3.3: Просте факторизація натуральних чисел

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57390

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

вміти визначати фактори цілого числа
вміти розрізняти прості та складені числа
бути знайомим з основоположним принципом арифметики
вміти знаходити просту факторизацію цілого числа

Фактори

Зі спостережень, зроблених в процесі множення, ми побачили, що

$(\text{factor}) \cdot (\text{factor}) = \text{product}$

Фактори,
добуток Два числа, що множаться, є факторами, а результатом множення є добуток. Тепер, використовуючи наші знання про ділення, ми можемо побачити, що перше число є множником другого числа, якщо перше число ділиться на друге число цілу кількість разів (без залишку).

Одне число як
множник іншого Перше число є множником другого числа, якщо перше число ділиться на друге число цілу кількість разів (без залишку).

Ми показуємо це в наступних прикладах:

Приклад$\PageIndex{1}$

3 - коефіцієнт 27, так як$27 \div 3 = 9$, або$3 \cdot 9 = 27$.

Приклад$\PageIndex{2}$

7 - коефіцієнт 56, так як$56 \div 7 = 8$, або$7 \cdot 8 = 56$.

Приклад$\PageIndex{3}$

4 не є коефіцієнтом 10, так як$10 \div 4 = \text{2R2}$. (Є залишок.)

Визначення факторів цілого числа

Ми можемо використовувати тести на подільність з [посилання], щоб визначити всі фактори цілого числа.

Набір зразків A

Знайти всі фактори 24.

Рішення

$\begin{array} {lll} {\text{Try 1:}} & {24 \div 1 = 24} & {\text{1 and 24 are factors}} \\ {\text{Try 2:}} & {\text{24 is even, so 24 is divisible by 2.}} & {} \\ {} & {24 \div 2 = 12} & {\text{2 and 12 are factors}} \\ {\text{Try 3:}} & {2 + 4 = 6 \text{ and 6 is divisible by 3, so 24 is divisible by 3.}} & {} \\ {} & {24 \div 3 = 8} & {\text{3 and 8 are factors}} \\ {\text{Try 4:}} & {24 \div 4 = 6} & {\text{4 and 6 are factors}} \\ {\text{Try 5:}} & {24 \div 5 = \text{4R4}} & {\text{5 is not a factor}} \end{array}$

Наступне число, яке потрібно спробувати, - це 6, але у нас вже є, що 6 є фактором. Як тільки ми натрапимо на фактор, який ми вже виявили, ми можемо зупинитися.

Усі числові коефіцієнти 24 - це 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 та 24.

Практика Set A

Знайдіть всі фактори кожного з наступних чисел.

Відповідь: 1, 2, 3, 6

Практика Set A

Відповідь: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Практика Set A

Відповідь: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Практика Set A

Відповідь: 1, 5

Практика Set A

Відповідь: 1, 2, 5, 10

Практика Set A

Відповідь: 1, 3, 11, 33

Практика Set A

Відповідь: 1, 19

Прості та складені числа

Зверніть увагу, що єдиними факторами 7 є 1 і 7 самі, і що єдиними факторами 3 є 1 і 3 самі. Однак число 8 має фактори 1, 2, 4 та 8, а число 10 має фактори 1, 2, 5 та 10. Таким чином, ми бачимо, що ціле число може мати тільки два множника (саме і 1) і інше ціле число може мати кілька факторів.

Ми можемо використовувати це спостереження, щоб зробити корисну класифікацію для цілих чисел: простих і складених чисел.

Визначення: Просте число

Ціле число (більше одиниці), єдиними факторами якого є сам по собі і 1, називається простим числом.

Число 1 не є простим числом
Перші сім простих чисел - 2, 3, 5, 7, 11, 13 та 17. Зверніть увагу, що ціле число 1 не вважається простим числом, а ціле число 2 є першим простим і єдиним парним числом.

Визначення: Складене число

Ціле число, що складається з факторів, відмінних від самого себе і 1, називається складовим числом. Складені числа не є простими числами.

Деякі складові числа - 4, 6, 8, 9, 10, 12 та 15.

Набір зразків B

Визначте, які цілі числа є простими, а які складовими.

39. Оскільки 3 ділиться на 39, число 39 є складовим:$39 \div 3 = 13$

Набір зразків B

47. Кілька випробувань дивізіону запевнить нас, що 47 ділиться лише на 1 і 47. Тому 47 є основним.

Практика Set B

Визначте, які з наступних цілих чисел є простими, а які складовими.

Відповідь: прем'єр

Практика Set B

Відповідь: композитних

Практика Set B

Відповідь: композитних

Практика Set B

Відповідь: композитних

Практика Set B

Відповідь: прем'єр

Практика Set B

Відповідь: прем'єр

Практика Set B

101

Відповідь: прем'єр

Практика Set B

Відповідь: композитних

Основний принцип арифметики

Прості числа дуже корисні при вивченні математики. Ми побачимо, як вони використовуються в наступних розділах. Зараз ми констатуємо Основний принцип арифметики.

