3.2: Угруповання символів і порядок операцій

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57382

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

розуміти використання угруповання символів
розуміти і вміти використовувати порядок операцій
скористайтеся калькулятором для визначення значення числового виразу

Угруповання символів

Символи групування використовуються для позначення того, що певний набір чисел і значущих операцій повинні бути згруповані разом і розглянуті як одне число. Символи групування, які зазвичай використовуються в математиці, такі:

(), [], {},
Дужки: ()
Дужки: []
Брекети: {}
Бар:

У обчисленні, в якому беруть участь більше однієї операції, символи групування вказують, яку операцію виконати в першу чергу. Якщо можливо, спочатку виконуємо операції всередині угруповання символів.

Набір зразків A

Якщо є можливість, визначте значення кожного з наступних.

\[9 + (3 \cdot 8) \nonumber\]

Рішення

Оскільки 3 і 8 знаходяться в дужках, їх потрібно об'єднати першими.

\[\begin{array} {rcl} {9 + (3 \cdot 8)} & = & {9 + 24} \\ {} & = & {33} \end{array}\nonumber\]

Таким чином,

\[9 + (3 \cdot 8) = 33 \nonumber\]

Набір зразків A

\[(10 \div 0) \cdot 6\nonumber\]

Рішення

Оскільки\(10 \div 0\) не визначено, ця операція безглузда, і ми не надаємо їй значення. Пишемо, «невизначено».

Практика Set A

Якщо є можливість, визначте значення кожного з наступних.

\(16 - (3 \cdot 2)\)

Відповідь: 10

Практика Set A

\(5 + (7 \cdot 9)\)

Відповідь: 68

Практика Set A

\((4 + 8) \cdot 2\)

Відповідь: 24

Практика Set A

\(28 \div (18 - 11)\)

Відповідь: 4

Практика Set A

\((33 \div 3) - 11\)

Відповідь: 0

Практика Set A

\(4 + (0 \div 0)\)

Відповідь: неможливо (індетермінантний)

Кілька символів групування

Коли набір символів групування виникає всередині іншого набору символів групування, ми спочатку виконуємо операції всередині самого внутрішнього набору.

Набір зразків A

Визначте значення кожного з наступних.

\[2 + (8 \cdot 3) - (5 + 6)\nonumber\]

Рішення

Поєднуйте спочатку 8 і 3, потім об'єднайте 5 і 6.

\[\begin{array} {ll} {2 + 24 - 11} & {\text{ Now combine left to right.}} \\ {26 - 11} & {} \\ {15} & {} \end{array}\nonumber\]

Набір зразків A

\[10 + [30 - (2 \cdot 9)]\nonumber\]

Рішення

Об'єднайте 2 і 9, оскільки вони зустрічаються в найпотаємнішому наборі дужок.

\[\begin{array} {ll} {10 + [30 - 18]} & {\text{ Now combine 30 and 18.}} \\ {10 + 12} & {} \\ {22} & {} \end{array}\nonumber\]

Практика Set B

Визначте значення кожного з наступних.

\((17 + 8) + (9 + 20)\)

Відповідь: 54

Практика Set B

\((55 - 6) - (13 \cdot 2)\)

Відповідь: 23

Практика Set B

\(23 + (12 \cdot 4) - (11 \cdot 2)\)

Відповідь: 4

Практика Set B

\(86 + [14 \div (10 - 8)]\)

Відповідь: 93

Практика Set B

\(31 + \{9 + [1 + (35 - 2)]\}\)

Відповідь: 74

Практика Set B

\(\{6 - [24 \div (4 \cdot 2)]\}^3\)

Відповідь: 27

Порядок операцій

Іноді відсутні символи групування, які вказують, які операції виконати першими. Наприклад, припустимо, що ми хочемо знайти значення\(3 + 5 \cdot 2\). Ми могли б зробити будь-яку з двох речей:

Додайте 3 і 5, потім цю суму помножте на 2.

