1.1: Цілі числа

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57276

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

знати різницю між числами та числівниками
знати, чому наша система числення називається індуїстсько-арабською системою числення
зрозуміти базову десятку позиційної системи числення
вміти ідентифікувати та графікувати ціле число

Числа та числівники

Ми починаємо наше вивчення вступної математики з вивчення її самого основного будівельного блоку, числа.

Визначення: Число

Число - це поняття. Вона існує тільки в розумі.

Найбільш ранньою концепцією числа була думка, яка дозволяла людям подумки уявити розмір якоїсь колекції предметів. Для запису осмислюваного числа використовується числівник.

Визначення: Числівник

Числівник - це символ, який представляє число.

У загальному вживанні сьогодні ми не розрізняємо число і числівник. У нашому вивченні вступної математики ми будемо слідувати цьому поширеному вживанню.

Набір зразків A

Нижче наведені числівники. У кожному випадку перший являє собою число чотири, другий - число сто двадцять три, а третій - число одна тисяча п'ять. Ці числа представлені по-різному.

Індуї-арабські цифри
4, 123, 1005
Римські цифри
IV, XXXIII, МВ
Єгипетські числівники:

$Три діаграми послідовно, кожна з яких має мітку нижче. Три короткі вертикальні лінії, позначені штрихами. Одна закручена лінія поруч із двома лініями у формі підкови, поруч із трьома короткими вертикальними лініями, позначені згорнутою мотузкою, п'ятою кісткою та штрихами. Один малюнок у формі квітки поруч з п'ятьма вертикальними лініями, маркованими, квіткою лотоса і штрихами.$

Практика Set A

Чи кваліфікуються фрази «чотири», «сто двадцять три» і «тисяча п'ять» числівниками? Так чи ні?

Відповідь: Так. Букви - це символи. Взяті як збірник (письмове слово), вони являють собою число.

Індуїстсько-арабська система числення

Визначення: Індуї-арабська система числення

Наше суспільство використовує індуїстсько-арабську систему числення. Ця система нумерації почалася незадовго до третього століття, коли індуси винайшли числівники.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Визначення: Леонардо Фібоначчі

Приблизно через тисячу років, в тринадцятому столітті, математик на ім'я Леонардо Фібоначчі Пізанський ввів систему в Європу. Її тоді популяризували араби. Таким чином, назва, індуїстсько-арабська система числення.

Позиційна система числення базової десятки

Визначення: Цифри

Індуї-арабські цифри 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 називаються цифрами. Ми можемо сформувати будь-яке число в системі числення, вибравши одну або кілька цифр і розмістивши їх у певних позиціях. Кожна позиція має певне значення. Індуїстський математик, який розробив систему близько 500 н.е., заявив, що «з місця на місце кожен в десять разів перевищує попередній».

Визначення: Базові десять позиційних систем

Саме з цієї причини наша система числення називається позиційною системою числення з базовою десяткою.

Визначення: Коми

Коли числа складаються з більш ніж трьох цифр, коми іноді використовуються для поділу цифр на групи по три.

Визначення: Періоди

Ці групи по три називаються періодами і вони значно спрощують читання чисел.

У індуїстсько-арабській системі числення крапка має значення, присвоєне кожній або його трьом позиціям, а значення однакові для кожного періоду. Значення позиції

$Три сегменти, позначені зліва направо, сотні, десятки і одиниці. Нижче відрізків знаходиться більша мітка, крапка.$

Таким чином, кожен період містить позицію для значень один, десять і сотня. Зверніть увагу, що, дивлячись справа наліво, значення кожної позиції в десять разів перевищує попередню. Кожен період має певну назву.

$Серія груп з трьох сегментів, розділених комами. Сегменти позначені, зліва направо, трильйони, мільярди, мільйони, тисячі та одиниці.$

Оскільки ми продовжуємо справа наліво, є більше періодів. П'ять періодів, перерахованих вище, є найбільш поширеними, і в нашому вивченні вступної математики їх досить.

Наступна діаграма ілюструє нашу позиційну систему числення до трильйонів. (Є, щоб бути впевненим, інші періоди.)

