2.3: Поділ цілих чисел

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57326

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

вміти ділити ціле число на один або кілька цифр дільник
вміти інтерпретувати заяву калькулятора, що поділ призводить до залишку

Ділення з однозначним дільником

Наш досвід множення цілих чисел дозволяє виконувати такі ділення, як$75 \div 5$. Виконуємо ділення, виконуючи відповідне множення,$5 \times Q = 75$. Кожен поділ, який ми розглядали в [link], мав однозначний коефіцієнт. Зараз ми розглянемо ділення, в яких частка може складатися з двох і більше цифр. Наприклад,$75 \div 5$.

Давайте розберемо поділ$75 \div 5$. Нас просять визначити, скільки 5 міститься в 75. Підійдемо до вирішення проблеми наступним чином.

Зробіть освічене припущення, грунтуючись на досвіді з множенням.
Знайдіть, наскільки близька кошторис, помноживши кошторис на 5.
Якщо продукт, отриманий на кроці 2, менше 75, з'ясуйте, скільки менше, віднімаючи його з 75.
Якщо продукт, отриманий на етапі 2, більше 75, зменшуйте оцінку до тих пір, поки продукт не стане менше 75. Зниження оцінки має сенс, оскільки ми не хочемо перевищувати 75.

З цієї дискусії можна припустити, що процес поділу складається з:

Чотири кроки в поділі

освічена здогадка
множення
а віднімання
збиваючи наступну цифру (при необхідності)

Виховану здогадку можна зробити, визначивши, скільки разів дільник міститься в дивіденді, використовуючи лише одну або дві цифри дивіденду.

Набір зразків A

Знайти$75 \div 5$.

Рішення

$5\overline{)75}$Перепишіть задачу за допомогою ділильної дужки.

$\begin{array} {r} {10} \\ {5\overline{)75}} \end{array}$

Зробіть освічену здогадку, зазначивши, що один 5 міститься в 75 максимум 10 разів.
Оскільки 7 - це цифра десятків, ми оцінюємо, що 5 переходить у 75 максимум 10 разів.

$\begin{array} {r} {10} \\ {5\overline{)75}} \\ {\underline{-50}} \\ {25} \end{array}$

Тепер визначте, наскільки близька кошторис.
10 п'ятірок є$10 \times 5 = 50$. Відніміть 50 з 75.
Оцініть число 5 в 25.
Є рівно 5 п'ятірок в 25.

$2020-09-29 10.20.37.png$

Перевірка:

$Чи дорівнює 75 15 разів 5? Так.$

Таким чином,$75 \div 5 = 15$.

Позначення в цьому розподілі можна скоротити шляхом написання.

$\begin{array} {r} {15} \\ {5\overline{)75}} \\ {-5 \downarrow} \\ {\overline{\ \ 25}} \\ {-25} \\ {\overline{\ \ \ \ 0}} \end{array}$

$\begin{cases} \text{Divide:} & \text{5 goes into 7 at most 1 time.} \\ \text{Multiply:} & 1 \times 5 = 5. \text{Write 5 below 7.} \\ \text{Subtract:} & 7 - 5 = 2. \text{Bring down the 5.} \end{cases}$$\begin{cases} {\text{Divide:}} & {\text{5 goes into 25 exactly 5 times}} \\ {\text{Multiply:}} & {5 \times 5 = 25. \text{Write 25 below 25.}} \\ {\text{Subtract:}} & {25 - 25 = 0} \end{cases}$

Набір зразків A

Знайти$4,944 \div 8$.

Рішення

$8\overline{)4944}$

Перепишіть задачу за допомогою ділильної дужки.

$\begin{array} {r} {600} \\ {8\overline{)4944}} \\ {\underline{-4800}} \\ {144} \end{array}$

8 переходить у 49 максимум 6 разів, а 9 - у стовпці сотень. Вгадаємо 600.
Потім,$8 \times 600 = 4800$.