Основний принцип арифметики
За винятком порядку множників, кожне натуральне число, відмінне від 1, може бути враховано одним і лише одним способом як добуток простих чисел.

Визначення: Просте факторизація

Коли число враховується так, що всі його фактори є простими числами. факторизація називається простим факторизацією числа.

Методика первинної факторизації проілюстрована на наступних трьох прикладах.

$10 = 5 \cdot 2$. І 2, і 5 є простими. Тому$2 \cdot 5$ є просте факторизація 10.
11. Число 11 є простим числом. Просте факторизація застосовується лише до складених чисел. Таким чином, 11 не має первинної факторизації.
$60 = 2 \cdot 30$. Число 30 не є простим:$30 = 2 \cdot 15$.

$60 = 2 \cdot 2 \cdot 15$

Число 15 не є простим:$15 = 3 \times 5$

$60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$

Ми будемо використовувати експоненти.

$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

Числа 2, 3 і 5 є простими. Тому$2^2 \cdot 3 \cdot 5$ є просте факторизація 60.

Просте факторизація натурального числа

Наступний метод забезпечує спосіб знаходження простого факторизації натурального числа.

Метод знаходження простого факторизації натурального числа

Розділіть число багаторазово на найменше просте число, яке розділить на нього цілу кількість разів (без залишку).
Коли просте число, що використовується на кроці 1, більше не ділиться на задане число без залишку, повторіть процес ділення з наступним найбільшим простим числом, який ділить задане число.
Продовжуйте цей процес до тих пір, поки частка не стане меншою за дільник.
Проста факторизація заданого числа є добутком всіх цих простих дільників. Якщо число не має простих дільників, воно є простим числом.

Можливо, ми зможемо використовувати деякі тести на подільність, які ми вивчали в [посилання], щоб допомогти знайти прості числа, які ділять задане число.

Набір зразків C

Знайдіть просте факторизацію 60.

Рішення

Так як остання цифра 60 дорівнює 0, що парна, 60 ділиться на 2. Ми будемо неодноразово ділити на 2, поки більше не зможемо. Поділимо наступним чином:

$\begin{array} {l} {\text{30 is divisible by 2 again}} \\ {\text{15 is not divisible by 2, but it is divisible by 3, the next prime}} \\ {\text{5 is not divisible by 3, but it is divisible by 5, the next prime.}} \end{array}$

Частка 1 остаточно менше, ніж дільник 5, а просте факторизація 60 є добутком цих простих дільників.

$60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$

Ми використовуємо експоненти, коли це можливо.

$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

Набір зразків C

Знайдіть просте факторизацію 441.

Рішення

441 не ділиться на 2, оскільки його остання цифра не ділиться на 2.

441 ділиться на 3, так як$4 + 4 + 1 = 9$ і 9 ділиться на 3.

$441 ділиться на 3 є 147. 147 ділиться на 3 є 49. 49 ділиться на 7 є 7. 7 ділиться на 7 є 1.$

$\begin{array} {l} {\text{147 is divisible by } 3(1 + 4 + 7 = 12).} \\ {\text{49 is not divisible by 3, nor is it divisible by 5. It is divisible by 7.}} \end{array}$

Частка 1 остаточно менше дільника 7, а просте факторизація 441 є добутком цих простих дільників.

$441 = 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$

Використовуйте експоненти.

$441 = 3^2 \cdot 7^2$

Набір зразків C

Знайдіть просте факторизацію 31.

Рішення

$\begin{array} {ll} {\text{31 is not divisible by 2}} & {\text{Its last digit is not even}} \\ {} & {31 \div 2 = \text{15R1}} \\ {} & {\text{The quotient, 15, is larger than the divisor, 3. Continue.}} \\ {\text{31 is not divisible by 3}} & {\text{The digits } 3 + 1 = 4, \text{ and 4 is not divisible by 3.}} \\ {} & {31 \div 3 = \text{10R1}} \\ {} & {\text{The quotient, 10, is larger than the divisor, 3. Continue.}} \\ {\text{31 is not divisible by 5}} & {\text{The last digit of 31 is not 0 or 5.}} \\ {} & {31 \div 5 = \text{6R1}} \\ {} & {\text{The quotient, 6, is larger than the divisor, 5. Continue.}} \\ {\text{31 is not divisible by 7.}} & {\text{Divide by 7.}} \\ {} & {31 \div 7 = \text{4R1}} \\ {} & {\text{The quotient, 4 is smaller than the divisor, 7.}} \\ {} & {\text{We can stop the process and conclude that 31 is a prime number.}} \end{array}$

Число 31 - просте число

Практика Set C

Знайдіть просте факторизацію кожного цілого числа.

