7.1: Коефіцієнти та ставки

Цілі навчання

• вміти розрізняти номінальні та чисті числа та між співвідношеннями та ставками

Позначте числа та чисті числа

Номінат Числа, Як і На відміну від номінальних чисел Часто
необхідно або зручно порівнювати дві величини. Номінальні числа - це цифри разом з деякою вказаною одиницею. Якщо порівнювані одиниці однакові, номінальні числа називаються як номінальні числа. Якщо одиниці не схожі, числа називаються на відміну від номінальних чисел. Приклади номінальних чисел наведені на схемі:

Чисті
числа, які існують чисто як числа і не представляють кількості величин, називаються чистими числами. Прикладами чистих чисел є 8, 254\(21 \dfrac{5}{8}\), 0\(\dfrac{2}{5}\), і 0,07.

Числа можна порівняти двома способами: відніманням і діленням.

Порівняння чисел шляхом віднімання та ділення
Порівняння двох чисел шляхом віднімання вказує на те, наскільки більше одне число, ніж інше.
Порівняння за поділом вказує, у скільки разів більше або менше одне число, ніж інше.

Порівняння чистих або подібних номінальних чисел за допомогою
чисел віднімання можна порівняти за допомогою віднімання тоді і лише тоді, коли вони обидва подібні до номінальних чисел або обох чистих чисел.

Набір зразків A

Порівняйте 8 миль і 3 милі шляхом віднімання.

Рішення

\(\text{8 miles - 3 miles = 5 miles}\)

Це означає, що 8 миль - це 5 миль більше 3 миль.

Приклади використання: Тепер я можу пробігати 8 миль, тоді як я використовував пробіжку лише 3 милі. Отже, тепер я можу пробіжкою 5 миль більше, ніж я раніше.

Набір зразків A

Порівняйте 12 і 5 за допомогою віднімання.

Рішення

\(12 - 5 = 7\)

Це означає, що 12 на 7 більше, ніж 5.

Набір зразків A

Порівнювати 8 миль і 5 галонів шляхом віднімання не має сенсу.

Рішення

\(\text{8 miles - 5 gallons = ?}\)

Набір зразків A

Порівняйте 36 і 4 за поділом.

Рішення

\(36 \div 4 = 9\)

Це означає, що 36 в 9 разів більше, ніж 4. Нагадаємо, що\(36 \div 4 = 9\) може виражатися як\(\dfrac{36}{4} = 9\).

Набір зразків A

Порівняйте 8 миль і 2 милі за поділом.

Рішення

\(\dfrac{\text{8 miles}}{\text{2 miles}} = 4\)

Це означає, що 8 миль в 4 рази більше, ніж 2 милі.

Приклад використання: Я можу пробігати 8 миль до ваших 2 миль. Або, за кожні 2 милі, що ви пробіжкою, Я пробіжку 8. Отже, я пробігаю 4 рази більше миль, скільки ви бігаєте.

Зверніть увагу, що коли подібні величини порівнюються діленням, ми скидаємо одиниці. Інший спосіб погляду на це полягає в тому, що одиниці ділять (скасовують).

Набір зразків A

Порівняйте 30 миль і 2 галони за поділом.

Рішення

\(\dfrac{\text{30 miles}}{\text{2 gallons}} = \dfrac{\text{15 miles}}{\text{1 gallon}}\)

Приклад використання: конкретний автомобіль їде 30 миль на 2 галони бензину. Це те ж саме, що отримати 15 миль до 1 галона бензину.

Зверніть увагу, що коли величини, що порівнюються шляхом ділення, відрізняються від величин, ми не скидаємо одиниці.

Практика Set A

Зробіть наступні порівняння та інтерпретуйте кожне з них.

Порівняйте 10 дискет з 2 дискетами по

1. віднімання:
2. поділ:

Відповідь

а. 8 дискет; 10 дискет це 8 дискет більше 2 дискет.

б. 5; 10 дискет в 5 разів більше дискет, ніж 2 дискети.

Практика Set A

Порівняйте, якщо можливо, 16 бананів і 2 мішки по

1. віднімання:
2. поділ:

Відповідь

а Порівняння шляхом віднімання не має сенсу.

б.\(\dfrac{\text{16 bananas}}{\text{2 bags}} = \dfrac{\text{8 bananas}}{\text{bag}}\), 8 бананів в пакетику.