$\begin{array} {r} {10} \\ {600} \\ {8\overline{)4944}} \\ {\underline{-4800}} \\ {144} \\ {\underline{-\ \ 80}} \\ {64} \end{array}$

8 переходить в 14 максимум 1 раз, а 4 - в стовпці десятків. Ми вгадаємо 10.

$\begin{array} {r} {8} \\ {10} \\ {600} \\ {8\overline{)4944}} \\ {\underline{-4800}} \\ {144} \\ {\underline{-\ \ 80}} \\ {64} \\ {\underline{-64}} \\ {0} \end{array}$

8 йде в 64 рівно 8 разів.
600 вісімок + 10 вісімок + 8 вісімок = 618 вісімок.

Перевірка:

$Чи дорівнює 4944 8 разів 18? Так.$

Таким чином,$4,944 \div 8 = 618$.

Як і в першій задачі, позначення в цьому діленні можна скоротити, усунувши знаки віднімання і нулі в кожній освіченій здогаді.

$Довгий поділ. 4944 ділиться на 8. Після кожної освіченої здогадки цифра справа зводиться до наступного рядка.$

$\begin{cases} \text{Divide:} & \text{8 goes into 49 at most 6 times.} \\ \text{Multiply:} & 6 \times 8 = 48. \text{Write 48 below 49.} \\ \text{Subtract:} & 49 - 48 = 1. \text{Bring down the 4.} \end{cases}$$\begin{cases} \text{Divide:} & \text{8 goes into 14 at most 1 time.} \\ \text{Multiply:} & 1 \times 8 = 8. \text{Write 8 below 14.} \\ \text{Subtract:} & 14 - 8 = 6. \text{Bring down the 4.} \end{cases}$

$\begin{cases} \text{Divide:} & \text{8 goes into 64 exactly 8 times.} \\ \text{Multiply:} & 8 \times 8 = 64. \text{Write 64 below 64.} \\ \text{Subtract:} & 64 - 64 = 0. \end{cases}$

Примітка

Не всі ділення закінчуються нулем. Такі поділи ми розглянемо в наступному підрозділі.

Практика Набір A

Виконайте наступні поділи.

$126 \div 7$

Відповідь: 18

Практика Набір A

$324 \div 4$

Відповідь: 81

Практика Набір A

$2,559 \div 3$

Відповідь: 853

Практика Set A

$5,645 \div 5$

Відповідь: 1 129

Практика Set A

$757,125 \div 9$

Відповідь: 84 125

Ділення з кратним дільником

Процес ділення працює і тоді, коли дільник складається з двох і більше цифр. Тепер ми робимо освічені здогадки, використовуючи першу цифру дільника і одну-дві цифри дивіденду.

Набір зразків B

Знайти$2,232 \div 36$.

Рішення

$36 \overline{)2232}$

Використовуйте першу цифру дільника та перші дві цифри дивіденду, щоб зробити освічену здогадку.

3 переходить у 22 максимум 7 разів.

Спробуйте 7:$7 \times 36 = 252$ що більше 223. Зменшити кошторис.

Спробуйте 6:$6 \times 36 = 216$ що менше 223.

$Перший крок довгої задачі ділення. 2232 ділиться на 36. 36 йде на 223 приблизно 6 разів, з залишком 7. Одиниці цифра 2232 потім збивається, щоб примикати до 7.$

$\begin{array} {ll} {\text{Multiply: }} & {6 \times 36 = 216. \text{Write 216 below 223.}} \\ {\text{Subtract: }} & {223 - 216 = 7. \text{Bring down the 2.}} \end{array}$

Розділіть 3 на 7, щоб оцінити кількість разів 36 переходить на 72. 3 переходить у 7 щонайбільше 2 разів.

Спробуйте 2:$2 \times 36 = 72$.

