8.9: Затухаючий резонанс

Перегляд демпфірованого резонансу на YouTube

Тепер ми розв'язуємо безрозмірні рівняння, задані рівнянням\ ref {8.34}, рівнянням\ ref {8.35} та рівнянням\ ref {8.36}, записаними тут як

\[\ddot{x}+\alpha \dot{x}+x=\cos \beta t, \label{8.37}\]

де цього вимагають фізичні обмеження наших трьох додатків\(\alpha>0\). Однорідне рівняння має характеристичне рівняння

\[r^{2}+\alpha r+1=0 \nonumber \]

щоб рішення були

\[r_{\pm}=-\frac{\alpha}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{\alpha^{2}-4} \nonumber \]

Коли\(\alpha^{2}-4<0\), рух невимушеного осцилятора, як кажуть, недогасає; коли\(\alpha^{2}-4>0\), надмірно затухає; і коли\(\alpha^{2}-4=0\), критично затухає. Для всіх трьох типів демпфування коріння характерного рівняння задовольняють\(\operatorname{Re}\left(r_{\pm}\right)<0\). Отже, обидва лінійно незалежні однорідні розв'язки розпадаються експоненціально до нуля, а тривалий асимптотичний розв'язок Рівняння\ ref {8.37} зводиться до нерозпадаючого конкретного розв'язку. Оскільки початкові умови задовольняються вільними константами, що множать розкладаються однорідні розв'язки, тривалий асимптотичний розв'язок не залежить від початкових умов.

Якщо нас цікавить лише довготривалий асимптотичний розв'язок рівняння\ ref {8.37}, ми можемо приступати безпосередньо до визначення конкретного розв'язку. Як і раніше, розглянемо складну оду

\[\ddot{z}+\alpha \dot{z}+z=e^{i \beta t}, \nonumber \]

с\(x_{p}=\operatorname{Re}\left(z_{p}\right)\). З ансацем\(z_{p}=A e^{i \beta t}\) у нас є

\[-\beta^{2} A+i \alpha \beta A+A=1 \nonumber \]

або

\[\begin{align} A &=\frac{1}{\left(1-\beta^{2}\right)+i \alpha \beta} \\ &=\left(\frac{1}{\left(1-\beta^{2}\right)^{2}+\alpha^{2} \beta^{2}}\right)\left(\left(1-\beta^{2}\right)-i \alpha \beta\right) . \label{8.38} \end{align} \]

Для визначення\(x_{p}\) використовується полярна форма комплексного числа. Комплексне число\(z=x+i y\) можна записати в полярній формі як\(z=r e^{i \phi}\), де\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) і\(\tan \phi=y / x\). Тому пишемо

\[\left(1-\beta^{2}\right)-i \alpha \beta=r e^{i \phi}, \nonumber \]

із

\[r=\sqrt{\left(1-\beta^{2}\right)^{2}+\alpha^{2} \beta^{2}}, \quad \tan \phi=-\frac{\alpha \beta}{1-\beta^{2}} . \nonumber \]

Використовуючи полярну форму,\(A\) в Equation\ ref {8.38} стає

\[A=\left(\frac{1}{\sqrt{\left(1-\beta^{2}\right)^{2}+\alpha^{2} \beta^{2}}}\right) e^{i \phi} \nonumber \]

і\(x_{p}=\operatorname{Re}\left(A e^{i \beta t}\right)\) стає

\[\begin{align} x_{p} &=\left(\frac{1}{\sqrt{\left(1-\beta^{2}\right)^{2}+\alpha^{2} \beta^{2}}}\right) \operatorname{Re}\left\{e^{i(\beta t+\phi)}\right\} \\ &=\left(\frac{1}{\sqrt{\left(1-\beta^{2}\right)^{2}+\alpha^{2} \beta^{2}}}\right) \cos (\beta t+\phi) \label{8.39}\end{align} \]

Завершимо кілька спостережень щодо Equation\ ref {8.39}. По-перше, якщо частота форсування\(\omega\) дорівнює власній\(\omega_{0}\) частоті незагашеного генератора, то\(\beta=1\) і\(A=1 / i \alpha\), і\(x_{p}=(1 / \alpha) \sin t\). Позиція генератора спостерігається\(\pi / 2\) поза фазою із зовнішньою силою, або іншими словами, швидкість генератора, а не положення, знаходиться у фазі з силою. По-друге, значення,\(\beta\) яке максимізує амплітуду коливань, є значенням\(\beta\), яке мінімізує знаменник Equation\ ref {8.39}. Для визначення\(\beta_{m}\) ми таким чином\(g\left(\beta^{2}\right)\) мінімізуємо функцію щодо того\(\beta^{2}\), де

\[g\left(\beta^{2}\right)=\left(1-\beta^{2}\right)^{2}+\alpha^{2} \beta^{2} . \nonumber \]

Беручи\(g\) похідну щодо\(\beta^{2}\) та встановлення цього значення на нуль для визначення\(\beta_{m}\) врожайності

\[-2\left(1-\beta_{m}^{2}\right)+\alpha^{2}=0 \nonumber \]

або

\[\beta_{m}=\sqrt{1-\frac{\alpha^{2}}{2}} \approx 1-\frac{\alpha^{2}}{4}, \nonumber \]

останнє наближення дійсне, якщо\(\alpha<<1\) і безрозмірний коефіцієнт затухання малий. Ми можемо інтерпретувати цей результат, сказавши, що невелике демпфування трохи знижує «резонансну» частоту незагашеного генератора.