Коефіцієнти і ставки

Визначення: Співвідношення

Порівняння, шляхом ділення, двох чистих чисел або двох подібних номінальних чисел є співвідношенням.

Порівняння шляхом ділення чистих чисел\(\dfrac{36}{4}\) і подібних номінальних чисел\(\dfrac{\text{8 miles}}{\text{2 miles}}\) є прикладами співвідношень.

Визначення: Rate

Порівняння, шляхом ділення, двох на відміну від номінальних чисел - це ставка.

Порівняння шляхом ділення двох несхожих номінальних чисел, таких як

\(\dfrac{\text{55 miles}}{\text{1 gallon}}\)і\(\dfrac{\text{40 dollars}}{\text{5 tickets}}\)

є прикладами ставок.

Давайте домовимося представляти два числа (чисті або номінальні) буквами\(a\) і\(b\). Це означає, що ми дозволяючи\(a\) представляти деяке число і\(b\) представляють деякі, можливо, різні, число. З цією угодою ми можемо написати співвідношення двох чисел\(a\) і\(b\) як

\(\dfrac{a}{b}\)або\(\dfrac{b}{a}\)

Співвідношення\(\dfrac{a}{b}\) читається як «\(a\)до»\(b\).

Співвідношення\(\dfrac{b}{a}\) читається як «\(b\)до»\(a\).

Оскільки співвідношення або норма можуть бути виражені у вигляді дробу, вона може бути скорочуваною.

Набір зразків B

Співвідношення 30 до 2 можна виразити як\(\dfrac{30}{2}\). Зменшуючи, отримуємо\(\dfrac{15}{1}\).

Співвідношення 30 до 2 еквівалентно співвідношенню 15 до 1.

Набір зразків B

Ставка «4 телевізори до 12 осіб» може бути виражена як\(\dfrac{\text{4 televisions}}{\text{12 people}}\). Сенс цієї ставки полягає в тому, що «на кожні 4 телевізори припадає 12 чоловік».

Зменшуючи, отримуємо\(\dfrac{\text{1 television}}{\text{3 people}}\). Сенс цієї ставки полягає в тому, що «на кожен 1 телевізор припадає 3 людини».

Таким чином, ставка «4 телевізори до 12 осіб» така ж, як і тариф «1 телебачення до 3 осіб».

Практика Set B

Запишіть наступні співвідношення і ставки у вигляді дробів.

Від 3 до 2

Відповідь

\(\dfrac{3}{2}\)

Практика Set B

Від 1 до 9

Відповідь

\(\dfrac{1}{9}\)

Практика Set B

5 книг для 4 осіб

Відповідь

\(\dfrac{\text{5 books}}{\text{4 people}}\)

Практика Set B

120 миль до 2 годин

Відповідь

\(\dfrac{\text{60 miles}}{\text{1 hour}}\)

Практика Set B

8 літрів до 3 літрів

Відповідь

\(\dfrac{8}{3}\)

Напишіть наступні співвідношення і ставки у вигляді «\(a\)до»\(b\). Зменшуйте, коли це необхідно.

Практика Set B

\(\dfrac{9}{5}\)

Відповідь

Від 9 до 5

Практика Set B

\(\dfrac{1}{3}\)

Відповідь

Від 1 до 3

Практика Set B

\(\dfrac{\text{25 miles}}{\text{2 gallons}}\)

Відповідь

25 миль в 2 галони

Практика Set B

\(\dfrac{\text{2 mechanics}}{\text{4 wrenches}}\)

Відповідь

1 механік до 2 гайкових ключів

Практика Set B

\(\dfrac{\text{15 video tapes}}{\text{18 video tapes}}\)

Відповідь

Від 5 до 6

Вправи

Для наступних 9 проблем заповніть заяви.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Два числа можна порівняти шляхом віднімання якщо і тільки якщо.

Відповідь

Вони є чистими числами або подібними до номінальних чисел.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Порівняння, шляхом ділення, двох чистих чисел або двох подібних номінальних чисел називається a.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Порівняння, шляхом ділення, двох несхожих номінальних чисел називається a.