$Довге ділення. 2232 ділиться на 36. 36 йде на 223 приблизно 6 разів, з залишком 7. Ці цифри 2232 потім збивається, щоб примикати до 7. 36 йде в 72 рівно два рази, залишаючи залишок 0.$

Перевірка:

$Чи дорівнює 2232 36 раз 62? Так.$

Таким чином$2,232 \div 36 = 62$.

Набір зразків B

Знайти$2,417,228 \div 802$.

Рішення

$802 \overline{)2417228}$

По-перше, освічена здогадка:$24 \div 8 = 3$. Тоді$3 \times 802 = 2406$, що менше 2417. Використовуйте 3 як припущення. Оскільки$3 \times 802 = 2406$, а 2406 має чотири цифри, поставте 3 вище четвертої цифри дивідендів.

$Перший крок довгої задачі ділення. 2417228 ділиться на 802. 802 йде в 2417 приблизно 3 рази, з залишком 11. Потім сотні цифра 2417228 збивається, щоб примикати до 11.$

Відніміть: 2417 - 2406 = 11.
Збиваємо 2.

Дільник 802 переходить в 112 максимум 0 разів. Використовуйте 0.

$Другий крок задачі довгого ділення. 802 йде в 112 0 разів, тому вище ставиться нуль, а наступна цифра збивається.$

$\begin{array} {ll} {\text{Multiply:}} & {0 \times 802 = 0.} \\ {\text{Subtract:}} & {112 - 0 = 112.} \\ {\text{Bring down the 2.}} & {} \end{array}$

8 переходить в 11 максимум 1 раз, і$1 \times 802 = 802$, що менше 1122. Спробуйте 1.

$Третій крок довгої задачі поділу. 802 переходить в 1122 один раз, тому вище ставиться 1, а цифра одиниць збивається.$

Відніміть 1122 - 802 = 320
Збиваємо 8.

8 переходить у 32 максимум 4 рази.

$4 \times 802 = 3208$.

Використовуйте 4.

$Третій крок довгої задачі поділу. 2417228 ділиться на 802. 802 йде в 2417 приблизно 3 рази, з залишком 11. Потім цифра сотень 2417228 збивається, щоб примикати до 11. 802 йде в 112 0 разів, тому нуль ставиться вище, а наступна цифра збивається. 802 йде в 1122 один раз, тому 1 ставиться вище і одиниці цифра збивається. 802 йде в 3208 4 рази, залишаючи залишок 0.$

Перевірка:

$Чи дорівнює 2417228 3014 разів 802? Так.$

Таким чином,$2,417,228 \div 802 = 3,014$.

Практика Set B

Виконайте наступні поділи.

$1,376 \div 32$

Відповідь: 43

Практика Set B

$6,160 \div 55$

Відповідь: 112

Практика Set B

$18,605 \div 61$

Відповідь: 305

Практика Set B

$144,768 \div 48$

Відповідь: 3 016

Поділ з залишком

Ми можемо задатися питанням, скільки разів 4 міститься в 10. Повторне віднімання дає

$\begin{array} {r} {10} \\ {\underline{-\ \ 4}} \\ {6} \\ {\underline{-4}} \\ {2} \end{array}$

Так як залишок менше 4, віднімання припиняємо. Таким чином, 4 переходить в 10 два рази з 2 залишилися. Ми можемо написати це як поділ наступним чином.

$\begin{array} {r} {2} \\ {4 \overline{)10}} \\ {\underline{-\ \ 8}} \\ {2} \end{array}$

$\begin{array} {ll} {\text{Divide:}} & {\text{4 goes into 10 at most 2 times.}} \\ {\text{Multiply:}} & {2 \times 4 = 8. \text{Write 8 below 0.}} \\ {\text{Subtract:}} & {10 - 8 = 2.} \end{array}$

$\begin{array} {r} {\text{2R2}} \\ {4\overline{)\ \ \ 10}} \\ {\underline{-8}} \\ {2} \end{array}$або$10 \div 4 = \begin{matrix} \underbrace{\text{2R2}} \\ {\text{2 with remainder 2}} \end{matrix}$

Набір зразків C

Знайти$85 \div 3$.