\(\begin{array} {rcl} {3 + 5 \cdot 2} & = & {8 \cdot 2} \\ {} & = & {16} \end{array}\)

Помножте 5 і 2, потім додайте до цього продукту 3.

\(\begin{array} {rcl} {3 + 5 \cdot 2} & = & {3 + 10} \\ {} & = & {13} \end{array}\)

Тепер у нас є два значення для одного числа. Щоб визначити правильне значення, ми повинні використовувати прийнятий порядок операцій.

Порядок операцій

Виконайте всі операції всередині угруповання символів, починаючи з самого потаємного набору, в порядку 2, 3, 4, описаного нижче,
Виконайте всі експоненціальні та кореневі операції.
Виконайте всі множення і ділення, рухаючись зліва направо.
Виконайте всі додавання і віднімання, рухаючись зліва направо.

Набір зразків C

Визначте значення кожного з наступних.

\(\begin{array} {ll} {21 + 3 \cdot 12} & {\text{ Multiply first.}} \\ {21 + 36} & {\text{ Add.}} \\ {57} & {} \end{array}\)

Набір зразків C

\(\begin{array} {ll} {(15 - 8) + 5 \cdot (6 + 4).} & {\text{ Simplify inside parentheses first.}} \\ {7 + 5 \cdot 10} & {\text{ Multiply.}} \\ {7 + 50} & {\text{ Add.}} \\ {57} & {} \end{array}\)

Набір зразків C

\(\begin{array} {ll} {63 - (4 + 6 \cdot 3) + 76 - 4} & {\text{ Simplify first within the parenthesis by multiplying, then adding.}} \\ {63 - (4 + 18) + 76 - 4} & {} \\ {63 - 22 + 76 - 4} & {\text{ Now perform the additions and subtractions, moving left to right.}} \\ {41 + 76 - 4} & {\text{ Add 41 and 76: 41 + 76 = 117.}} \\ {117 - 4} & {\text{ Subtract 4 from 117: 117 - 4 = 113.}} \\ {113} & {} \end{array}\)

Набір зразків C

\(\begin{array} {ll} {7 \cdot 6 - 4^2 + 1^5} & {\text{ Evaluate the exponential forms, moving left to right.}} \\ {7 \cdot 6 - 16 - 1} & {\text{ Multiply 7 and 6: 7 \cdot 6 = 42}} \\ {42 - 16 + 1} & {\text{ Subtract 16 from 42: 42 - 16 = 26}} \\ {26 + 1} & {\text{ Add 26 and 1: 26 + 1 = 27}} \\ {27} & {} \end{array}\)

Набір зразків C

\(\begin{array} {ll} {6 \cdot (3^2 + 2^2) + 4^2} & {\text{ Evaluate the exponential forms in the parentheses: } 3^2 = 9 \text{ and } 2^2 = 4} \\ {6 \cdot (9 + 4) + 4^2} & {\text{ Add the 9 and 4 in the parentheses: 9 + 4 = 13}} \\ {6 \cdot (13) + 4^2} & {\text{ Evaluate the exponential form: } 4^2 = 16} \\ {6 \cdot (13) + 16} & {\text{ Multiply 6 and 13: } 6 \cdot 13 = 78} \\ {78 + 16} & {\text{ Add 78 and 16: 78 + 16 = 94}} \\ {94} & {} \end{array}\)

Набір зразків C

\(\begin{array} {ll} {\dfrac{6^2 + 2^2}{4^2 + 6 \cdot 2^2} + \dfrac{1^2 + 8^2}{10^2 - 19 \cdot 5}} & {\text{ Recall that the bar is a grouping symbol.}} \\ {} & {\text{ The fraction } \dfrac{}{} \text{ is equivalent to } (6^2 + 2^2) \div (4^2 + 6 \cdot 2^2)} \\ {\dfrac{36 + 4}{16 + 6 \cdot 4} + \dfrac{1 + 64}{100 - 19 \cdot 5}} & {} \\ {\dfrac{36 + 4}{16 + 24} + \dfrac{1 + 64}{100 - 95}} & {} \\ {\dfrac{40}{40} + \dfrac{65}{5}} & {} \\ {1 + 13} & {} \\{14} & {} \end{array}\)

Практика Set C

Визначте значення кожного з наступних.

