7.2: Роздільні рівняння
- Page ID
- 61551
Переглянути підручник на YouTube
Ода першого порядку відокремлюється, якщо її можна записати у формі
\[g(y) \frac{d y}{d x}=f(x), \quad y\left(x_{0}\right)=y_{0} \nonumber \]
де функція\(g(y)\) незалежна\(x\) і\(f(x)\) незалежна від\(y\). Інтеграція від\(x_{0}\) до\(x\) результатів
\[\int_{x_{0}}^{x} g(y(x)) y^{\prime}(x) d x=\int_{x_{0}}^{x} f(x) d x \nonumber \]
Інтеграл зліва може бути перетворений шляхом підстановки\(u=y(x), d u=y^{\prime}(x) d x\), і зміни нижньої і верхньої межі інтеграції на\(y\left(x_{0}\right)=y_{0}\) і\(y(x)=y\). Тому
\[\int_{y_{0}}^{y} g(u) d u=\int_{x_{0}}^{x} f(x) d x, \nonumber \]
і оскільки\(u\) є фіктивною змінною інтеграції, ми можемо написати це в еквівалентній формі
\[\int_{y_{0}}^{y} g(y) d y=\int_{x_{0}}^{x} f(x) d x \nonumber \]
Простішою процедурою, яка також дає Equation\ ref {7.3}, є обробка\(d y / d x\) в Equation\ ref {7.2} як дріб. Множення рівняння\ ref {7.2} на\(d x\) результати
\[g(y) d y=f(x) d x, \nonumber \]
який є відокремленим рівнянням з усіма залежними змінними на лівій стороні та всіма незалежними змінними на правій стороні. Рівняння рівняння\ ref {7.3} потім результати безпосередньо після інтеграції.
Вирішити\(\frac{d y}{d x}+\frac{1}{2} y=\frac{3}{2}\), з\(y(0)=2\).
Рішення
Спочатку ми маніпулюємо диференціальним рівнянням до виду
\[\frac{d y}{d x}=\frac{1}{2}(3-y) \nonumber \]
а потім ставитися\(d y / d x\) так, ніби це дріб для розділення змінних:
\[\frac{d y}{3-y}=\frac{1}{2} d x \nonumber \]
Ми інтегруємо праву сторону від початкової умови\(x=0\) до\(x\) і ліву сторону від початкової умови\(y(0)=2\) до\(y\). Відповідно,
\[\int_{2}^{y} \frac{d y}{3-y}=\frac{1}{2} \int_{0}^{x} d x \nonumber \]
Інтеграли в Equation\ ref {7.5} потрібно зробити. Зверніть увагу, що\(y(x)<3\) для скінченного\(x\) або інтеграла з лівого боку розходиться. Тому\(3-y>0\) і інтеграція дає
\[\begin{gathered} \left.-\ln (3-y)]_{2}^{y}=\frac{1}{2} x\right]_{0^{\prime}}^{x} \\ \ln (3-y)=-\frac{1}{2} x \\ 3-y=e^{-x / 2} \\ y=3-e^{-x / 2} \end{gathered} \nonumber \]
Оскільки це наше перше нетривіальне аналітичне рішення, розумно перевірити наш результат. Ми робимо це, диференціюючи наше рішення:
\[\begin{aligned} \frac{d y}{d x} &=\frac{1}{2} e^{-x / 2} \\ &=\frac{1}{2}(3-y) \end{aligned} \nonumber \]
і перевірка початкового стану,\(y(0)=3-e^{0}=2\). Тому наше рішення задовольняє як вихідну оду, так і початкову умову.
Вирішити\(\frac{d y}{d x}+\frac{1}{2} y=\frac{3}{2}\), з\(y(0)=4\).
Рішення
Це ідентичне диференціальне рівняння, як і раніше, але з різними початковими умовами. Ми перейдемо безпосередньо до кроку інтеграції:
\[\int_{4}^{y} \frac{d y}{3-y}=\frac{1}{2} \int_{0}^{x} d x . \nonumber \]
Тепер\(y(x)>3\), так що\(y-3>0\) і інтеграція дає
\[\begin{gathered} \left.-\ln (y-3)]_{4}^{y}=\frac{1}{2} x\right]_{0^{\prime}}^{x} \\ \ln (y-3)=-\frac{1}{2} x \\ y-3=e^{-x / 2} \\ y=3+e^{-x / 2} \end{gathered} \nonumber \]
Криві розв'язку для діапазону початкових умов представлені на рис.7.2. Всі розв'язки мають горизонтальну асимптоту\(y=3\) при якій\(d y / d x=0\). Для\(y(0)=y_{0}\), загальне рішення може бути показано\(y(x)=3+\left(y_{0}-3\right) \exp (-x / 2)\).