$Серія груп з трьох сегментів, розділених комами. Групи сегментів позначені, зліва направо, трильйони, мільярди, мільйони, тисячі та одиниці. Кожен сегмент в групі з трьох має мітку. Зліва направо в кожній групі сегменти позначені сотнями, десятками та одиницями.$

У нашій позиційній системі числення значення цифри визначається її положенням в числі.

Набір зразків B

Знайти значення 6 в числі 7,261.

Рішення

Оскільки 6 знаходиться в позиції десятків одиниць періоду, його значення становить 6 десятків.

6 десятків$=60$

Набір зразків B

Знайти значення 9 в числі 86,932 106 005.

Рішення

Оскільки 9 знаходиться в сотні позицій мільйонного періоду, його вартість становить 9 сотень мільйонів.

9сот мільйонів = 9сот мільйонів

Набір зразків B

Знайти значення 2 в числі 102,001.

Рішення

Оскільки 2 знаходиться в позиції одиниць тисячного періоду, його значення становить 2 тисячі.

2 тисячі = 2 тисячі

Практика Set B

Знайти значення 5 в кількості 65 000.

Відповідь: п'ять тисяч

Практика Set B

Знайти значення 4 в кількості 439,997,007,010.

Відповідь: чотириста мільярдів

Практика Set B

Знайти значення 0 в числі 108.

Відповідь: нуль десятки, або нуль

Цілі числа

Визначення: Цілі числа

Числа, які формуються з використанням тільки цифр

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

називаються цілими числами. Вони є

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,...

Три крапки в кінці означають «і так далі в цій самій схемі».

Графік цілих чисел

Визначення: Номер рядка

Цілі числа можуть бути візуалізовані шляхом побудови числового рядка. Для побудови числової лінії просто проведемо пряму лінію і вибираємо будь-яку точку на лінії і позначимо її 0.

Визначення: Походження

Ця точка називається початком. Потім вибираємо якусь зручну довжину, і рухаючись вправо, відзначаємо послідовні інтервали (частини) уздовж лінії, що починається з 0. Ми позначаємо кожну нову кінцеву точку інтервалу наступним цілим числом.

$Лінія зі стрілками зліва і справа. Уздовж лінії рівномірно розташовані рисочки, пронумеровані від 0 до 10 зліва праворуч від лінії.$

Визначення: Графік

Ми можемо візуально відобразити ціле число, намалювавши замкнуте коло в точці, позначеній цілим числом. Ще одна фраза для візуального відображення цілого числа - це графічне зображення цілого числа. Слово graph означає «візуально відображати».

Набір зразків C

Графік складається з наступних цілих чисел: 3, 5, 9.

$Числовий рядок від 0 до 11. На вершині тире є точки, позначені, 3, 5 і 9.$

Набір зразків C

Вкажіть цілі числа, які позначені у наступному цифровому рядку. Розрив в цифровому рядку вказує на те, що ми знаємо про цілі числа між 0 і 106 і 107 і 872, але ми не перераховуємо їх через обмеження простору.

$Числовий рядок від 0 до 874, при цьому відображаються не всі цілі числа між 0 і 874. Є два зубчасті розриви в лінії, один між 0 і 106, і один між 107 і 872. На тире є точки для 0, 106, 873 та 874.$

Рішення

Цифри, які були позначені графіками, є

0, 106, 873, 874

Практика Set C

Графік складається з наступних цілих чисел: 46, 47, 48, 325, 327.

$Лінія зі стрілками зліва і справа. Лінія має два зубчастих розриву.$

Відповідь: $Числовий рядок від 0 до 327, при цьому відображаються не всі цілі числа між 0 і 327. У рядку є два зубчасті розриви, один між 0 і 46, і один між 48 і 325. На тире є точки для 46, 47, 48, 325 та 327.$

Практика Set C

Вкажіть цілі числа, які позначені у наступному цифровому рядку.

$Числовий рядок між 0 і 979, при цьому відображаються не всі цілі числа між 0 і 979. У лінії є два зубчасті розриви, один між 6 і 112, і один між 113 і 978. На тире є точки для 4, 5, 6, 113 і 978.$

Відповідь: 4, 5, 6, 113, 978

Лінія складається з нескінченної кількості точок. Зверніть увагу, що ми позначили лише деякі з них. Продовжуючи, ми відкриємо нові типи чисел і визначимо їх розташування на числовому рядку.

