відсутнім фактором. (Буква використовується тут$x$, тоді як$M$ була використана в [посилання].)

Пошук відсутнього коефіцієнта в
пропорції Відсутній коефіцієнт в операторі відсутнього фактора можна визначити шляхом ділення добутку на відомий фактор, тобто якщо$x$ представляє відсутній фактор, то

$x = \text{(product)} \div \text{(known factor)}$

Набір зразків B

Знайдіть невідоме число в кожній пропорції.

$\dfrac{x}{4} = \dfrac{20}{16}$. Знайдіть хрестовий виріб.

Рішення

$\begin{array} {ccll} {16 \cdot x} & = & {20 \cdot 4} & {} \\ {16 \cdot x} & = & {80} & {\text{ Divide the product 80 by the known factor 16.}} \\ {x} & = & {\dfrac{80}{16}} & {} \\ {x} & = & {5} & {\text{ The unkown number is 5.}} \end{array}$

Це означає$\dfrac{5}{4} = \dfrac{20}{16}$, що, або 5 до 4, як 20 до 16.

Набір зразків B

$\dfrac{5}{x} = \dfrac{20}{16}$. Знайдіть хрестовий виріб.

Рішення

$\begin{array} {ccll} {5 \cdot 16} & = & {20 \cdot x} & {} \\ {80} & = & {20 \cdot x} & {\text{ Divide the product 80 by the known factor 20.}} \\ {\dfrac{80}{20}} & = & {x} & {} \\ {4} & = & {x} & {\text{ The unkown number is 4.}} \end{array}$

Це означає$\dfrac{5}{4} = \dfrac{20}{16}$, що, або 5 до 4, як 20 до 16.

Набір зразків B

$\dfrac{16}{3} = \dfrac{64}{x}$. Знайдіть хрестовий виріб.

Рішення

$\begin{array} {ccll} {16 \cdot x} & = & {64 \cdot 3} & {} \\ {16 \cdot x} & = & {192} & {\text{ Divide 192 by 16.}} \\ {x} & = & {\dfrac{192}{16}} & {} \\ {x} & = & {12} & {\text{ The unkown number is 12.}} \end{array}$

Це означає$\dfrac{16}{3} = \dfrac{64}{12}$, що, або 16 до 3, як 64 до 12.

Набір зразків B

$\dfrac{9}{8} = \dfrac{x}{40}$. Знайдіть хрестовий виріб.

Рішення

$\begin{array} {ccll} {9 \cdot 40} & = & {8 \cdot x} & {} \\ {360} & = & {8 \cdot x} & {\text{ Divide 360 by 8.}} \\ {\dfrac{360}{8}} & = & {x} & {} \\ {45} & = & {x} & {\text{ The unkown number is 45.}} \end{array}$

Практика Set B

Знайдіть невідоме число в кожній пропорції.

$\dfrac{x}{8} = \dfrac{12}{32}$

Відповідь: $x = 3$

Практика Set B

$\dfrac{7}{x} = \dfrac{14}{10}$

Відповідь: $x = 5$

Практика Set B

$\dfrac{9}{11} = \dfrac{x}{55}$

Відповідь: $x = 45$

Практика Set B

$\dfrac{1}{6} = \dfrac{8}{x}$

Відповідь: $x = 48$

Пропорції за участю ставок

Нагадаємо, що ставка - це порівняння, шляхом ділення, на відміну від номінальних чисел. Ми повинні бути обережними при встановленні пропорцій, які передбачають ставки. Форма має важливе значення. Наприклад, якщо ставка включає два типи одиниць, скажімо, тип одиниці 1 та тип одиниці 2, ми можемо написати

$тип одиниці 1 над блоком типу 2 дорівнює типу одиниці 1 над типом одиниці 2. Одні і ті ж одиниці з'являються на одній стороні, в цьому випадку одні й ті ж одиниці входять до складу однієї фракції.$

або

$тип одиниці 1 над блоком типу 2 дорівнює типу одиниці 1 над типом одиниці 2. Одні і ті ж одиниці з'являються на одній стороні, в цьому випадку одна і та ж одиниця знаходиться в обох знаменниках і одна і та ж одиниця - в обох чисельниках.$

Обидва крос-вироби виробляють заяву типу

$(\text{unit type 1}) \cdot (\text{unit type 2}) = (\text{unit type 1}) \cdot (\text{unit type 2})$

що ми приймаємо для порівняння

$Порівняння типів агрегатів.$

Приклади правильно виражених пропорцій такі:

$Дві пропорції. Перший - це милі над hr дорівнює милям за годину, де одна і та ж одиниця завжди знаходиться в знаменнику. Другий - милі над милями дорівнює годинам за години, де одна і та ж одиниця знаходиться у власній частці.$

Однак, якщо ми запишемо один і той же тип одиниць з різних сторін, наприклад,

$\dfrac{\text{unit type 1}}{\text{unit type 2}} = \dfrac{\text{unit type 2}}{\text{unit type 1}}$

перехресний твір виробляє заяву форми

$Діаграма, що показує порівняння різних типів одиниць.$

Ми бачимо, що це неправильне порівняння, спостерігаючи наступний приклад: Некоректно писати

$\dfrac{\text{2 hooks}}{\text{3 poles}} = \dfrac{\text{6 poles}}{\text{4 hooks}}$

з двох причин.