\(8 + (32 - 7)\)

Відповідь: 33

Практика Set C

\((34 + 18 - 2 \cdot 3) + 11\)

Відповідь: 57

Практика Set C

\(8(10) + 4(2 + 3) - (20 + 3 \cdot 15 + 40 - 5)\)

Відповідь: 0

Практика Set C

\(5 \cdot 8 + 4^2 - 2^2\)

Відповідь: 52

Практика Set C

\(4(6^2 - 3^3) \div (4^2 - 4)\)

Відповідь: 3

Практика Set C

\((8 + 9 \cdot 3) \div 7 + 5 \cdot (8 \div 4 + 7 + 3 \cdot 5)\)

Відповідь: 125

Практика Set C

\(\dfrac{3^3 - 2^3}{6^2 - 29} + 5 (\dfrac{8^2 + 2^4}{7^2 - 3^2}) \div \dfrac{8 \cdot 3 + 1^8}{2^3 - 3}\)

Відповідь: 7

Калькулятори

Використання калькулятора корисно для спрощення обчислень, які включають великі числа.

Набір зразків D

Використовуйте калькулятор для визначення кожного значення.

\(9,842 + 56 \cdot 85\)

Рішення

	ключ		Дисплей Читає
Спочатку виконайте множення.	Тип	56	56
	Преса	\(\times\)	56
	Тип	85	85
Тепер виконайте додавання.	Преса	+	4760
	Тип	9842	9842
	Преса	=	14602

Дисплей тепер читає 14,602.

Набір зразків D

\(42(27 + 18) + 105(810 \div 18)\)

Рішення

	ключ		Дисплей Читає
Працюйте всередині дужок	Тип	27	27
	Преса	+	27
	Тип	18	18
	Преса	=	45
Помножте на 42.	Преса	\(\times\)	45
	Тип	42	42
	Преса	=	1890

Помістіть цей результат в пам'ять, натиснувши клавішу пам'яті.

	Ключ		Дисплей Читає
Тепер оперуйте в інших дужках.	Тип	810	810
	Преса	\(\div\)	810
	Тип	18	18
	Преса	=	45
Тепер множимо на 105.	Преса	\(\times\)	45
	Тип	105	105
	Преса	=	4725
Тепер ми готові скласти ці дві кількості разом.	Преса	+	4725
Натисніть клавішу відкликання пам'яті.			1890
	Преса	=	6615

Таким чином,\(42(27 + 18) + 105 (810 \div 18) = 6,615\)

Набір зразків D

\(16^4 + 37^3\)

Рішення

Ненанаукові калькулятори
Ключ		Дисплей Читає
Тип	16	16
Преса	\(\times\)	16
Тип	16	16
Преса	\(\times\)	256
Тип	16	16
Преса	\(\times\)	4096
Тип	16	16
Преса	=	65536
Натисніть клавішу пам'яті
Тип	37	37
Преса	\(\times\)	37
Тип	37	37
Преса	\(\times\)	1396
Тип	37	37
Преса	\(\times\)	50653
Преса	+	50653
Натисніть клавішу відкликання пам'яті		65536
Преса	=	116189

Калькулятори з\(y^x\) ключем
Ключ		Дисплей Читає
Тип	16	16
Преса	\(y^x\)	16
Тип	4	4
Преса	=	4096
Преса	+	4096
Тип	37	37
Преса	\(y^x\)	37
Тип	3	3
Преса	=	116189

Таким чином,\(16^4 + 37^3 = 116,189\)

Ми, звичайно, бачимо, що більш потужний калькулятор спрощує обчислення.

