7.1: Метод Ейлера

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61567

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Переглянути підручник на YouTube

Хоча не завжди вдається знайти аналітичне рішення Equation\ ref {7.1} для\(y=\)\(y(x)\), завжди можна визначити унікальне числове рішення, задане початкове значення\(y\left(x_{0}\right)=y_{0}\), і за умови\(f(x, y)\) є добре поведеною функція. Диференціальне рівняння Equation\ ref {7.1} дає нам нахил\(f\left(x_{0}, y_{0}\right)\) дотичної лінії до кривої розв'язку\(y=y(x)\) в точці\(\left(x_{0}, y_{0}\right)\). При невеликому розмірі\(\Delta x=x_{1}-x_{0}\) кроку початкову умову\(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) можна марширувати вперед\(\left(x_{1}, y_{1}\right)\) по дотичній лінії методом Ейлера (див. Рис.

\[y_{1}=y_{0}+\Delta x f\left(x_{0}, y_{0}\right) \nonumber \]

\(\left(x_{1}, y_{1}\right)\)Потім це рішення стає новою початковою умовою і марширується вперед\(\left(x_{2}, y_{2}\right)\) вздовж щойно визначеної дотичної лінії з нахилом, заданим\(f\left(x_{1}, y_{1}\right)\). Для досить\(\Delta x\) малих числове рішення сходиться до точного рішення.

\[y_{1}=y_{0}+\Delta x f\left(x_{0}, y_{0}\right) \nonumber \]

Знімок екрана 2022-05-29 в 8.21.59 PM.png — Малюнок 7.1: *Диференціальне рівняння\(d y / d x=f(x, y), y\left(x_{0}\right)=y_{0}\), інтегроване* з\(x=x_{1}\) *використанням методу Ейлера\(y_{1}=y_{0}+\Delta x f\left(x_{0}, y_{0}\right)\)*, *с\(\Delta x=x_{1}-x_{0}\)*.