Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10: Системи лінійних диференціальних рівнянь

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    61465

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Довідка: Бойс і ДіПрима, Глава 7

    Тут розглянуто найпростіший випадок системи двох зв'язаних однорідних лінійних рівнянь першого порядку з постійними коефіцієнтами. Загальна система дається

    \[\dot{x}_{1}=a x_{1}+b x_{2}, \quad \dot{x}_{2}=c x_{1}+d x_{2}, \nonumber \]

    або у вигляді матриці як

    \[\frac{d}{d t}\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right) . \nonumber \]

    Короткі позначення будуть

    \[\dot{\mathrm{x}}=\mathrm{Ax} . \nonumber \]

    Хоча ми можемо записати ці два рівняння першого порядку як єдине рівняння другого порядку, замість цього ми будемо використовувати наші нещодавно вивчені методи в матричній алгебрі. Ми також представимо важливе поняття фазового простору та фізичну проблему зв'язаних осциляторів.