Перехресний твір чисельно неправильний:$(2 \cdot 4 \ne 3 \cdot 6)$
перехресний твір виробляє твердження «гачки - це гачки, оскільки полюси - це полюси», що не має сенсу.

Вправи

Вправа$\PageIndex{1}$

Твердження про те, що два співвідношення або рівні, називається a.

Відповідь: ставки, пропорція

Для наступних 9 задач запишіть кожну пропорцію в дробовому вигляді.

Вправа$\PageIndex{2}$

3 до 7, як 18 до 42.

Вправа$\PageIndex{3}$

1 до 11, як 3 до 33.

Відповідь: $\dfrac{1}{11} = \dfrac{3}{33}$

Вправа$\PageIndex{4}$

9 до 14, як 27 - це 42.

Вправа$\PageIndex{5}$

6 до 90, як 3 до 45.

Відповідь: $\dfrac{6}{90} = \dfrac{3}{45}$

Вправа$\PageIndex{6}$

5 літрів - це 1 пляшка, так як 20 літрів - це до 4 пляшок.

Вправа$\PageIndex{7}$

18 грам кобальту - це 10 грам срібла, оскільки 36 грам кобальту - це 20 грам срібла.

Відповідь: $\dfrac{\text{18 gr cobalt}}{\text{10 gr silver}} = \dfrac{\text{36 gr cobalt}}{\text{20 gr silver}}$

Вправа$\PageIndex{8}$

4 склянки води - це 1 склянка цукру, оскільки 32 склянки води - це 8 склянок цукру.

Вправа$\PageIndex{9}$

3 людини відсутні - це 31 людина присутній, оскільки 15 осіб відсутні - це до 155 чоловік присутніх.

Відповідь: $\dfrac{\text{3 people absent}}{\text{31 people present}} = \dfrac{\text{15 people absent}}{\text{155 people present}}$

Вправа$\PageIndex{10}$

6 доларів це до 1 години, оскільки 90 доларів становить до 15 годин.

Для наступних 10 завдань запишіть кожну пропорцію як речення.

Вправа$\PageIndex{11}$

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{20}$

Відповідь: 3 до 4, як 15 до 20

Вправа$\PageIndex{12}$

$\dfrac{1}{8} = \dfrac{5}{40}$

Вправа$\PageIndex{13}$

$\dfrac{\text{3 joggers}}{\text{100 feet}} = \dfrac{\text{6 joggers}}{\text{200 feet}}$

Відповідь: 3 бігунів до 100 футів, як 6 бігунів до 200 футів

Вправа$\PageIndex{14}$

$\dfrac{\text{12 marshmallows}}{\text{3 sticks}} = \dfrac{\text{36 marshmallows}}{\text{9 sticks}}$

Вправа$\PageIndex{15}$

$\dfrac{\text{40 miles}}{\text{80 miles}} = \dfrac{\text{2 gallons}}{\text{4 gallons}}$

Відповідь: 40 миль до 80 миль, як 2 галонів до 4 галонів

Вправа$\PageIndex{16}$

$\dfrac{\text{4 couches}}{\text{10 couches}} = \dfrac{\text{2 houses}}{\text{5 houses}}$

Вправа$\PageIndex{17}$

$\dfrac{\text{1 person}}{\text{1 job}} = \dfrac{\text{8 people}}{\text{8 jobs}}$

Відповідь: 1 людина - це 1 робота, оскільки 8 осіб до 8 робочих місць

Вправа$\PageIndex{18}$

$\dfrac{\text{1 popsicle}}{\text{2 children}} = \dfrac{\dfrac{1}{2} \text{8 popsicle}}{\text{1 child}}$

Вправа$\PageIndex{19}$

$\dfrac{\text{2,000 pounds}}{\text{1 ton}} = \dfrac{\text{60,000 pounds}}{\text{30 tons}}$

Відповідь: 2000 фунтів до 1 тонни, оскільки 60 000 фунтів до 30 тонн

Вправа$\PageIndex{20}$

$\dfrac{\text{1 table}}{\text{5 tables}} = \dfrac{\text{2 people}}{\text{10 people}}$

Для наступних 10 завдань вирішуйте кожну пропорцію.

