8.8: Додатки
- Page ID
- 61576
Перегляд нерозмірності на YouTube
8.8.1. Ланцюг RLC
Переглянути ланцюг RLC на YouTube
Розглянемо резистор\(R\), індуктор і конденсатор\(L\),\(C\) з'єднані послідовно, як показано на рис.8.1. Генератор змінного струму забезпечує змінну в часі електрорушійну силу (ЕРС)\(\mathcal{E}(t)\), до ланцюга. Тут визначаємо диференціальне рівняння, задоволене зарядом на конденсаторі.
Складові рівняння для падіння напруги на конденсаторі, резистрі та індукторі задаються
\[V_{C}=q / C, \quad V_{R}=i R, \quad V_{L}=\frac{d i}{d t} L, \nonumber \]
де\(C\) - ємність,\(R\) - опір, і\(L\) - індуктивність. Заряд\(q\) і струм\(i\) пов'язані
\[i=\frac{d q}{d t} . \nonumber \]
Закон напруги Кірхгофа стверджує, що\(\operatorname{emf} \mathcal{E}\) прикладена до будь-якого замкнутого контуру дорівнює сумі падінь напруги в цьому контурі. Застосування закону напруги Кірхгофа до\(R L C\) ланцюга призводить до
\[V_{L}+V_{R}+V_{C}=\mathcal{E}(t) \label{8.32}\]
або за допомогою рівняння\ ref {8.30} і рівняння\ ref {8.31},
\[L \frac{d^{2} q}{d t^{2}}+R \frac{d q}{d t}+\frac{1}{C} q=\mathcal{E}(t) \nonumber \]
Рівняння для\(R L C\) схеми являє собою лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.
\(A C\)Напруга може бути записана як\(\mathcal{E}(t)=\mathcal{E}_{0} \cos \omega t\), а керівне рівняння для\(q=q(t)\) може бути записано як
\[\frac{d^{2} q}{d t^{2}}+\frac{R}{L} \frac{d q}{d t}+\frac{1}{L C} q=\frac{\mathcal{E}_{0}}{L} \cos \omega t \label{8.33}\]
Нерозмірність цього рівняння буде показано для зменшення кількості вільних параметрів.
Для побудови безрозмірних змінних спочатку визначаємо власну частоту коливань системи як частоту коливань за відсутності будь-яких рушійних або демпфіруючих сил. Знаковим прикладом є простий гармонічний осцилятор, з рівнянням, заданим
\[\ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=0, \nonumber \]
і загальне рішення, дане\(x(t)=A \cos \omega_{0} t+B \sin \omega_{0} t\). Тут власна частота коливань дорівнює\(\omega_{0}\), а період коливань -\(T=2 \pi / \omega_{0}\). Для\(R L C\) схеми власна частота коливань знаходить з коефіцієнта\(q\) терміна, і задається
\[\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{L C}} \nonumber \]
Використовуючи\(\omega_{0}\), з одиницями одного з часом, ми можемо визначити безрозмірний час\(\tau\) і безрозмірний заряд\(Q\) по
\[\tau=\omega_{0} t, \quad Q=\frac{\omega_{0}^{2} L}{\mathcal{E}_{0}} q \label{8.34}\]
Отримане безрозмірне рівняння для\(R L C\) схеми потім задається
\[\frac{d^{2} Q}{d \tau^{2}}+\alpha \frac{d Q}{d \tau}+Q=\cos \beta \tau \nonumber \]
де\(\alpha\) і\(\beta\) є безрозмірними параметрами, заданими
\[\alpha=\frac{R}{L \omega_{0}}, \quad \beta=\frac{\omega}{\omega_{0}} . \nonumber \]
Зверніть увагу, що вихідні п'ять параметрів в Equation\ ref {8.33}, а саме\(R, L, C, \mathcal{E}_{0}\) і\(\omega\), були зведені до двох безрозмірних параметрів\(\alpha\) і\(\beta\). Ми повернемося пізніше, щоб вирішити Equation\ ref {8.34} після відвідування ще двох додатків, які, як буде показано, керуються тим самим безрозмірним рівнянням.
