8.1: Метод Ейлера

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61544

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Переглянути підручник на YouTube

Загалом, Equation\ ref {8.1} неможливо розв'язати аналітично, і ми починаємо з виведення алгоритму числового розв'язку. Розглянемо загальну оду другого порядку, задану

\[\ddot{x}=f(t, x, \dot{x}) . \nonumber \]

Ми можемо записати цю оду другого порядку як пару од першого порядку\(u=\dot{x}\), визначаючи та записуючи систему першого порядку як

\[\begin{aligned} &\dot{x}=u, \\ &\dot{u}=f(t, x, u) . \end{aligned} \nonumber \]

Перша ода, Equation\ ref {8.2}, дає нахил дотичної лінії до кривої\(x=x(t)\); друга ода, Equation\ ref {8.3}, дає нахил дотичної лінії до кривої\(u=u(t)\). Починаючи з початкових значень\((x, u)=\left(x_{0}, u_{0}\right)\) в той час\(t=t_{0}\), рухаємося по дотичним лініях для визначення\(x_{1}=x\left(t_{0}+\Delta t\right)\) і\(u_{1}=u\left(t_{0}+\Delta t\right)\):

\[\begin{aligned} &x_{1}=x_{0}+\Delta t u_{0} \\ &u_{1}=u_{0}+\Delta t f\left(t_{0}, x_{0}, u_{0}\right) \end{aligned} \nonumber \]

Значення\(x_{1}\) і\(u_{1}\) в той час потім\(t_{1}=t_{0}+\Delta t\) використовуються як нові початкові значення для переміщення рішення вперед до часу\(t_{2}=t_{1}+\Delta t\). Поки\(f(t, x, u)\) є добре поведеною функцією, числове рішення сходиться до унікального рішення оди як\(\Delta t \rightarrow 0\).