3.4: Найбільший загальний фактор
- Page ID
- 57383
Цілі навчання
- вміти знаходити найбільший спільний множник двох або більше цілих чисел
Найбільший загальний фактор (GCF)
Використовуючи метод, який ми вивчали в [link], ми могли б отримати прості множники 30 і 42.
\[ \begin{align*} 30 &= 2 \cdot 3 \cdot 5 \\[4pt] 42 &= 2 \cdot 3 \cdot 7 \end{align*}\]
Визначення: Загальний фактор
Ми помічаємо, що 2 виступає як фактор в обох числах, тобто 2 є загальним фактором 30 і 42. Ми також помічаємо, що 3 з'являється як фактор в обох числах. Також є загальним фактором 30 і 42.
Визначення: Найбільший спільний фактор (GCF)
Розглядаючи два або більше чисел, часто корисно знати, чи існує найбільший загальний коефіцієнт чисел, і якщо так, то що це число. Найбільший спільний множник двох і більше цілих чисел називається найбільшим загальним фактором, і скорочується GCF. Найбільший загальний фактор колекції цілих чисел корисний при роботі з дробами (що ми і зробимо в [link]).
Метод визначення найбільшого спільного фактора
Простий метод визначення GCF двох або більше цілих чисел використовує як просту факторизацію чисел, так і показники.
Як знайти найбільший спільний коефіцієнт (GCF) двох і більше цілих чисел
- Напишіть просту факторизацію кожного числа, використовуючи показники на повторювані множники.
- Напишіть кожну базу, яка є спільною для кожного з чисел.
- До кожної бази, переліченої на кроці 2, прикріпіть найменший показник, який з'являється на ній у будь-якому з простих факторизацій.
- GCF - це добуток чисел, знайдених на кроці 3.
Набір зразків A
Знайдіть GCF наступних чисел.
12 і 18
Рішення
- \(\begin{array} {l} {12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3} \\ {18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2} \end{array}\)
- Загальні підстави - 2 і 3.
- Найменші показники, що з'являються на 2 і 3 у простих факторизаціях, - це, відповідно, 1 і 1 (\(2^1\)і\(3^1\)), або 2 і 3.
- GCF є добутком цих чисел.
\(2 \cdot 3 = 6\)
GCF 30 і 42 дорівнює 6 тому, що 6 - найбільше число, яке ділить як 30, так і 42 без залишку.
Набір зразків A
18, 60, 72
Рішення
- \(\begin{array} {l} {18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2} \\ {60 = 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5} \\ {72 = 2 \cdot 36 = 2 \cdot 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2} \end{array}\)
- Загальні підстави - 2 і 3.
- Найменші показники, що з'являються на 2 і 3 в простих факторизаціях, - це, відповідно, 1 і 1:
\(2^1\) з 18
\(3^1\) з 60 - GCF є добутком цих чисел.
GCF - це\(2 \cdot 3 = 6\)
Таким чином, 6 - це найбільше число, яке ділить 18, 60 і 72 без залишку.
Набір зразків A
700, 1 880 та 6 160
Рішення
- \(\begin{array} {rcl} {700 \ = \ 2 \cdot 350 \ = \ 2 \cdot 2 \cdot 175} & = & {2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 35} \\ {} & = & {2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7} \\ {} & = & {2^2 \cdot 5^2 \cdot 7} \\ {1,880 \ = \ 2 \cdot 940 \ = \ 2 \cdot 2 \cdot 470} & = & {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 235} \\ {} & = & {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 47} \\ {} & = & {2^3 \cdot 5 \cdot 47} \\ {6,160 \ = \ 2 \cdot 3,080 \ = \ 2 \cdot 2 \cdot 1,540} & = & {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 770} \\ {} & = & {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 385} \\ {} & = & {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 77} \\ {} & = & {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11} \\ {} & = & {2^4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11} \end{array}\)
- Загальні підстави - 2 і 5
- Найменші показники, що з'являються на 2 і 5 у простих факторизаціях, - це, відповідно, 2 і 1.
\(2^2\)від 700.
\(5^1\)від 1 880 або 6160. - GCF є добутком цих чисел.
GCF - це\(2^2 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20\)
Таким чином, 20 - це найбільше число, яке ділить 700, 1880 і 6160 без залишку.
Практика Set A
Знайдіть GCF наступних чисел.
24 і 36
- Відповідь
-
12
Практика Set A
48 і 72
- Відповідь
-
24
Практика Set A
50 і 140
- Відповідь
-
10
Практика Set A
21 і 225
- Відповідь
-
3
Практика Set A
450, 600 та 540
- Відповідь
-
30
Вправи
Для наступних завдань знайдіть найбільший спільний коефіцієнт (ГКФ) чисел.
Вправа\(\PageIndex{1}\)
6 і 8
- Відповідь
-
2
Вправа\(\PageIndex{2}\)
5 і 10
Вправа\(\PageIndex{3}\)
8 і 12
- Відповідь
-
4
Вправа\(\PageIndex{4}\)
9 і 12
Вправа\(\PageIndex{5}\)
20 і 24
- Відповідь
-
4
Вправа\(\PageIndex{6}\)
35 і 175
Вправа\(\PageIndex{7}\)
25 і 45
- Відповідь
-
5
Вправа\(\PageIndex{8}\)
45 та 189
Вправа\(\PageIndex{9}\)
66 і 165
- Відповідь
-
33
Вправа\(\PageIndex{10}\)
264 і 132
Вправа\(\PageIndex{11}\)
99 і 135
- Відповідь
-
9
Вправа\(\PageIndex{12}\)
65 і 15
Вправа\(\PageIndex{13}\)
33 і 77
- Відповідь
-
11
Вправа\(\PageIndex{14}\)
245 і 80
Вправа\(\PageIndex{15}\)
351 та 165
- Відповідь
-
3
Вправа\(\PageIndex{16}\)
60, 140 та 100
Вправа\(\PageIndex{17}\)
147, 343, 231
- Відповідь
-
7
Вправа\(\PageIndex{18}\)
24, 30 і 45
Вправа\(\PageIndex{19}\)
175, 225 та 400
- Відповідь
-
25
Вправа\(\PageIndex{20}\)
210, 630 та 182
Вправа\(\PageIndex{21}\)
14, 44 та 616
- Відповідь
-
2
Вправа\(\PageIndex{22}\)
1 617, 735 та 429
Вправа\(\PageIndex{23}\)
1 573, 4 862 та 3 553
- Відповідь
-
11
Вправа\(\PageIndex{24}\)
3 672, 68 та 920
Вправа\(\PageIndex{25}\)
7, 2,401, 343, 16 та 807
- Відповідь
-
1
Вправа\(\PageIndex{26}\)
500, 77 та 39
Вправа\(\PageIndex{27}\)
441, 275, 221
- Відповідь
-
1
Вправи для рецензування
Вправа\(\PageIndex{28}\)
Знайдіть товар. \(2,753 \times 4,006\)
Вправа\(\PageIndex{29}\)
Знайдіть частку. \(954 \div 18\)
- Відповідь
-
53
Вправа\(\PageIndex{30}\)
Вкажіть, яку з цифр 2, 3 або 4 розділіть на 9,462.
Вправа\(\PageIndex{31}\)
Пишіть\(8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8\) за допомогою експонентів.
- Відповідь
-
\(8^6 = 262,144\)
Вправа\(\PageIndex{32}\)
Знайдіть просте факторизацію 378.