Відповідь: $22 = 2 \cdot 11$

Практика Set C

Відповідь: $40 = 2^3 \cdot 5$

Практика Set C

Відповідь: $48 = 2^4 \cdot 3$

Практика Set C

Відповідь: $63 = 3^2 \cdot 7$

Практика Set C

945

Відповідь: $945 = 3^3 \cdot 5 \cdot 7$

Практика Set C

1 617

Відповідь: $1617 = 3 \cdot 7^2 \cdot 11$

Практика Set C

Відповідь: 17 є основним

Практика Set C

Відповідь: 61 є основним

вправи

Для наступних проблем визначте відсутні коефіцієнти (и).

Вправа$\PageIndex{1}$

$14 = 7 \cdot $

Відповідь: 2

Вправа$\PageIndex{2}$

$20 = 4 \cdot $

Вправа$\PageIndex{3}$

$36 = 9 \cdot $

Відповідь: 4

Вправа$\PageIndex{4}$

$42 = 21 \cdot $

Вправа$\PageIndex{5}$

$44 = 4 \cdot $

Відповідь: 11

Вправа$\PageIndex{6}$

$38 = 2 \cdot $

Вправа$\PageIndex{7}$

$18 = 3 \cdot $.

Відповідь: $3 \cdot 2$

Вправа$\PageIndex{8}$

$28 = 2 \cdot $.

Вправа$\PageIndex{9}$

$300 = 2 \cdot 5 \cdot $.

Відповідь: $2 \cdot 3 \cdot 5$

Вправа$\PageIndex{10}$

$840 = 2 \cdot $.

Для наступних завдань знайдіть всі фактори кожного з чисел.

Вправа$\PageIndex{11}$

Відповідь: 1, 2, 4, 8, 16

Вправа$\PageIndex{12}$

Вправа$\PageIndex{13}$

Відповідь: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56

Вправа$\PageIndex{14}$

105

Вправа$\PageIndex{15}$

220

Відповідь: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 10, 20

Вправа$\PageIndex{16}$

Вправа$\PageIndex{17}$

Відповідь: 1, 2, 4, 8, 16, 32

Вправа$\PageIndex{18}$

Вправа$\PageIndex{19}$

142

Відповідь: 1, 2, 71, 142

Вправа$\PageIndex{20}$

218

Для наступних задач визначте, які з цілих чисел є простими, а які складовими.

Вправа$\PageIndex{21}$

Відповідь: прем'єр

Вправа$\PageIndex{22}$

Вправа$\PageIndex{23}$

Відповідь: композитних

Вправа$\PageIndex{24}$

Вправа$\PageIndex{25}$

Відповідь: прем'єр

Вправа$\PageIndex{26}$

Вправа$\PageIndex{27}$

Відповідь: прем'єр

Вправа$\PageIndex{28}$

Вправа$\PageIndex{29}$

Відповідь: прем'єр

Вправа$\PageIndex{30}$

Вправа$\PageIndex{31}$

Відповідь: композитний ($5 \cdot 11$)

Вправа$\PageIndex{32}$

Вправа$\PageIndex{33}$

1 044

Відповідь: композитних

Вправа$\PageIndex{34}$

924

Вправа$\PageIndex{35}$

339

Відповідь: композитних

Вправа$\PageIndex{36}$

103

Вправа$\PageIndex{37}$

209

Відповідь: композитний$(11 \cdot 19)$

Вправа$\PageIndex{38}$

667

Вправа$\PageIndex{39}$

4 575

Відповідь: композитних

Вправа$\PageIndex{40}$

119

Для наступних задач знайдіть просту факторизацію кожного з цілих чисел.

Вправа$\PageIndex{41}$

Відповідь: $2 \cdot 13$

Вправа$\PageIndex{42}$

Вправа$\PageIndex{43}$

Відповідь: $2 \cdot 3^3$

Вправа$\PageIndex{44}$

Вправа$\PageIndex{45}$

Відповідь: $2^3 \cdot 7$

Вправа$\PageIndex{46}$

176

Вправа$\PageIndex{47}$

480

Відповідь: $2^5 \cdot 3 \cdot 5$

Вправа$\PageIndex{48}$

819

Вправа$\PageIndex{49}$

2 025

Відповідь: $3^4 \cdot 5^2$

Вправа$\PageIndex{50}$

148 225

Вправи для огляду

Вправа$\PageIndex{51}$

Округлення 26 584 до найближчої десяти.

Відповідь: 26 580

Вправа$\PageIndex{52}$

Наскільки більше 106, ніж 79?

Вправа$\PageIndex{53}$

Правда чи брехня? Нуль, поділений на будь-яке ненульове ціле число, дорівнює нулю.

Відповідь: істинний

Вправа$\PageIndex{54}$

Знайдіть частку. $10,584 \div 126.$

Вправа$\PageIndex{55}$

Знайдіть значення$\sqrt{121} - \sqrt{81} + 6^2 \div 3$.

Відповідь: 14