Рішення

$Довге ділення. 85 ділиться на 3. 3 йде на 8 двічі, з залишком 2. Цифра одиниць потім збивається. 3 йде в 25 8 разів, з залишком 1.$

$\begin{cases} \text{Divide:} & \text{3 goes into 8 at most 2 times.} \\ \text{Multiply:} & 2 \times 3 = 6. \text{ Write 6 below 8.} \\ \text{Subtract:} & 8 - 6 = 2. \text{ Bring down the 5.} \end{cases}$$\begin{cases} \text{Divide:} & \text{3 goes into 25 at most 8 times.} \\ \text{Multiply:} & 3 \times 8 = 24. \text{ Write 24 below 25.} \\ \text{Subtract:} & 25 - 24 = 1 \end{cases}$

Набір зразків C

Знайти$726 \div 23$.

Рішення

$Довге ділення. 726 ділиться на 23. 23 йде на 72 три рази, з залишком 3. Цифра одиниць потім збивається. 23 йде в 36 раз, з залишком 13.$

Перевірка: Помножте 31 на 23, потім додайте 13.

$31 раз 23 дорівнює 713. 713 плюс 13 дорівнює 726.$

Таким чином,$726 \div 23 = 31R13$.

Практика Set C

Виконайте наступні поділи.

$75 \div 4$

Відповідь: 18 Р3

Практика Set C

$346 \div 8$

Відповідь: 43 Р2

Практика Set C

$489 \div 21$

Відповідь: 23 Р6

Практика Set C

$5,016 \div 82$

Відповідь: 61 Р14

Практика Set C

$41,196 \div 67$

Відповідь: 614 Р 58

Калькулятори

Калькулятор може бути корисний для пошуку коефіцієнтів з одним і множинним дільниками. Якщо ж поділ має призвести до залишку, калькулятор не в змозі надати нам конкретне значення залишку. Також деякі калькулятори (більшість ненаукові) не в змозі виконувати ділення, в яких одне з чисел має більше восьми цифр.

Набір зразків D

Використовуйте калькулятор для виконання кожного поділу.

$328 \div 8$.

Рішення

Тип	328
Преса	$\div$
Тип	8
Преса	=

Дисплей тепер читає 41.

Набір зразків D

$53,136 \div 82$.

Рішення

Тип	53136
Преса	$\div$
Тип	82
Преса	=

Дисплей тепер читає 648.

Набір зразків D

$730,019,001 \div 326$

Рішення

Спочатку ми намагаємося ввести 730,019,001, але виявимо, що ми можемо ввести тільки 73001900. Якщо наш калькулятор має лише восьмизначний дисплей (як це роблять більшість ненаукових калькуляторів), ми не зможемо використовувати калькулятор для цього поділу.

Набір зразків D

$3727 \div 49$.

Рішення

Тип	3727
Преса	$\div$
Тип	49
Преса	=

На дисплеї тепер читається 76.061224.

Це число є прикладом десяткового числа (див. [посилання]). Коли десяткове число призводить до ділення калькулятора, можна зробити висновок, що ділення дає залишок.

Практика Set D

Використовуйте калькулятор для виконання кожного поділу.

$3,330 \div 74$

Відповідь: 45

Практика Set D

$63,365 \div 115$

Відповідь: 551

Практика Set D

$21,996,385,287 \div 53$

Відповідь: Оскільки дивіденд має більше восьми цифр, цей поділ не може бути здійснено на більшості ненаукових калькуляторів. На інших, відповідь 415,026,137.4

Практика Set D

$4,558 \div 67$

Відповідь: Це поділ призводить до 68.02985075, десяткового числа, і тому ми не можемо в цей час знайти значення залишку. Пізніше ми обговоримо десяткові числа.