Вирішити\(\frac{d y}{d x}=\frac{2 \cos 2 x}{3+2 y}\), з\(y(0)=-1\). (i) Для яких\(x>0\) значень рішення існує? (ii) Для якого значення\(x>0\) є\(y(x)\) максимальним?
Рішення
Зверніть увагу, що похідна\(y\) розходиться коли\(y=-3 / 2\), і що це може спричинити деякі проблеми з рішенням.
Вирішуємо оду, відокремлюючи змінні та інтегруючи з початкових умов:
\[\begin{gathered} (3+2 y) d y=2 \cos 2 x d x \\ \int_{-1}^{y}(3+2 y) d y=2 \int_{0}^{x} \cos 2 x d x \\ \left.\left.3 y+y^{2}\right]_{-1}^{y}=\sin 2 x\right]_{0}^{x} \\ y^{2}+3 y+2-\sin 2 x=0 \\ y_{\pm}=\frac{1}{2}[-3 \pm \sqrt{1+4 \sin 2 x}] \end{gathered} \nonumber \]
Розв'язування квадратного рівняння для\(y\) ввів помилковий розв'язок, який не задовольняє початковим умовам. Ми тестуємо:
\[y_{\pm}(0)=\frac{1}{2}[-3 \pm 1]=\left\{\begin{array}{l} -1 \\ -2 \end{array}\right. \nonumber \]
Тільки\(+\) корінь задовольняє початковій умові, так що унікальним рішенням оди і початкової умови є
\[y=\frac{1}{2}[-3+\sqrt{1+4 \sin 2 x}] . \nonumber \]
Для визначення (i) значень,\(x>0\) для яких існує рішення, ми вимагаємо
\[1+4 \sin 2 x \geq 0 \nonumber \]
або
\[\sin 2 x \geq-\frac{1}{4} \nonumber \]
Зверніть увагу\(x=0\), що в, ми маємо\(\sin 2 x=0\); в\(x=\pi / 4\), у нас є\(\sin 2 x=0\); в\(x=3 \pi / 4\), ми маємо; і в,\(\sin 2 x=-1\) ми маємо Тому потрібно визначити значення\(\sin 2 x=1\)\(x=\pi / 2\) \(x\)такий\(\sin 2 x=-1 / 4\), що, з\(x\) в асортименті\(\pi / 2<x<3 \pi / 4\). Розв'язок оди буде існувати для всіх\(x\) між нулем і цим значенням.
Щоб вирішити\(\sin 2 x=-1 / 4\) для\(x\) в інтервалі\(\pi / 2<x<3 \pi / 4\), потрібно згадати визначення арцину, або\(\sin ^{-1}\), як це можна знайти на типовому науковому калькуляторі. Обернена функція
\[f(x)=\sin x, \quad-\pi / 2 \leq x \leq \pi / 2 \nonumber \]
позначається дугою. Перше рішення з\(x>0\) рівняння\(\sin 2 x=-1 / 4\) розміщує\(2 x\) в інтервалі\((\pi, 3 \pi / 2)\), тому, щоб інвертувати це рівняння за допомогою дуги\(\sin (\pi-x)=\sin x\), нам потрібно застосувати ідентичність і переписати\(\sin 2 x=-1 / 4\) як \(\sin (\pi-2 x)=-1 / 4\). Розв'язок цього рівняння можна потім знайти, взявши арцин, і є
\[\pi-2 x=\arcsin (-1 / 4), \nonumber \]
\[x=\frac{1}{2}\left(\pi+\arcsin \frac{1}{4}\right) . \nonumber \]
Тому рішення існує для того\(0 \leq x \leq(\pi+\arcsin (1 / 4)) / 2=1.6971 \ldots\), де ми використовували калькулятор значення (обчислення в радіанах)\((x, y)=(1.6971 \ldots,-3 / 2)\), щоб знайти\(\arcsin Equation \ref{0.25}=\)\(0.2527 \ldots\) При значенні крива рішення закінчується і\(d y / d x\) стає нескінченною.
Для визначення (ii) значення\(x\) при якому\(y=y(x)\) є максимальним, ми досліджуємо Equation\ ref {7.6} безпосередньо. Значення\(y\) буде максимальним, коли\(\sin 2 x\) прийме його максимальне значення за інтервал, де існує рішення. Це буде коли\(2 x=\pi / 2\), або\(x=\pi / 4=0.7854 \ldots\)
Графік\(y=y(x)\) показаний на рис.7.3.