Набір зразків D

Ненанаукові калькулятори не в змозі обробляти розрахунки за участю дуже великих чисел.

\(85612 \cdot 21065\)

Рішення

Ключ		Дисплей Читає
Тип	85612	85612
Преса	\(\times\)	85612
Тип	21065	21065
Преса	=

Це число занадто велике для відображення деяких калькуляторів, і ми, ймовірно, отримаємо якесь повідомлення про помилку. На деяких наукових калькуляторах з такими великими числами справляються, помістивши їх у форму, звану «науковим позначенням». Інші можуть робити множення безпосередньо. (1803416780)

Практика Set D

\(9,285 + 86(49)\)

Відповідь: 13 499

Практика Set D

\(55(84 - 26) + 120 (512 - 488)\)

Відповідь: 6 070

Практика Set D

\(106^3 - 17^4\)

Відповідь: 1 107 495

Практика Set D

\(6,053^3\)

Відповідь: Це число занадто велике для ненаукового калькулятора. Науковий калькулятор напевно дасть вам\(2.217747109 \times 10^{11}\)

Вправи

Для наступних завдань знайдіть кожне значення. Кожен результат перевіряйте за допомогою калькулятора.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

\(2 + 3 \cdot (8)\)

Відповідь: 26

Вправа\(\PageIndex{2}\)

\(18 + 7 \cdot (4 - 1)\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

\(3 + 8 \cdot (6 - 2) + 11\)

Відповідь: 46

Вправа\(\PageIndex{4}\)

\(1 - 5 \cdot (8 - 8)\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

\(37 - 1 \cdot 6^2\)

Відповідь: 1

Вправа\(\PageIndex{6}\)

\(98 \div 2 \div 7^2\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

\((4^2 - 2 \cdot 4) - 2^3\)

Відповідь: 0

Вправа\(\PageIndex{8}\)

\(\sqrt{9} + 14\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

\(\sqrt{100} + \sqrt{81} - 4^2\)

Відповідь: 3

Вправа\(\PageIndex{10}\)

\(\sqrt[3]{8} + 8 - 2\cdot 5\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

\(\sqrt[4]{16} - 1 + 5^2\)

Відповідь: 26

Вправа\(\PageIndex{12}\)

\(61 - 22 + 4[3 \cdot (10) + 11]\)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

\(121 - 4 \cdot [(4) \cdot (5) - 12] + \dfrac{16}{2}\)

Відповідь: 97

Вправа\(\PageIndex{14}\)

\(\dfrac{(1 + 16) - 3}{7} + 5 \cdot (12)\)

Вправа\(\PageIndex{15}\)

\(\dfrac{8 \cdot (6 + 20)}{8} + \dfrac{3 \cdot (6 + 16)}{22}\)

Відповідь: 29

Вправа\(\PageIndex{16}\)

\(10 \cdot [8 + 2 \cdot (6 + 7)]\)

Вправа\(\PageIndex{17}\)

\(21 \div 7 \div 3\)

Відповідь: 1

Вправа\(\PageIndex{18}\)

\(10^2 \cdot 3 \div 5^2 \cdot 3 - 2 \cdot 3\)

Вправа\(\PageIndex{19}\)

\(85 \div 5 \cdot 5 - 85\)

Відповідь: 0

Вправа\(\PageIndex{20}\)

\(\dfrac{51}{17} + 7 - 2 \cdot 5 \cdot (\dfrac{12}{3})\)

Вправа\(\PageIndex{21}\)

\(2^2 \cdot 3 + 2^3 \cdot (6 - 2) - (3 + 17) + 11(6)\)

Відповідь: 90

Вправа\(\PageIndex{22}\)

\(26 - 2 \cdot \{\dfrac{6 + 20}{13} \}\)

Вправа\(\PageIndex{23}\)

\(2 \cdot \{(7 + 7) + 6 \cdot [4 \cdot (8 + 2)]\}\)

Відповідь: 508

Вправа\(\PageIndex{24}\)