Відповідь

норма

Вправа\(\PageIndex{4}\)

\(\dfrac{6}{11}\)є прикладом а. (Співвідношення/швидкість)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

\(\dfrac{5}{12}\)є прикладом а. (Співвідношення/швидкість)

Відповідь

співвідношення

Вправа\(\PageIndex{6}\)

\(\dfrac{\text{7 erasers}}{\text{12 pencils}}\)є прикладом а. (Співвідношення/швидкість)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

\(\dfrac{\text{20 silver coins}}{\text{35 gold coins}}\)є прикладом а. (Співвідношення/швидкість)

Відповідь

норма

Вправа\(\PageIndex{8}\)

\(\dfrac{\text{3 sprinklers}}{\text{5 sprinklers}}\)є прикладом а. (Співвідношення/швидкість)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

\(\dfrac{\text{18 exhaust valves}}{\text{11 exhaust valves}}\)є прикладом а. (Співвідношення/швидкість)

Відповідь

співвідношення

Для наступних 7 завдань напишіть кожне співвідношення або оцініть як словесну фразу.

Вправа\(\PageIndex{10}\)

\(\dfrac{8}{3}\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

\(\dfrac{2}{5}\)

Відповідь

від двох до п'яти

Вправа\(\PageIndex{12}\)

\(\dfrac{\text{8 feet}}{\text{3 seconds}}\)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

\(\dfrac{\text{29 miles}}{\text{2 gallons}}\)

Відповідь

29 миль на 2 галонів або\(14 \dfrac{1}{2}\) миль на 1 галон

Вправа\(\PageIndex{14}\)

\(\dfrac{\text{30,000 stars}}{\text{300 stars}}\)

Вправа\(\PageIndex{15}\)

\(\dfrac{\text{5 yards}}{\text{2 yards}}\)

Відповідь

Від 5 до 2

Вправа\(\PageIndex{16}\)

\(\dfrac{\text{164 trees}}{\text{28 trees}}\)

Для наступних завдань напишіть спрощену дробову форму кожного співвідношення або ставки.

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Від 12 до 5

Відповідь

\(\dfrac{12}{5}\)

Вправа\(\PageIndex{18}\)

від 81 до 19

Вправа\(\PageIndex{19}\)

42 рослини до 5 будинків

Відповідь

\(\dfrac{\text{42 plants}}{\text{5 homes}}\)

Вправа\(\PageIndex{20}\)

8 книг на 7 парт

Вправа\(\PageIndex{21}\)

16 пінт до 1 кварт

Відповідь

\(\dfrac{\text{16 pints}}{\text{1 quart}}\)

Вправа\(\PageIndex{22}\)

4 кварти в 1 галон

Вправа\(\PageIndex{23}\)

2,54 см до 1 дюйму

Відповідь

\(\dfrac{\text{2.54 cm}}{\text{1 inch}}\)

Вправа\(\PageIndex{24}\)

80 столів до 18 таблиць

Вправа\(\PageIndex{25}\)

25 автомобілів до 10 автомобілів

Відповідь

\(\dfrac{5}{2}\)

Вправа\(\PageIndex{26}\)

37 перемог до 16 поразок

Вправа\(\PageIndex{27}\)

105 звернень до 315 у кажанів

Відповідь

\(\dfrac{\text{1 hit}}{\text{3 at bats}}\)

Вправа\(\PageIndex{28}\)

510 миль до 22 галонів

Вправа\(\PageIndex{29}\)

1 042 символи на 1 сторінці

Відповідь

\(\dfrac{\text{1,042 characters}}{\text{1 page}}\)

Вправа\(\PageIndex{30}\)

1 245 сторінок до 2 книг

Вправи для рецензування

Вправа\(\PageIndex{31}\)

\(\dfrac{16}{3}\)Перетворити на мішане число.

Відповідь

\(5 \dfrac{1}{3}\)

Вправа\(\PageIndex{32}\)

\(1 \dfrac{5}{9}\)з\(2 \dfrac{4}{7}\) якого числа?

Вправа\(\PageIndex{33}\)

Знайдіть різницю. \(\dfrac{11}{28} - \dfrac{7}{45}\).

Відповідь

\(\dfrac{299}{1260}\)

Вправа\(\PageIndex{34}\)

Виконуємо поділ. Якщо, здається, немає повторюваних шаблонів, округліть коефіцієнт до трьох знаків після коми:\(22.35 \div 17\)

Вправа\(\PageIndex{35}\)

Знайти значення\(1.85 + \dfrac{3}{8} \cdot 4.1\)

Відповідь

3.3875