9: Розв'язки однорідних лінійних диференціальних рівнянь другого порядку
- Page ID
- 61466
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Довідка: Бойс і ДіПрима, Глава 5
Розглянуто однорідне лінійне диференціальне рівняння другого порядку для\(y=\)\(y(x)\):
\[P(x) y^{\prime \prime}+Q(x) y^{\prime}+R(x) y=0, \nonumber \]
де\(P(x), Q(x)\) і\(R(x)\) є поліномами або збіжними степеневими рядами навколо\(x=x_{0}\), без загальних поліноміальних факторів, які можна було б розділити. Значення\(x=x_{0}\) називається звичайною точкою Equation\ ref {9.1} if\(P\left(x_{0}\right) \neq 0\), і називається одниною точкою if\(P\left(x_{0}\right)=0\). Однині точки можна додатково класифікувати як регулярні одиничні точки та нерегулярні одиничні точки. Тут ми розглянемо лише серійні розширення про звичайні точки. Наша мета — знайти два незалежних розв'язки рівняння\ ref {9.1}.