\(0 + 10(0) + 15 \cdot \{4 \cdot 3 + 1\}\)

Вправа\(\PageIndex{25}\)

\(18 + \dfrac{7 + 2}{9}\)

Відповідь: 19

Вправа\(\PageIndex{26}\)

\((4 + 7) \cdot (8 - 3)\)

Вправа\(\PageIndex{27}\)

\((6 + 8) \cdot (5 + 2 - 4)\)

Відповідь: 144

Вправа\(\PageIndex{28}\)

\((21 - 3) \cdot (6 - 1) \cdot (7) + 4(6 + 3)\)

Вправа\(\PageIndex{29}\)

\((10 + 5) \cdot (10 + 5) - 4 \cdot (60 - 4)\)

Відповідь: 1

Вправа\(\PageIndex{30}\)

\(6 \cdot \{2 \cdot 8 + 3\} - (5) \cdot (2) + \dfrac{8}{4} + (1 + 8) \cdot (1 + 11)\)

Вправа\(\PageIndex{31}\)

\(2^5 + 3 \cdot (8 + 1)\)

Відповідь: 52

Вправа\(\PageIndex{32}\)

\(3^4 + 2^4 \cdot (1 + 5)\)

Вправа\(\PageIndex{33}\)

\(1^6 + 0^8 + 5^2 \cdot (2 + 8)^3\)

Відповідь: 25 001

Вправа\(\PageIndex{34}\)

\((7) \cdot (16) - 3^4 + 2^2 \cdot (1^7 + 3^2)\)

Вправа\(\PageIndex{35}\)

\(\dfrac{2^3 - 7}{5^2}\)

Відповідь: \(\dfrac{1}{25}\)

Вправа\(\PageIndex{36}\)

\(\dfrac{(1 + 6)^2 + 2}{3 \cdot 6 + 1}\)

Вправа\(\PageIndex{37}\)

\(\dfrac{6^2 - 1}{2^3 - 3} + \dfrac{4^3 + 2 \cdot 3}{2 \cdot 5}\)

Відповідь: 14

Вправа\(\PageIndex{38}\)

\(\dfrac{5(8^2 - 9 \cdot 6)}{2^5 - 7} + \dfrac{7^2 - 4^2}{5 \cdot 5^2}\)

Вправа\(\PageIndex{39}\)

\(\dfrac{(2 + 1)^3 + 2^3 + 1^{10}}{6^2} - \dfrac{15^2 - [2 \cdot 5]^2}{5 \cdot 5^2}\)

Відповідь: 0

Вправа\(\PageIndex{40}\)

\(\dfrac{6^3 - 2 \cdot 10^2}{2^2} + \dfrac{18(2^3 + 7^2)}{2(19) - 3^3}\)

Вправа\(\PageIndex{41}\)

\(2 \cdot \{6 + [10^2 - 6\sqrt{25}]\}\)

Відповідь: 152

Вправа\(\PageIndex{42}\)

\(181 - 3 \cdot (2\sqrt{36} + 3 \sqrt[3]{64})\)

Вправа\(\PageIndex{43}\)

\(\dfrac{2 \cdot (\sqrt{81} - \sqrt[3] {125})}{4^2 - 10 + 2^2}\)

Відповідь: \(\dfrac{4}{5}\)

Вправи для рецензування

Вправа\(\PageIndex{44}\)

Справа в тому, що 0 + будь-яке ціле число = саме те ціле число є прикладом якої властивості додавання?

Вправа\(\PageIndex{45}\)

Знайдіть товар\(4,271 \times 630\).

Відповідь: 2 690 730

Вправа\(\PageIndex{46}\)

У\(27 \div 3 = 9\) твердженні яке ім'я дано результату 9?

Вправа\(\PageIndex{47}\)

Яке число - мультиплікативна ідентичність?

Відповідь: 1

Вправа\(\PageIndex{48}\)

Знайдіть значення\(2^4\).