Вправи

Для наступних завдань виконайте поділи.

Перші 38 задач можна перевірити за допомогою калькулятора, помноживши дільник і частку, а потім додаючи залишок.

Вправа$\PageIndex{1}$

$52 \div 4$

Відповідь: 13

Вправа$\PageIndex{2}$

$776 \div 8$

Вправа$\PageIndex{3}$

$603 \div 9$

Відповідь: 67

Вправа$\PageIndex{4}$

$240 \div 8$

Вправа$\PageIndex{5}$

$208 \div 4$

Відповідь: 52

Вправа$\PageIndex{6}$

$576 \div 6$

Вправа$\PageIndex{7}$

$21 \div 7$

Відповідь: 3

Вправа$\PageIndex{8}$

$0 \div 0$

Вправа$\PageIndex{9}$

$140 \div 2$

Відповідь: 70

Вправа$\PageIndex{10}$

$528 \div 8$

Вправа$\PageIndex{11}$

$244 \div 4$

Відповідь: 61

Вправа$\PageIndex{12}$

$0 \div 7$

Вправа$\PageIndex{13}$

$177 \div 3$

Відповідь: 59

Вправа$\PageIndex{14}$

$96 \div 8$

Вправа$\PageIndex{15}$

$67 \div 1$

Відповідь: 67

Вправа$\PageIndex{16}$

$896 \div 56$

Вправа$\PageIndex{17}$

$1,044 \div 12$

Відповідь: 87

Вправа$\PageIndex{18}$

$988 \div 19$

Вправа$\PageIndex{19}$

$5,238 \div 97$

Відповідь: 54

Вправа$\PageIndex{20}$

$2530 \div 55$

Вправа$\PageIndex{21}$

$4,264 \div 82$

Відповідь: 52

Вправа$\PageIndex{22}$

$637 \div 13$

Вправа$\PageIndex{23}$

$3,420 \div 90$

Відповідь: 38

Вправа$\PageIndex{24}$

$5,655 \div 87$

Вправа$\PageIndex{25}$

$2,115 \div 47$

Відповідь: 45

Вправа$\PageIndex{26}$

$9,328 \div 22$

Вправа$\PageIndex{27}$

$55,167 \div 71$

Відповідь: 777

Вправа$\PageIndex{28}$

$68,356 \div 92$

Вправа$\PageIndex{29}$

$27,702 \div 81$

Відповідь: 342

Вправа$\PageIndex{30}$

$6,510 \div 31$

Вправа$\PageIndex{31}$

$60,536 \div 94$

Відповідь: 644

Вправа$\PageIndex{32}$

$31,844 \div 38$

Вправа$\PageIndex{33}$

$23,985 \div 45$

Відповідь: 533

Вправа$\PageIndex{34}$

$60,606 \div 74$

Вправа$\PageIndex{35}$

$2,975,400 \div 285$

Відповідь: 10 440

Вправа$\PageIndex{36}$

$1,389,660 \div 795$

Вправа$\PageIndex{37}$

$7,162,060 \div 879$

Відповідь: 8,147 решта 847

Вправа$\PageIndex{38}$

$7,561,060 \div 909$

Вправа$\PageIndex{39}$

$38 \div 9$

Відповідь: 4 залишок 2

Вправа$\PageIndex{40}$

$97 \div 4$

Вправа$\PageIndex{41}$

$199 \div 3$

Відповідь: 66 залишок 1

Вправа$\PageIndex{42}$

$573 \div 6$

Вправа$\PageIndex{43}$

$10,701 \div 13$

Відповідь: 823 залишок 2

Вправа$\PageIndex{44}$

$13,521 \div 53$

Вправа$\PageIndex{45}$

$3,628 \div 90$

Відповідь: 40 залишок 28

Вправа$\PageIndex{46}$

$10,592 \div 43$

Вправа$\PageIndex{47}$

$19,965 \div 30$

Відповідь: 665 залишок 15

Вправа$\PageIndex{48}$

$8,320 \div 21$

Вправа$\PageIndex{49}$

$61,282 \div 64$

Відповідь: 957 залишок 34

Вправа$\PageIndex{50}$

$1,030 \div 28$