Вправи

Вправа$\PageIndex{1}$

Що таке число?

Відповідь: концепція

Вправа$\PageIndex{2}$

Що таке числівник?

Чи кваліфікується слово «одинадцять» як числівник?

Відповідь: Так, оскільки це символ, який представляє число.

Вправа$\PageIndex{3}$

Скільки існує різних цифр?

Наша система числення, індуїстсько-арабська система числення - це система числення з базою?

Відповідь: позиційний; 10

Вправа$\PageIndex{4}$

Числа, що складаються з більш ніж трьох цифр, іноді розділяються комами на групи по три. Ці групи по три називаються.

У нашій системі числення кожен період має три присвоєні йому значення. Ці значення однакові для кожного періоду. Справа наліво, які вони?

Відповідь: одиниці, десятки, сотні

Вправа$\PageIndex{5}$

Кожен період має свою конкретну назву. Справа наліво, які назви перших чотирьох?

У числі 841 скільки десятків?

Відповідь: 4

Вправа$\PageIndex{6}$

У числі 3 392, скільки їх?

У числі 10 046, скільки тисяч?

Відповідь: 0

Вправа$\PageIndex{7}$

Скільки десять мільйонів у кількості 779 844,205?

У числі 65 021 скільки там сотень тисяч?

Відповідь: 0

Для наступних завдань дайте значення зазначеної цифри в заданому числі.

Вправа$\PageIndex{8}$

5 у 599

1 у 310 406

Відповідь: десять тисяч

Вправа$\PageIndex{9}$

9 у 29 827

6 у 52 561 001 100

Відповідь: 6 десять мільйонів = 60 мільйонів

Вправа$\PageIndex{10}$

Напишіть двозначне число, яке має вісімку в позиції десятки.

Напишіть чотиризначне число, яке має одиницю в позиції тисячі і нуль у позиції одиниць.

Відповідь: 1,340 (відповіді можуть відрізнятися)

Вправа$\PageIndex{11}$

Скільки двозначних цілих чисел?

Скільки тризначних цілих чисел?

Відповідь: 900

Вправа$\PageIndex{12}$

Скільки існує чотиризначних цілих чисел?

Чи є найменше ціле число? Якщо так, то що це таке?

Відповідь: так; нуль

Вправа$\PageIndex{13}$

Чи існує найбільше ціле число? Якщо так, то що це таке?

Інший термін для «візуального відображення» є?

Відповідь: графування

Вправа$\PageIndex{14}$

Цілі цифри можуть бути візуально відображені на.

Графік (наочно відобразити) наступні цілі числа на числовому рядку нижче: 0, 1, 31, 34.

$Числовий рядок від 0 до 34, при цьому відображаються не всі цифри від 0 до 34. У лінії між 4 і 29 є зубчастий розрив.$

Відповідь: $Числовий рядок від 0 до 34, при цьому відображаються не всі цілі числа між 0 і 34. У лінії є зубчастий розрив, між 4 і 29. На тире є точки для 1, 31 і 34.$

Вправа$\PageIndex{15}$

Побудуйте числовий рядок у наданому нижче просторі та графіку (наочно відобразіть) наступні цілі числа: 84, 85, 901, 1006, 1007.

Вкажіть, якщо такі є, цілі числа, які будуть зображені на наступному числовому рядку.

$Числовий рядок від 0 до 102, при цьому відображаються не всі цілі числа між 0 і 102. У рядку є два зубчасті розриви, один між 0 і 61, і один між 64 і 99. На тире є точки для 61, 99, 100 і 102.$

Відповідь: 61, 99, 100, 102

Вправа$\PageIndex{16}$

Вкажіть, якщо такі є, цілі числа, які будуть зображені на наступному числовому рядку.

$Числовий рядок від 0 до 87, при цьому відображаються не всі цілі числа між 0 і 87. У лінії є три зубчасті розриви, один між 1 і 8, один між 11 і 73, і один між 74 і 85.$