Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.1: Найпростіший тип диференціального рівняння

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    61492

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Переглянути підручник на YouTube

    Найпростіші звичайні диференціальні рівняння можуть бути інтегровані безпосередньо шляхом знаходження антипохідних. Ці найпростіші оди мають вигляд

    \[\frac{d^{n} x}{d t^{n}}=G(t), \nonumber \]

    де похідна\(x=x(t)\) може бути будь-якого порядку, а права сторона може залежати тільки від незалежної змінної\(t\). Як приклад розглянемо масу, що падає під впливом постійної сили тяжіння, наприклад приблизно знайдену на поверхні Землі. Закон Ньютона\(F=m a\), результати в рівнянні

    \[m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-m g, \nonumber \]

    де\(x\) - висота об'єкта над землею,\(m\) - маса об'єкта, а\(g=9.8\) метр\(/ \sec ^{2}\) - постійне гравітаційне прискорення. Як припустив Галілей, маса скасовується з рівняння, і

    \[\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-g \nonumber \]

    Тут права частина оди є постійною. Перша інтеграція, отримана антидиференціацією, дає

    \[\frac{d x}{d t}=A-g t \nonumber \]

    з\(A\) першою константою інтеграції; а друга інтеграція дає

    \[x=B+A t-\frac{1}{2} g t^{2} \nonumber \]

    з\(B\) другою константою інтеграції. Дві константи інтеграції\(A\) і потім\(B\) можуть бути визначені з початкових умов. Якщо ми знаємо, що початкова висота маси є\(x_{0}\), а початкова швидкість -\(v_{0}\), то початкові умови

    \[x(0)=x_{0}, \quad \frac{d x}{d t}(0)=v_{0} . \nonumber \]

    Заміна цих початкових умов в рівняння для\(d x / d t\) і\(x\) дозволяє розв'язувати для\(A\) і\(B\). Унікальне рішення, яке задовольняє як оду, так і початковим умовам, дає

    \[x(t)=x_{0}+v_{0} t-\frac{1}{2} g t^{2} . \nonumber \]

    Наприклад, припустимо, що ми скидаємо кулю з вершини 50-метрової будівлі. Скільки часу знадобиться м'яч, щоб вдарити об землю? Це питання вимагає розв'язання Equation\ ref {6.1} за час\(T\)\(x(T)=0\), необхідний для заданого\(x_{0}=50\) метра і\(v_{0}=0\). Рішення для\(T\),

    \[\begin{aligned} T &=\sqrt{\frac{2 x_{0}}{g}} \\ &=\sqrt{\frac{2 \cdot 50}{9.8}} \mathrm{sec} \\ & \approx 3.2 \mathrm{sec} . \end{aligned} \nonumber \]