Вправа$\PageIndex{51}$

$7,319 \div 11$

Відповідь: 665 залишок 4

Вправа$\PageIndex{52}$

$3,628 \div 90$

Вправа$\PageIndex{53}$

$35,279 \div 77$

Відповідь: 458 залишок 13

Вправа$\PageIndex{54}$

$52,196 \div 68$

Вправа$\PageIndex{55}$

$67,751 \div 68$

Відповідь: 996 залишок 23

Для наступних 5 завдань скористайтеся калькулятором, щоб знайти коефіцієнти.

Вправа$\PageIndex{56}$

$4,346 \div 53$

Вправа$\PageIndex{57}$

$3,234 \div 77$

Відповідь: 42

Вправа$\PageIndex{58}$

$6,771 \div 37$

Вправа$\PageIndex{59}$

$4,272,320 \div 520$

Відповідь: 8 216

Вправа$\PageIndex{60}$

$7,558,110 \div 651$

Вправа$\PageIndex{61}$

Інструктору з математики в середній школі платять 17 775 доларів за 9 місяців. Скільки грошей заробляє цей інструктор щомісяця?

Відповідь: $1,975 в місяць

Вправа$\PageIndex{62}$

Пара платить $4380 в рік за однокімнатну квартиру. Скільки платить ця пара щомісяця за цю квартиру?

Вправа$\PageIndex{63}$

Тридцять шість людей інвестують загалом 17 460 доларів у певний запас. Якщо кожен вклав однакову суму, скільки вклала кожна людина?

Відповідь: 485 доларів США кожна людина інвестувала

Вправа$\PageIndex{64}$

Кожен з 28 учнів у класі математики купує підручник. Якщо книжковий магазин продає книги на суму 644 доларів, яка ціна кожної книги?

Вправа$\PageIndex{65}$

Певна марка холодильника має автоматичний виробник кубиків льоду, який робить 336 кубиків льоду за один день. Якщо машина для льоду робить кубики льоду з постійною швидкістю, скільки кубиків льоду вона робить щогодини?

Відповідь: 14 кубів на годину

Вправа$\PageIndex{66}$

Виробник пива пляшок 52,380 унцій пива щогодини. Якщо кожна пляшка містить однакову кількість унцій пива, а виробник наповнює 4,365 пляшок на годину, скільки унцій пива містить кожна пляшка?

Вправа$\PageIndex{67}$

Комп'ютерна програма складається з 68,112 біт. 68,112 біт дорівнює 8,514 байтам. Скільки біт в одному байті?

Відповідь: 8 біт в кожному байті

Вправа$\PageIndex{68}$

26-поверхова будівля в Сан-Франциско налічує в цілому 416 офісів. Якщо кожен поверх має однакову кількість офісів, скільки поверхів має ця будівля?

Вправа$\PageIndex{69}$

Коледж має 67 класів і загалом 2546 парт. Скільки парт в кожному класі, якщо в кожному класі однакова кількість парт?

Відповідь: 38

Вправи для огляду

Вправа$\PageIndex{70}$

Яке значення 4 у кількості 124,621?

Вправа$\PageIndex{71}$

Округлити 604 092 до найближчої сотні тисяч.

Відповідь: 600 000

Вправа$\PageIndex{72}$

Яке ціле число - адитивна ідентичність?

Вправа$\PageIndex{73}$

Знайдіть товар. $6,256 \times 100$.

Відповідь: 625 600

Вправа$\PageIndex{74}$

Знайдіть частку. $0 \div 11$