Вправа$\PageIndex{21}$

$\dfrac{x}{5} = \dfrac{6}{15}$

Відповідь: $x = 2$

Вправа$\PageIndex{22}$

$\dfrac{x}{10} = \dfrac{28}{40}$

Вправа$\PageIndex{23}$

$\dfrac{5}{x} = \dfrac{10}{16}$

Відповідь: $x = 8$

Вправа$\PageIndex{24}$

$\dfrac{13}{x} = \dfrac{39}{60}$

Вправа$\PageIndex{25}$

$\dfrac{1}{3} = \dfrac{x}{24}$

Відповідь: $x = 8$

Вправа$\PageIndex{26}$

$\dfrac{7}{12} = \dfrac{x}{60}$

Вправа$\PageIndex{27}$

$\dfrac{8}{3} = \dfrac{72}{x}$

Відповідь: $x = 27$

Вправа$\PageIndex{28}$

$\dfrac{16}{1} = \dfrac{48}{x}$

Вправа$\PageIndex{29}$

$\dfrac{x}{25} = \dfrac{200}{125}$

Відповідь: $x = 40$

Вправа$\PageIndex{30}$

$\dfrac{65}{30} = \dfrac{x}{60}$

Для наступних 5 завдань висловіть кожне речення як пропорцію, а потім вирішіть пропорцію.

Вправа$\PageIndex{31}$

5 капелюхів - це до 4 пальто, оскільки$x$ шапки - до 24 пальто.

Відповідь: $x = 30$

Вправа$\PageIndex{32}$

$x$подушки - до 2 диванів, як 24 подушки - до 16 диванів.

Вправа$\PageIndex{33}$

1 космічний корабель - це 7 астронавтів, як 5 космічних$x$ апаратів для космонавтів.

Відповідь: $x = 35$

Вправа$\PageIndex{34}$

56 мікрочіпів - це$x$ друковані плати, оскільки 168 мікрочіпів - це 3 друковані плати.

Вправа$\PageIndex{35}$

18 калькуляторів - це 90 калькуляторів, оскільки$x$ студенти - до 150 студентів.

Відповідь: $x = 30$

Вправа$\PageIndex{36}$

$x$долари до $40,000, як 2 мішки до 1 мішок.

Вкажіть, чи є пропорція істинною чи хибною.

Вправа$\PageIndex{37}$

$\dfrac{3}{16} = \dfrac{12}{64}$

Відповідь: істинний

Вправа$\PageIndex{38}$

$\dfrac{2}{15} = \dfrac{10}{75}$

Вправа$\PageIndex{39}$

$\dfrac{1}{9} = \dfrac{3}{30}$

Відповідь: помилкові

Вправа$\PageIndex{40}$

$\dfrac{\text{6 knives}}{\text{7 forks}} = \dfrac{\text{12 knives}}{\text{15 forks}}$

Вправа$\PageIndex{41}$

$\dfrac{\text{33 miles}}{\text{1 gallon}} = \dfrac{\text{99 miles}}{\text{3 gallons}}$

Відповідь: істинний

Вправа$\PageIndex{42}$

$\dfrac{\text{320 feet}}{\text{5 seconds}} = \dfrac{\text{65 feet}}{\text{1 second}}$

Вправа$\PageIndex{43}$

$\dfrac{\text{35 students}}{\text{70 students}} = \dfrac{\text{1 class}}{\text{2 classes}}$

Відповідь: істинний

Вправа$\PageIndex{44}$

$\dfrac{\text{9 ml chloride}}{\text{45 ml chloride}} = \dfrac{\text{1 test tube}}{\text{7 test tubes}}$

Вправи для огляду

Вправа$\PageIndex{43}$

([посилання]) Використовуйте числа 5 і 7, щоб проілюструвати комутативну властивість додавання.

Відповідь: $5 + 7 = 12$
$7 + 5 = 12$

Вправа$\PageIndex{44}$

([посилання]) Використовуйте числа 5 і 7, щоб проілюструвати комутативну властивість множення.

Вправа$\PageIndex{43}$

([посилання]) Знайдіть різницю. $\dfrac{5}{14} - \dfrac{3}{22}$.

Відповідь: $\dfrac{17}{77}$

Вправа$\PageIndex{44}$

([посилання]) Знайдіть товар. $8.06129 \cdot 1,000$.

Вправа$\PageIndex{43}$

([посилання]) Напишіть спрощену дробову форму ставки «шістнадцять пропозицій до двох абзаців».

Відповідь: $\dfrac{\text{8 sentences}}{\text{1 paragraph}}$