8.8.2. Маса на пружині
Переглянути месу на весну на YouTube
Розглянемо масу, з'єднану пружиною з нерухомою стіною, при цьому вид зверху показаний на рис.8.2. Сила пружини моделюється законом Гука\(F_{s}=-k x\), а тертя ковзання моделюється як\(F_{f}=-c d x / d t\). Прикладається зовнішня сила і приймається синусоїдальної, с\(F_{e}=F_{0} \cos \omega t\). Рівняння Ньютона\(F=m a\),, результати
\[m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-k x-c \frac{d x}{d t}+F_{0} \cos \omega t \nonumber \]
Переставляючи терміни, отримуємо
\[\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\frac{c}{m} \frac{d x}{d t}+\frac{k}{m} x=\frac{F_{0}}{m} \cos \omega t \nonumber \]
Тут власні частоти коливань задаються
\[\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}} \nonumber \]
і ми визначаємо безрозмірний час\(\tau\) і безрозмірне положення\(X\) по
\[\tau=\omega_{0} t, \quad X=\frac{m \omega_{0}^{2}}{F_{0}} x . \nonumber \]
Отримане безрозмірне рівняння задається
\[\frac{d^{2} X}{d \tau^{2}}+\alpha \frac{d X}{d \tau}+X=\cos \beta \tau \label{8.35}\]
де тут,\(\alpha\) і\(\beta\) безрозмірні параметри, задані
\[\alpha=\frac{c}{m \omega_{0}}, \quad \beta=\frac{\omega}{\omega_{0}} . \nonumber \]
Зверніть увагу, що незважаючи на те, що фізична задача відрізняється, а безрозмірні змінні визначаються по-різному, отримане безрозмірне рівняння Equation\ ref {8.35} для масово-пружинної системи таке ж, як і для\(R L C\) схеми Equation\ ref {8.34}.
8.8.3. Маятник
Переглянути маятник на YouTube
Тут розглядається маса, яка прикріплена до безмасового жорсткого стрижня і обмежена переміщатися по дузі окружності, центрованої в точці повороту (див. Рис. Припустимо,\(l\) це фіксована довжина шатуна, і\(\theta\) це кут, який він робить з вертикаллю.
Ми можемо застосувати рівняння Ньютона до маси з початком у нижній частині та осі вздовж дуги з позитивним напрямком вправо.\(F=m a\) \(s\)Положення маси по дузі задається по\(s=l \theta\). Відповідною гравітаційною силою на маятнику є складова по дузі, а від рис. \(8.3\)спостерігається, щоб бути
\[F_{g}=-m g \sin \theta \nonumber \]
Моделюємо тертя пропорційно швидкості маятника уздовж дуги, тобто
\[F_{f}=-c \dot{s}=-c l \dot{\theta} \nonumber \]
При синусоїдальній зовнішній\(F_{e}=F_{0} \cos \omega t\) силі рівняння Ньютона\(m \ddot{s}=F_{g}+F_{f}+\)\(F_{e}\) призводить до
\[m l \ddot{\theta}=-m g \sin \theta-c l \dot{\theta}+F_{0} \cos \omega t . \nonumber \]
Рерайтинг, у нас
\[\ddot{\theta}+\frac{c}{m} \dot{\theta}+\frac{g}{l} \sin \theta=\frac{F_{0}}{m l} \cos \omega t . \nonumber \]
При малих амплітудах коливань ми можемо наблизити\(\sin \theta \approx \theta\), а власна частота\(\omega_{0}\) коливань маси задається
\[\omega_{0}=\sqrt{\frac{\bar{g}}{l}} \nonumber \]
Нерозмірність часу\(\tau=\omega_{0} t\), як, безрозмірне рівняння маятника стає
\[\frac{d^{2} \theta}{d \tau^{2}}+\alpha \frac{d \theta}{d \tau}+\sin \theta=\gamma \cos \beta \tau \nonumber \]
де\(\alpha, \beta\), і\(\gamma\) є безрозмірними параметрами, заданими
\[\alpha=\frac{c}{m \omega_{0}}, \quad \beta=\frac{\omega}{\omega_{0}}, \quad \gamma=\frac{F_{0}}{m l \omega_{0}^{2}} \nonumber \]
Нелінійність рівняння маятника з\(\sin \theta\) терміном призводить до отримання додаткового безрозмірного параметра\(\gamma\). Однак для малої амплітуди коливань ми можемо масштабувати\(\theta\)\(\theta=\gamma \Theta\), і малої амплітуди безрозмірне рівняння стає
\[\frac{d^{2} \Theta}{d \tau^{2}}+\alpha \frac{d \Theta}{d \tau}+\Theta=\cos \beta \tau \label{8.36}\]
те саме рівняння, що і рівняння\ ref {8.34} і Рівняння\ ref {8.35}.